Phương pháp làm nhanh thể tích đa diện

A. KIẾN THỨC CƠ SỞ
I. Hai chìa khóa của bài toán
1. Xác định đáy: Hình dạng và kích thước

Tam giác	Tam giác đều ​ Đường cao: \(\displaystyle \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Diện tích: \(\displaystyle \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) Tâm là trọng tâm.	Tam giác vuông cân ​ Đường chéo (cạnh huyền) \(\displaystyle a\sqrt 2 \)	Tam giác vuông có góc \(\displaystyle {60^0}\) ​ Cạnh bé: a Cạnh huyền: 2a Cạnh còn lại: \(\displaystyle a\sqrt 3 \) Tâm đường tròn ngoại tiếp: Trung điểm cạnh huyền
Tứ giác	Hình vuông ​ Cạnh: a Đường chéo: \(\displaystyle a\sqrt 2 \) Diện tích: \(\displaystyle {a^2}\) Tâm là giao hai đường chéo	Hình chữ nhật ​ Diện tích: ab	Hình thoi có góc \(\displaystyle {60^0}\) hoặc \(\displaystyle {120^0}\) ​ Cạnh: a Đường chéo ngắn: a Đường chéo dài: a\(\displaystyle \sqrt 3 \) Diện tích: \(\displaystyle \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) Hai đường chéo vuông góc
Hình thang vuông đặc biệt, có đáy lớn gấp 2 đáy nhỏ và đường cao ​ - Hình vuông ghép với tam giác vuông cân. - Có nhiều góc vuông. - Kích thước như hình vẽ.

2. Xác định đường cao: Chân đường cao và độ cao

Hình chóp đều Chân đường cao trùng với tâm đáy ​	Cạnh bên vuông với đáy Đường cao chóp, lăng trụ chính là cạnh bên ​
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ​	Mặt bên vuông với đáy Đường cao chóp, lăng trụ là đường cao tam giác mặt bên vị trí chân đường cao H, độ dài đường cao phụ thuộc vào hình dạng, khích thước mặt bên. + Mặt bên cân, đều: H là trung điểm cạnh đáy + Mặt bên cho góc, cạnh tính theo \(\displaystyle {\rm{\Delta }}\) vuông. ​
Lăng trụ + Đứng: Đường cao là cạnh bên + Nghiêng: Một đỉnh thuộc một đáy (chẳng hạn \(\displaystyle A'\) của \(\displaystyle A'B'C' \ldots \)) cùng với đáy còn lại \(\displaystyle ABC \ldots \) một hình chóp \(\displaystyle A'.ABC \ldots \) rơi vào các hình chóp xác định ở trên.	Hai mặt bên vuông góc với đáy Đường cao là cạnh bên giao tuyến của hai mặt bên ​

II. Các công cụ cần thiết
1. Góc (đường thẳng và mặt phẳng)
Chú ý: Khi đã xác định được 2 chìa khóa ở trên, thì việc xác định góc là rất thuận lợi

Góc giữa cạnh bên và đáy (đt và mp) Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó ​

Góc giữa mặt bên và đáy (mp và mp) Chiếu 2 lần: + Từ một điểmthuộc mặt bên (vd: S) chiếu lên đáy H + Từ H chiếu sang giao tuyến của mặt bên vs đáy I + Vị trí của I phụ thuộc vào hình dạng đáy + Góc cần tìm là \(\displaystyle \widehat {SIH\;}\). ​

2. Khoảng cách:

Từ điểm đến mặt phẳng \(\displaystyle d\left( {A,\left( P \right)} \right)\)	Hai đường chéo nhau \(\displaystyle d\left( {AC,SB} \right)\) (không dựng đường vuông góc chung)
a) Phương pháp dựng khoảng cách từ H lên mặt xiên \(\displaystyle \left( P \right)\) ​ + Từ H kẻ HI vuông sang giao giao tuyến + Từ H kẻ HK vuông góc với với HI. + HK là khoảng cách từ H đến mặt xiên.	Chuyển thành khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Dựng mặt phẳng chứa \(\displaystyle SB\) và song song với \(\displaystyle AC\), với: - \(\displaystyle AC\) là đường nằm trên đáy. - Từ \(\displaystyle B\) kẻ \(\displaystyle BE\parallel AC,\;BE = AC\). Khi đó BECA là hình bình hành trên đáy. - Mặt phẳng \(\displaystyle \left( {SBE} \right)\) là mặt chứa \(\displaystyle SB\) và // \(\displaystyle {\rm{AC}}\). + Vậy \(\displaystyle d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right)\). ​
b) Chuyển thành khoảng cách của điểm khác ​ + Nếu đường AB cắt (P) tại M \(\displaystyle \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{MA}}{{MB}}\) + Đặc biệt, M là trung điểm của AB: \(\displaystyle d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {B,\left( P \right)} \right)\)
c) Phương pháp thể tích \(\displaystyle d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{BCD}}}}\)

3. Hệ thức trong tam giác

Trong tam giác vuông ​ + \(\displaystyle AS.AB = AH.SB\) + \(\displaystyle SH.SB = S{A^2}\) + \(\displaystyle \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\) + \(\displaystyle \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\) + \(\displaystyle SA = AB.\tan B\) + \(\displaystyle SA = SB.\sin B\) + \(\displaystyle {S_{SAB}} = \frac{1}{2}AS.AB\)

Trong tam giác thường ​ \(\displaystyle \cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\) \(\displaystyle \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \) \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

4. Thể tích và tỉ số thể tích (\(\displaystyle {S_{\text{đáy}}}\) là diện tích đáy)

Thể tích hình chóp \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{ S_{\text{đáy}}}.h\)	Thể tích lăng trụ \(\displaystyle V = { S_{\text{đáy}}}.h\)
Thể tích hình nón \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{ S_{\text{đáy}}}.h\)	Tỉ số thể tích ​ \(\displaystyle A',B',C'\) là 3 điểm bất kỳ trên \(\displaystyle SA,SB,SC\) của chóp tam giác (tứ diện \(\displaystyle S.ABC\). \[\displaystyle \frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\]
Thể tích hình trụ \(\displaystyle V = { S_{\text{đáy}}}.h\)
Thể tích khối cầu \(\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

5. Phương pháp gắn vào hệ tọa độ Oxyz

Cách chọn hệ trục + Chọn hai đường vuông góc trên đáy làm Ox, và Oy (yếu tố quyết định). + Từ O kẻ đường song song với đường cao làm Oz (không quan trọng). + Xác định tọa độ các điểm thuộc đáy + Xác định tọa độ đỉnh của chóp hoặc mặt còn lại của lăng trụ.	Cách xác định tọa độ cơ sở (các đỉnh của hình) + Đỉnh: ​ Quy tắc vàng: Dựa vào hình chiếu Nếu H là hình chiếu của S lên đáy (Oxy) và \(\displaystyle H\left( {a;b;0} \right)\). Còn S ở độ cao \(\displaystyle h\), thì \(\displaystyle S\left( {a;b;h} \right)\). Vì vậy: Chỉ cần xác định tọa độ các điểm trên đáy là xác định được tọa độ tất cả các đỉnh.
Quy tắc hình bình hành + ABCD là hình bình hành + Vì vậy: Một hình bình hành biết tọa độ 3 đỉnh thì dễ dàng tìm được đỉnh còn lại. + Ngoài ra lưu ý công thức tọa độ của trung điểm và trọng tâm.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h với B: diện tích đáy h: chiều cao	​
Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước Thể tích khối lập phương: \(\displaystyle V = {a^3}\) với a là độ dài cạnh	​
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: \(\displaystyle V=\frac{1}{3}.B.h\) với B: diện tích đáy h: chiều cao	​
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có: \(\displaystyle \frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SA'B'C'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}\frac{{SB}}{{SB'}}\frac{{SC}}{{SC'}}\)	​
4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: \(\displaystyle V = \frac{h}{3}\left( {B + B' + \sqrt {BB'} } \right)\) với \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}B,{\rm{ B'}}:\text{diện tích hai đáy}\\h:{\text{chiều cao}}\end{array} \right.\)	​

Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh \(\displaystyle a\) là \(\displaystyle d = a\sqrt 2 \)
Đường chéo của hình lập phương cạnh \(\displaystyle a\) là \(\displaystyle d = a\sqrt 3 \)
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước \(\displaystyle a,\;b,\;c\) là \(\displaystyle d = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh \(\displaystyle a\) là \(\displaystyle h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
II/ Bài tập:

LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = \(\displaystyle a\sqrt 2 \) và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

​	Lời giải: Ta có vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng \(\displaystyle \Rightarrow AA' \bot AB\) \(\Delta AA'B \Rightarrow AA{'^2} = A'{B^2} - A{B^2} = 8{a^2}\) \(\displaystyle \Rightarrow AA' = 2a\sqrt 2 \) Vậy V = B.h = S(ABC) .AA' = \(\displaystyle {a^3}\sqrt 2 \)

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này.

​

Lời giải: ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên \(\displaystyle B{D^2} = B{D'^2} - {\rm{DD}}{'^2} = 9{a^2}\) \(\displaystyle \Rightarrow BD = 3a\) ABCD là hình vuông \(\displaystyle \Rightarrow AB = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\) Suy ra B = SABCD = \(\displaystyle \frac{{9{a^2}}}{4}\) Vậy V = B.h = SABCD.AA' = \(\displaystyle 9{a^3}\)

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

​

Lời giải: Gọi I là trung điểm BC. Ta có ABC đều nên \(\displaystyle \begin{array}{l}AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt {3\,} \,\& \,AI \bot BC\\ \Rightarrow A'I \bot BC\,(dl3 \bot )\end{array}\) \(\displaystyle {S_{A'BC}} = \frac{1}{2}BC.A'I \Rightarrow A'I = \frac{{2{S_{A'BC}}}}{{BC}} = 4\) \(\displaystyle AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot AI\). \(\Delta A'AI \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{I^2} - A{I^2}} = 2\) Vậy \(V_{ABC.A’B’C’}\) = \(\displaystyle {S_{ABC}}\;.AA'\)= \(\displaystyle 8\sqrt 3 \)

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .

​

Lời giải: Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a và \(\displaystyle {S_{ABCD}}\) = \(\displaystyle 2{S_{ABD}}\) = \(\displaystyle \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) Theo đề bài \(\displaystyle BD'\) = \(\displaystyle AC\) = \(\displaystyle 2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) \(\Delta DD'B \Rightarrow DD' = \sqrt {BD{'^2} - B{D^2}} = a\sqrt 2 \) Vậy \(\displaystyle V = {S_{ABCD}}.DD'\) = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\)

2) Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc \(60^0\). Tính thể tích lăng trụ.

​

Lời giải: Ta có \(\displaystyle A'A \bot (ABC) \Rightarrow A'A \bot AB\,\& AB\)là hình chiếu của A'B trên đáy ABC . Vậy \(\Delta ABA' \Rightarrow AA' = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \) SABC = \(\displaystyle \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2}\) Vậy V = SABC.AA' = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , \(\widehat {ACB} = {60^0}\) biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc \(\displaystyle {30^0}\). Tính AC' và thể tích lăng trụ.

​

.Ta có: \(\displaystyle AB \bot AC\,;AB \bot AA' \Rightarrow AB \bot (AA'C'C)\) nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Vậy góc [BC';(AA"C"C)] = \(\widehat {BC'A}\) = \(\displaystyle {30^0}\) \(\displaystyle \Delta AC'B \Rightarrow AC' = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^o}}} = 3a\) V =B.h = \(\displaystyle {S_{ABC}}.AA'\) \(\Delta AA'C' \Rightarrow AA' = \sqrt {AC{'^2} - A'C{'^2}} = 2a\sqrt 2 \) \(\Delta ABC\) là nửa tam giác đều nên \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).Vậy V = \(\displaystyle {a^3}\sqrt 6 \)

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc \(\displaystyle {30^0}\). Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .

​

Lời giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: \(\displaystyle DD' \bot (ABCD) \Rightarrow DD' \bot BD\) và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD. Vậy góc [BD';(ABCD)] = \(\widehat {DBD'} = {30^0}\) \[\Delta BDD' \Rightarrow DD' = BD.\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\] Vậy V = \(\displaystyle {S_{ABCD}}.DD'\) = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\); S = 4\(\displaystyle {S_{ADD'A'}}\) = \(\displaystyle \frac{{4{a^2}\sqrt 6 }}{3}\)

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \(\displaystyle \widehat{BAD}\) = \(\displaystyle {60^0}\) biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc \(\displaystyle {30^0}\). Tính thể tích của hình hộp.

​

Lời giải: Tam giác ABD đều cạnh a \(\displaystyle \Rightarrow {S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) \(\displaystyle \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) Tam giác ABB’ vuông tại B \(\displaystyle \Rightarrow BB' = AB\tan {\rm{3}}{{\rm{0}}^o} = a\sqrt 3 \) Vậy \(\displaystyle V = B.h = {S_{ABCD}}.BB' = \frac{{3{a^3}}}{2}\)

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a , biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc \(\displaystyle {60^0}\). Tính thể tích lăng trụ.

​

Lời giải: Ta có \(\displaystyle A'A \bot (ABC)\,\& BC \bot AB \Rightarrow BC \bot A'B\,\) Vậy \([(A'BC),(ABC)] = \widehat {ABA'} = {60^0}\) \(\Delta ABA' \Rightarrow AA' = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \) SABC = \(\displaystyle \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2}\) Vậy V = \(\displaystyle {S_{ABC}}AA'\) = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc \(\displaystyle {30^0}\) và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

​

Lời giải: Tam giác ABC đều \(\displaystyle \Rightarrow AI \bot BC\) mà AA'\(\displaystyle \bot (ABC)\) nên A'I\(\displaystyle \bot BC\)(đl 3\(\displaystyle \bot \)). Vậy [(A'BC) . (ABC)] = \(\widehat{A’IA}\)= \(\displaystyle {30^0}\) Giả sử BI = x \(\displaystyle \Rightarrow AI = \frac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 \) . Ta có \(\displaystyle A'I = \frac{{AI}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{2AI}}{{\sqrt 3 }} = 2x\) A’A = AI.\(\displaystyle \tan {30^0}\) =\(\displaystyle x\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = x\) Vậy \(\displaystyle V = CI.IA.AA' = {x^3}\sqrt 3 \) Mà \(\displaystyle {S_{A'BC}} = BI.A'I = 2{x^2} = 8 \Rightarrow x = 2\) Do đó \(\displaystyle V = 8\sqrt 3 \)

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

​

Lời giải: Gọi O là tâm của ABCD . Ta có ABCD là hình vuông nên\(\displaystyle OC \bot BD\) CC'\(\displaystyle \bot \)(ABCD) nên OC'\(\displaystyle \bot \)BD (đl 3\(\displaystyle \bot \)). Vậy [(BDC');(ABCD)] = \(\widehat{COC’}\) = \(\displaystyle {60^0}\) Ta có V = B.h = \(\displaystyle {S_{ABCD}}.CC'\) ABCD là hình vuông nên \(\displaystyle {S_{ABCD}} = {a^2}\) Tam giác OCC’ vuông nên CC' = OC.\(\displaystyle \tan {60^0}\) =\(\displaystyle \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) Vậy V = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\)

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc \(\displaystyle {60^0}\) và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc\(\displaystyle {30^0}\) . Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

​

Ta có AA' \(\displaystyle \bot (ABCD) \Rightarrow \)AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = \(\widehat {A'CA} = {30^0}\) BC \(\displaystyle \bot \)AB \(\displaystyle \Rightarrow \)BC \(\displaystyle \bot \)A'B (đl 3\(\displaystyle \bot \)) . Vậy [(A'BC),(ABCD)] = \(\widehat {A'BA} = {30^0}\) AC = AA'.\(\displaystyle \cot {30^0}\) = \(\displaystyle 2a\sqrt 3 \) AB = AA'.\(\displaystyle \cot {60^0}\) = \(\displaystyle \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \frac{{4a\sqrt 6 }}{3}\) Vậy V = \(\displaystyle \frac{{16{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là \(\displaystyle a\sqrt 3 \) và hợp với đáy ABC một góc \(\displaystyle {60^0}\). Tính thể tích lăng trụ.

​

Lời giải: Ta có \(\displaystyle C'H \bot (ABC)\, \Rightarrow CH\) là hình chiếu của CC' trên (ABC) Vậy \([CC',(ABC)] = \widehat {C'CH} = {60^o}\) \(C'H = CC'.\sin {60^0} = \frac{{3a}}{2}\) \(\displaystyle {S_{ABC}}\) \(\displaystyle = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).Vậy V = \(\displaystyle {S_{ABC}}.C'H\) = \(\displaystyle \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc \(\displaystyle {60^0}\).
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

​

Lời giải: 1) Ta có \(\displaystyle A'O \bot (ABC)\, \Rightarrow OA\) là hình chiếu của AA' trên (ABC) Vậy \([AA',(ABC)] = \widehat {OAA'} = {60^o}\) Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) \(\displaystyle AO \bot BC\) tại trung điểm H của BC nên \(\displaystyle BC \bot A'H\)(đl 3 \(\displaystyle \bot \)) \(\displaystyle \Rightarrow BC \bot (AA'H) \Rightarrow BC \bot AA'\) mà AA'//BB' nên \(\displaystyle BC \bot BB'\) Vậy BB'CC' là hình chữ nhật. 2) Tam giác ABC đều nên \(\displaystyle AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \(A'O = AO\tan {\rm{6}}{{\rm{0}}^0} = a\) Vậy V = \(\displaystyle {S_{ABC}}.A'O\) = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = \(\displaystyle \sqrt 3 \), AD = \(\displaystyle \sqrt 7 \). Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc \(\displaystyle {45^0}\) và \(\displaystyle {60^0}\).Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

​

Lời giải: Kẻ A’H \(\displaystyle \bot (ABCD)\), HM \(\displaystyle \bot AB\), \(\displaystyle HN \bot AD\) \(\displaystyle \Rightarrow A'M \bot AB,A'N \bot AD\) (đl 3\(\displaystyle \bot \)) \( \Rightarrow \widehat {A'MH} = {45^o},\widehat {A'NH} = {60^o}\) Đặt A’H = x . Khi đó \(\displaystyle A'N = x:\sin {60^0} = \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}\) AN = \(\displaystyle \sqrt {AA{'^2} - A'{N^2}} = \sqrt {\frac{{3 - 4{x^2}}}{3} = HM} \) Mà HM = x.cot \(\displaystyle {45^0}\) = x Nghĩa là x = \(\displaystyle \sqrt {\frac{{3 - 4{x^2}}}{3}} \Rightarrow x = \sqrt {\frac{3}{7}} \) Vậy V = AB.AD.x =\(\displaystyle \sqrt 3 .\sqrt 7 .\sqrt {\frac{3}{7}} = 3\)

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .

​	Lời giải: Ta có \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABC) \bot (SBC)}\\{(ASC) \bot (SBC)}\end{array}} \right.\)\(\displaystyle \Rightarrow AC \bot (SBC)\) Do đó \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{SBC}}.AC = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc\(\displaystyle {60^0}\) .
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2) Tính thể tích hình chóp.

​

Lời giải: 1) \(\displaystyle SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AB\,\,\& \,SA \bot AC\) mà \(\displaystyle BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB\) ( đl 3 \(\displaystyle \bot \)). Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta có\(\displaystyle SA \bot (ABC) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của SB trên (ABC). Vậy [SB,(ABC)] = \(\widehat {SAB} = {60^0}\). ABC vuông cân nên BA = BC = \(\displaystyle \frac{a}{{\sqrt 2 }}\) \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{4}\) \(SA = AB.\tan {\rm{6}}{0^o} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) Vậy \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}}}{4}\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\)

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc\(\displaystyle {60^0}\). Tính thể tích hình chóp .

​

Lời giải: M là trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM \(\displaystyle \bot \)BC\(\displaystyle \Rightarrow \)SA\(\displaystyle \bot \)BC (đl3\(\displaystyle \bot \)) . Vậy [(SBC);(ABC)] = \(\widehat{SMA}=60^0\). Ta có V = \(\displaystyle \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA\) \(SA = AM\tan {60^o} = \frac{{3a}}{2}\) Vậy V = \(\displaystyle \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc\(\displaystyle {60^0}\) .
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

​

Lời giải: 1) Ta có \(\displaystyle SA \bot (ABC)\) và \(\displaystyle CD \bot AD \Rightarrow CD \bot SD\) ( đl 3 \(\displaystyle \bot \)).(1) Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = = 60o . SAD vuông nên SA = AD.\(\displaystyle \tan {60^0}\) = \(\displaystyle a\sqrt 3 \) Vậy \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}{a^2}a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) 2) Ta dựng AH \(\displaystyle \bot SD\),vì CD\(\displaystyle \bot \)(SAD) (do (1) ) nên CD \(\displaystyle \bot \)AH\(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle AH \bot (SCD)\) Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD). \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}}\) Vậy AH = \(\displaystyle \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

​

Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB. SAB đều \(\displaystyle \Rightarrow SH \bot AB\) mà \(\displaystyle (SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD)\) Vậy H là chân đường cao của khối chóp. Ta có tam giác SAB đều nên SA =\(\displaystyle \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) suy ra \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)\(\displaystyle \bot \)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc\(\displaystyle {60^0}\). Tính thể tích tứ diện ABCD.

​

Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH\(\displaystyle \bot \)(BCD) , mà (ABC) \(\displaystyle \bot \) (BCD) \(\displaystyle \Rightarrow \) AH \(\displaystyle \bot (BCD)\). Ta có AH\(\displaystyle \bot \)HD\(\displaystyle \Rightarrow \)AH = AD.\(\displaystyle \tan {60^0}\) =\(\displaystyle a\sqrt 3 \) và HD = AD.\(\displaystyle \cot {60^0}\) =\(\displaystyle \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) BC = 2HD = \(\displaystyle \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)suy ra V = \(\displaystyle \frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC.HD.AH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc \(\displaystyle {45^0}\).
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.

​

a) Kẻ SH\(\displaystyle \bot \) BC vì mp(SAC) \(\displaystyle \bot \)mp(ABC) nên SH\(\displaystyle \bot \)mp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC => SI\(\displaystyle \bot \)AB, SJ\(\displaystyle \bot \)BC, theo giả thiết Ta có: \(\displaystyle \Delta SHI = \Delta SHJ \Rightarrow HI = HJ\) nên BH là đường phân giác của tam giác ABC , từ đó suy ra H là trung điểm của AC. b) HI = HJ = SH =\(\displaystyle \frac{a}{2}\) \(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle {V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}SH = \frac{{{a^3}}}{{12}}\)

3) Dạng 3 : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .

\ ​

Lời giải: Dựng SO\(\displaystyle \bot \)(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có tam giác ABC đều nên AO = \(\displaystyle \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \(\Delta SAO \Rightarrow S{O^2} = S{A^2} - O{A^2} = \frac{{11{a^2}}}{3}\) \(\displaystyle \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {11} }}{{\sqrt 3 }}\).Vậy \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\)

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.

​

Lời giải: Dựng SO \(\displaystyle \bot \) (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA =OB = OC = OD Suy ra ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông . Ta có \(\displaystyle S{A^2} + S{B^2} = A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) nên vuông tại S \(\displaystyle \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}{a^2}\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) Vậy \(\displaystyle V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Suy ra thể tích hình chóp MABC.

​

Lời giải: a) Gọi O là tâm của \(\displaystyle \Delta ABC \Rightarrow DO \bot (ABC)\) \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.DO\) \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) , \(\displaystyle OC = \frac{2}{3}CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \(\displaystyle \Delta DOC\) vuông có: \(\displaystyle DO = \sqrt {D{C^2} - O{C^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) \(\displaystyle \Rightarrow V = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) b) Kẻ , khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH \(\displaystyle MH = \frac{1}{2}DO = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) . \(\displaystyle \Rightarrow {V_{MABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.MH = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\) Vậy \(\displaystyle V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)

4) Dạng 4 : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, \(\displaystyle AC = a\sqrt 2 \) , SA vuông góc với đáy ABC, \(\displaystyle SA = a\)
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

​

Lời giải: a) Ta cos: \(\displaystyle {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA\) và \(\displaystyle SA = a\) Tam giác \(\displaystyle ABC\) cân có: \(\displaystyle AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AB = a\) \(\displaystyle \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2}\) . Vậy \(\displaystyle {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}\) b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm,ta có :\(\displaystyle \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}\) Có \(\displaystyle \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{4}{9}\) Vậy \(\displaystyle {V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}{V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}}}{{27}}\)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và \(\displaystyle AB = a\). Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho \(\displaystyle CD = a\). Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Chứng minh \(\displaystyle CE \bot (ABD)\)
Tính thể tích khối tứ diện CDEF

​

Lời giải: a) Tính \(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.CD = \frac{{{a^3}}}{6}\) b) Tacó: \(\displaystyle AB \bot AC,AB \bot CD \Rightarrow AB \bot (ACD)\) \(\displaystyle \Rightarrow AB \bot EC\). Mà \(\displaystyle BD \bot EC \Rightarrow EC \bot (ABD)\) c) Tính \(\displaystyle {V_{DCEF}}\). Ta có: \(\displaystyle \frac{{{V_{DCEF}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{{DE}}{{DA}}.\frac{{DF}}{{DB}}\;(*)\) Mà \(\displaystyle DE.DA = D{C^2}\), chia cho \(\displaystyle D{A^2}\) \(\displaystyle \Rightarrow \frac{{DE}}{{DA}} = \frac{{D{C^2}}}{{D{A^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{1}{2}\) Tương tự: \(\displaystyle \frac{{DF}}{{DB}} = \frac{1}{3}\) Từ (*) \(\displaystyle \Rightarrow \frac{{{V_{DCEF}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{1}{6}\) . Vậy \(\displaystyle {V_{DCEF}} = \frac{{{a^3}}}{{36}}\)

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

​

Lời giải: Kẻ (\(\displaystyle N \in SD\)) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM). Có \(\displaystyle \frac{{{V_{SAND}}}}{{{V_{SADB}}}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SAND}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\) \(\displaystyle \frac{{{V_{SBMN}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{SBMN}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\) Mà \(\displaystyle {V_{S.ABMN}} = {V_{SANB}} + {V_{SBMN}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\) Suy ra \(\displaystyle \frac{{{V_{SABNM}}}}{{{V_{ABMN.ABCD}}}} = \frac{3}{5}\)

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc \(\displaystyle {60^0}\) . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
Hãy xác định mp(AEMF)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AEMF

​

Lời giải: a) Gọi \(\displaystyle I = SO \cap AM\). Ta có (AEFM) b) \(\displaystyle {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\) với \(\displaystyle {S_{ABCD}} = {a^2}\) + Tam giác SOA có: \(\displaystyle SO = AO.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) Vậy : \(\displaystyle {V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\) c) Phân chia chóp tứ giác ta có \(\displaystyle {V_{S.AEMF}} = {V_{SAMF}} + {V_{SAME}} = 2{V_{SAMF}}\) \(\displaystyle {V_{S.ABCD}} = 2{V_{SACD}} = 2{V_{SABC}}\) Xét khối chóp S.AMF và S.ACD Ta có : \(\displaystyle \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2}\) \(\displaystyle \Delta SAC\) có trọng tâm \(\displaystyle I\), nên: \(\displaystyle \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{{V_{SAMF}}}}{{{V_{SACD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}\) \(\displaystyle \Rightarrow {V_{SAMF}} = \frac{1}{3}{V_{SACD}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}}\) Vậy \(\displaystyle {V_{S.AEMF}} = 2.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{18}}\)

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, \(\displaystyle SA = a\sqrt 2 \). Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Chứng minh \(\displaystyle SC \bot (AB'D')\)
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

​

a) Ta có: \(\displaystyle {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) b) Ta có \(\displaystyle BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AB'\) và \(\displaystyle SB \bot AB'\) suy ra \(\displaystyle AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC\) Tương tự \(\displaystyle AD' \bot SC\). Vậy \(\displaystyle SC \bot (AB'D')\) c) Tính \(\displaystyle {V_{S.AB'C'D'}}\) + Tính \(\displaystyle {V_{S.AB'C'}}\). Ta có: \(\displaystyle \frac{{{V_{SAB'C'}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}.\frac{1}{2} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) \(\displaystyle \Rightarrow {V_{SAB'C'}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\) \(\displaystyle {V_{S.AB'C'D'}} = 2{V_{S.AB'C'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\)