CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG ĐỀ THI HSG NĂM 2017 $\boxed{1}$ [Quảng Ninh] Cho ba số thực dương $a;\, b;\, c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: \[\dfrac{{{a^2}}}{{2a + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2b + 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2c + 1}} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6} }}\] $\boxed{2}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left ( x^2-\left ( f\left ( y \right ) \right )^2 \right )=x.f(x)+y^2\quad \forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\] $\boxed{3}$ [Quảng Ninh]Cho $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thoả mãn: \[P(x^2-x)+xQ(x^3-x)-(x^2-4)R(x) \quad\forall\, x \in \mathbb{R}\] Chứng minh rằng phương trình $Q(x)+R(x-3)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt. Giả sử rằng tổng bậc của $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[M=P^2(0)+8Q^2(3)\] $\boxed{4}$ [Nghệ An] Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}$: \[ \begin{cases}\sqrt {xy - {x^2}} + 9\sqrt {xy + {x^2}} &= 16y\\ xy - 5x - 4y &= 80 \end{cases}\] $\boxed{5}$ [Nghệ An] Cho dãy số $\left ( a_{n} \right )$ xác định bởi $a_1>3$ và \[a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_{n}}\quad \forall n \geq 1;\, n \in \mathbb{N}\] Xác định số thực dương $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x$ và mọi số nguyên dương $n$: \[\sqrt{x^2+a_{1}^2}+\sqrt{x^2+a_{2}^2} +...+\sqrt{x^2+a_{n}^2} >n\sqrt{x^2+a^2}.\] $\boxed{6}$ [Nghệ An] Tìm tất cả các hàm đơn điệu: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f(x+f(y))=f(x)+y^n\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\] Trong đó $n$ là số nguyên dương cho trước. $\boxed{7}$ [Quảng Trị] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thay đổi và thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {6 - \frac{x}{y} - \frac{y}{z} - \frac{z}{x}} \right)\] $\boxed{8}$ [Quảng Trị] Cho hàm số $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ trong đó $a;\,b;\,c;\,d$ là các hằng số thực thoả mãn $f(-1)=100;\,f(-2)=200$ và $f(-3)=300$. Tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{f\left( {10} \right) + f\left( { - 14} \right)}}{{16}} - 582.\] $\boxed{9}$ [Tiền Giang] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {x + y} \right) \ge f\left( x \right)f\left( y \right) \ge {2017^{x + y}}\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\] $\boxed{10}$ [Tiền Giang] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau: $f(1)=1.$ $f(x+y)-f(x)-f(y)=2xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.$ $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^2}\quad\forall\,x\ne 0.$ Tính $f\left(\sqrt{2017}\right)$. $\boxed{11}$ [Hà Nam] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {f\left( x \right) + ay} \right) = \left( {{a^2} + a} \right)x + f\left( {f\left( y \right) - x} \right)\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\] Trong đó $a$ là một hằng số và $a\notin\{0;\,-1\}$. $\boxed{12}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ thoả $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng mình rằng \[\frac{a}{{\sqrt {\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {c + 2} \right)\left( {a + 2} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)} }} \ge 1.\] $\boxed{13}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho số nguyên dương $n$ và đa thức hệ số thực \[P\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}\] Biết rằng $P(0);\,P(1);\,\ldots;\,P(n)$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $P(m)$ là số nguyên với mọi số nguyên $m$. $\boxed{14}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {f\left( x \right) + {x^2} + y} \right) = {x^2} + f\left( x \right) + f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\] $\boxed{15}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\;\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và \[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1)\quad\forall\,n\in\mathbb N^*\] $\boxed{16}$ [Đồng Nai] Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {xf\left( y \right) - yf\left( x \right)} \right) = f\left( {xy} \right) - xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\] $\boxed{17}$ [Đồng Tháp] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương, chứng minh rằng \[\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{b\left( {c + a} \right)}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2.\] $\boxed{18}$ [Đồng Tháp] Tìm các đa thức $P(x)$ có bậc không vượt quá 3 và thoả mãn \[P\left( {6{x^2} - x - 1} \right) + P\left( {1 - 6{x^2} - x} \right) = 1 + {P^2}\left( {2x} \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] $\boxed{19}$ [Đắk Lắk] Cho các số thực dương $a;\,b$ với $a>b$, và bất phương trình \[x^2-(a+b)x+ab\le 0\] Giả sử $x_1;\,x_2;\,\ldots;\,x_n$ là các nghiệm của bất phương trình trên, chứng minh rằng \[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}} \right)}^2}}}{{n\left( {x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} \right)}} \ge \frac{{4ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\] $\boxed{20}$ [Đắk Lắk] Tìm các đa thức $P(x)\in\mathbb R[x]$ thoả mãn \[\left( {{x^2} + 2x} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)P\left( x \right) + 2{x^2} + 2x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] $\boxed{21}$ [Đắk Lắk] Giải hệ phương trình \[\begin{cases}\dfrac{x}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {1 + xy} }}&=0\\ \sqrt {\left( {2x - 2} \right)\left( {y + 5} \right)} + \sqrt {\left( {2y - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} &= 3 + 3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {y + 5} } \right) \end{cases}\] $\boxed{22}$ [Đắk Lắk] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\] Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh. Tìm hàm $f(x)$. $\boxed{23}$ [Tây Ninh] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thoả $xyz=1$, chứng minh rằng \[\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3} + 2{y^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{y^3} + 2{z^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{z^3} + 2{x^3} + 6}}}} \le \sqrt 3 \] $\boxed{24}$ [Tây Ninh] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn \[f\left( {f\left( n \right)} \right) + 2f\left( n \right) = 3n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] $\boxed{25}$ [Đà Nẵng] Với mỗi số thực $t$, gọi $g(t)$ là số các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {xy + f\left( y \right)} \right) = t + yf\left( x \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\] Tìm hàm số $g(t)$. $\boxed{26}$ [Hà Tĩnh] Cho các số thực không âm $a;\,b;\,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\le 3$. Chứng minh rằng \[\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c - abc} \right) \ge 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\] $\boxed{27}$ [Hà Tĩnh] Cho hai đa thức bậc ba: \[P(x)=x^3+2x^2-7x-16,\quad Q(x)=x^3+3x^2+8x-4\] Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có một nghiệm dương duy nhất. Gọi các nghiệm dương của $P(x),\, Q(x)$ lần lượt là $p;\, q$. Chứng minh rằng: \[\sqrt{p}-\sqrt{q}=1.\] $\boxed{28}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn \[xP\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)P\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] $\boxed{29}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn \[{P^2}\left( x \right) = 2P\left( {2{x^2} - 1} \right) + 3\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] $\boxed{30}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\] $\boxed{31}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( x \right) + f\left( y \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( x \right)f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\] $\boxed{32}$ [Đắk Nông] Tìm các hàm số $f:\, \left(0;\,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[\frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = {x^2}f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] $\boxed{33}$ [Đắk Nông] Trong tập hợp $[-1;\,1]$, lấy bất kì các giá trị $x;\,y;\,z$ thoả mãn có tổng bằng 0 và tổng bình phương bằng 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P=x^{2018}+y^{2018}+z^{2018}.\] $\boxed{34}$ [Đắk Nông] Biết rằng $x;\,y;\,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Chứng minh rằng: \[x+y+z \geqslant \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.\] Dấu "=" xảy ra khi nào? $\boxed{35}$ [Hà Nội] Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện: \[f(\tan x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x-\cos 2x\quad \forall x\in \left ( -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right )\] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \[f\left(\sin^2x \right)f\left(\cos^2x\right);\quad (x\in \mathbb{R})\] $\boxed{36}$ [Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x$) với hệ số thực sao cho: \[P^2(x)^2=2P(x^2-3)+1\quad \forall x \in \mathbb{R}.\] $\boxed{37}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {{n^2}} \right) = f\left( {n + m} \right)f\left( {n - m} \right) + {m^2}\quad \forall \,m;\,n \in \mathbb{R}.\] $\boxed{38}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thoả mãn $P(2017)=1$, và $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$. $\boxed{39}$ [Thanh Hoá] Cho dãy số: $a_{0};\,a_{1};\,a_{2};\,...$ thoả mãn: \[a_{m+n}+a_{m-n}=\dfrac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})\quad\forall\,m;\,n \in \mathbb N,\; m\geqslant n.\] Nếu $a_{1}=1$, hãy xác định: $a_{2017}$. $\boxed{40}$ [Huế] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn \[f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{y^3}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)} - f\left( {xy} \right)\right) \quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\] $\boxed{41}$ [Huế] Cho $a_0>a_1>a_2>...>a_n$ là các số nguyên dương sao cho $a_0-a_n<a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh tồn tại $i$ với $1 \le i \le n$ sao cho : \[0 \le a_0-(a_1+a_2+...+a_i)<a_i.\] $\boxed{42}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P\left(\sqrt [3]{3}\right)=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể. $\boxed{43}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \ne 0$. Chứng minh rằng: \[\dfrac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \dfrac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \dfrac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geqslant 0.\] $\boxed{44}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn \[f\left( {\left( {x - y} \right)f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( {y - x} \right) + x = 0\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\] $\boxed{45}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[\frac{{{a^3}}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} - ca + {a^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} + \frac{9}{{2(ab + bc + ca)}} \ge \frac{9}{2}.\] $\boxed{46}$ [Lâm Đồng] Giải hệ phương trình \[\begin{cases} x\sqrt {{y^2} + 3y + 4} + y\sqrt {{x^2} - x + 1} &= x + y\\ \left( {{x^2} - x} \right)\sqrt {x - y + 1} - y - 3 &= 2{x^2} - 3x \end{cases}\] $\boxed{47}$ [Lâm Đồng] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thoả mãn điều kiện \[x^3+y^2+z=1+2\sqrt 3\] Tìm giá trị nhỏ nhất của \[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^3}}}\] $\boxed{48}$ [Lâm Đồng]Tìm các đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn \[P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {2{x^2} + 8x + 6} \right)\]
