Câu 2.1 trang 12 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Vận tốc của chất điểm dao động điều hòa có độ lớn cực đại khi A. li độ có độ lớn cực đại B. gia tốc có độ lớn cực đại C. li độ bằng 0 D. pha cực đại Giải Chọn đáp án C. Câu 2.2 trang 12 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Gia tốc của chất điểm dao động điều hòa bằng 0 khi A. li độ cực đại B. li độ cực tiểu C. vận tốc cực đại hoặc cực tiểu D. vận tốc bằng 0 Giải Chọn đáp án C. Câu 2.3 trang 12 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Trong dao động điều hòa, vận tốc biến đổi A. cùng pha với li độ B. ngược pha với li độ C. sớm pha \({\pi \over 2}\) so với li độ D. trễ pha \({\pi \over 2}\) so với li độ Giải Chọn đáp án C. Câu 2.4 trang 12 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Trong dao động điều hòa, vận tốc biến đổi A. cùng pha với li độ B. ngược pha với li độ C. sớm pha \({\pi \over 2}\) so với li độ D. trễ pha \({\pi \over 2}\) so với li độ Giải Chọn đáp án B. Câu 2.5 trang 12 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi A. cùng pha với vận tốc B. ngược pha với vận tốc C. sớm pha \({\pi \over 2}\) so với vận tốc D. trễ pha \({\pi \over 2}\) so với vận tốc Giải Chọn đáp án C. Câu 2.6 trang 12 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn đáp án đúng Biết rằng li độ \(x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) của dao động điều hoà bằng A vào thời điểm ban đầu t = 0. Pha ban đầu \(\varphi \) có giá trị bằng A.0 B. \({\pi \over 4}\) C. \({\pi \over 2}\) D. \(\pi \) Giải Chọn đáp án A. Câu 2.7 trang 12 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn đáp án đúng Li độ \(x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) của dao động điều hào bằng 0 khi pha của dao động bằng. A.0 B. \({\pi \over 4}\) C. \({\pi \over 2}\) D. \(\pi \) Giải Chọn đáp án C. Câu 2.8 trang 13 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn phát biểu đúng Động năng của vật dao động điều hòa biến đổi theo thời gian A. tuần hoàn với chu kì T B. như một hàm côsin C. không đổi D. tuần hoàn với chu kì \({T \over 2}\) Giải Chọn đáp án D. Biểu thức của động năng là : \({{\rm{W}}_đ} = {1 \over 2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right) \) \(= {1 \over 4}m{\omega ^2}{A^2}\left[ {\left( {1 - \cos 2\left( {\omega t + \varphi } \right)} \right)} \right]\) . Đó là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {2\omega }} = {T \over 2}\) Câu 2.9 trang 13 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn câu sai Cơ năng của vật dao động điều hòa bằng A. tổng động năng và thế năng ở thời điểm bất kì B. động năng vào thời điểm ban đầu C. thế năng ở vị trí biên D. động năng khi vật ở vị trí cân bằng Giải Chọn đáp án B. Câu 2.10 trang 13 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn phát biểu đúng Dao động duy trì là dao động tắt dần mà người ta đã A. làm mất lực cản môi trường đối với vật chuyển động B. tác dụng ngoại lực biến đổi điều hòa theo thời gian với tần số bất kì vào vật dao động C. tác dụng ngoại lực vào vật dao động cùng chiều với chuyển động trong một phần của từng chu kì. D. kích thích lại dao động sau khi dao động bị tắt dần. Giải Chọn đáp án C. Câu 2.11 trang 13 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn đáp án đúng Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có độ lệch pha \(\Delta \varphi \) . Biên độ của dao động lần lượt là \({A_1}\) và \({A_2}\) . Biên độ A của dao động tổng hợp có giá trị A. lớn hơn \({A_1} + {A_2}\) B. nhỏ hơn \(\left| {{A_1} - {A_2}} \right|\) C. luôn luôn bằng \({1 \over 2}\left( {{A_1} + {A_2}} \right)\) D. nằm trong khoảng từ \(\left| {{A_1} - {A_2}} \right|\) đến \({A_1} + {A_2}\) Giải Chọn đáp án D. Câu 2.12 trang 13 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn phát biểu đúng Một vật dao động điều hòa với tần số góc .Thế năng của vật ấy A. là một hàm dạng sin theo thời gian với tần số góc \(\omega \) B. là một hàm dạng sin theo thời gian với tần số góc \(2\omega \) C. biến đổi tuần hoàn với chu kì \(T = {\pi \over \omega }\) D. biến đổi tuần hoàn với chu kì \(T = {{2\pi } \over \omega }\) Giải Chọn đáp án C. Câu 2.13 trang 14 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn phát biểu đúng Biên độ của dao động cưỡng bức không phụ thuộc A. pha ban đầu của ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên vật B. biên độ ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên vật C. tân số ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên vật D. hệ số cản (của ma sát nhớt) tác dụng lên vật dao động. Giải Chọn đáp án A. Câu 2.14 trang 14 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn phát biểu đúng Đối với một hệ dao động thì tần số của dao động cưỡng bức A. bằng tần số dao động riêng của hệ khi không có ma sát B. bằng tần số dao động riêng của hệ khi có ma sát (dao động tắt dần) C. bằng tần số ngoại lực D. tùy thuộc vào biên độ của ngoại lực Giải Chọn đáp án C. Câu 2.15 trang 14 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Xét dao động tổng hợp của hai dao động có cùng tần số và cùng phương dao động. Biên độ của dao dộng tổng hợp không phụ thuộc vào yếu tố nào sau đây ? A. Biên độ dao động thứ nhất B. Biên độ dao động thứ hai C.Tần số chung của hai dao động D. Độ lệch pha của hai dao động. Giải Chọn đáp án C. Câu 2.16 trang 14 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Chọn câu đúng Người đánh đu A. dao động tự do B. dao dộng duy trì C. dao động cưỡng bức cộng hưởng D. không phải là một trong ba loại dao động trên Giải Chọn đáp án D. Người đánh đu luôn luôn thay đổi tư thế trên thanh đu : khi ngồi xổm, khi khom lưng, khi đứng thẳng khiến cho vị trí của khối tâm thay đổi. Điều đó dẫn đến thay đổi khoảng cách từ khối tâm đến trục quay, làm cho momen quán tính của đu thay đổi theo thời gian. Dao động này khác với dao động của con lắc vật lí. Dao động của người đánh đu thuộc một loại đặc biệt, gọi là dao động thông số (có thông số của hệ biến đổi theo thời gian). Câu 2.17 trang 14 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Thiết lập phương trình động lực học và tính tần số góc của dao động tự do của các hệ dao động sau đây : a) Con lắc xoắn : một vật nặng treo ở đầu một sợi dây thẳng đứng đi qua trọng tâm của vật. I momen quán tính của vật đối với trục là sợi dây . Hằng số xoắn của sợi dây là C : khi C bị xoắn một góc \(\theta \) thì momen xoắn là \( - C\theta \) (Hình 2.1) b) Chất lỏng khối lượng riêng \(\rho \) chứa trong một bình chữ U có tiết diện không đổi và bằng S, bỏ qua ma sát (Hình 2.2) Tính kết quả bằng số, biết rằng chất lỏng là thủy ngân có khối lượng riêng \(\rho = 13,6\,\,g/c{m^3}\). Bình có tiết diện \(S = 0,3\,\,c{m^2}\) và chứa 121 g thủy ngân. Giải a) Phương trình động lực học : Momen lực tác dụng = (Momen quán tính)\( \times \) (gia tốc góc) \( - C\theta = I\theta ''\) Hay là \(\theta '' + {C \over I}\theta = 0\) Đây là phương trình động lực học của dao động điều hòa với tần số góc : \(\omega = \sqrt {{C \over I}} \) Phương trình dao động là : \(\theta = {\theta _0}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) Phương trình này đúng cả khi góc \(\theta \) không phải là nhỏ. b) Khi cân bằng, mực chất lỏng ở hai nhánh của ống hình chữ U bằng nhau. Khi có độ chênh lệch là \(x\) (li độ) của mức chất lỏng trong một nhánh so với mức chất lỏng lúc cân bằng, thì độ chênh mức trong hai nhánh là 2x. Lực tác dụng lên cả khối chất lỏng trong ống chữ U là : \(F = - 2xS\rho g = - 2S\rho gx\) Lực này tỉ lệ với li độ \(x\) và tạo nên dao dộng của cả khối chất lỏng m chứa trong ống chữ U. Phương trình động lực học : \( - 2S\rho gx = mx''\) Hay là : \(x'' + {{2S\rho g} \over m}x = 0\) Tần số góc của dao động là : \(\omega = \sqrt {{{2S\rho g} \over m}} \) Áp dụng bằng số : \(\omega = \sqrt {{{2.0,00003.13600.9,81} \over {0,121}}} \approx 8,1\,\,\,rad/s\) (Chu kì T = 0,77 s). Câu 2.18 trang 15 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Phương trình dao động của một vật là: \(x = 5\cos \left( {4\pi t + {\pi \over 2}} \right)\) (cm) a) Xác định biên độ, tần số góc, chu kì và tần số của dao động b) Xác định pha của dao động tại thời điểm t = 0,25 s, từ đó suy ra li độ x tại thời điểm ấy. Giải a) Biên độ 5 cm ; tấn số góc \(4\pi \,rad/s\,\,\left( {12,56\,\,rad/s} \right)\) ; chu kì 0,5 s ; tần số 2 Hz. b) Pha của dao động tại thời điểm t = 0,25 s là \({{3\pi } \over 2};\) \(x = 5\cos {{3\pi } \over 2} = 5.0 = 0\,\,\,cm.\) Câu 2.19 trang 15 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4 cm và chu kì T = 2 s. a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc nó đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương b) Tính li độ của vật tại thời điểm t = 5,5 s c) Xác định những thời điểm vật đi qua có li độ \({x_1} = 2\) cm. Phân biệt lúc vật đi qua theo chiều dương và theo chiều âm. Giải a) Dạng tổng quát \(x = 4\cos \left( {\pi t + \varphi } \right)\) (cm), với điều kiện : khi t = 0 thì \(x = 0\) và \(v = x' = - 4\sin \left( {\pi t + \varphi } \right) > 0.\) Từ đó suy ra \(\cos \varphi = 0\) và \(\sin \varphi < 0.\) Vậy : \(\varphi = - {\pi \over 2}\) . Phương trình dao động là : \(x = 4\cos \left( {\pi t - {\pi \over 2}} \right)\) (cm). b) \(x = 4\cos \left( {5,5\pi - {\pi \over 2}} \right) = 4\cos 5\pi = - 4\,\,cm.\) c) \(4\cos \left( {\pi t - {\pi \over 2}} \right) = 2\), từ đó suy ra rằng : \(\cos \left( {\pi t - {\pi \over 2}} \right) = 0,5 = \cos \left( { \pm {\pi \over 3}} \right)\) Vậy : \(\pi t - {\pi \over 2} = \pm {\pi \over 3} + 2k\pi \). Từ đó ta có : \(t = {1 \over 2} \pm {1 \over 3} + 2k\) với k là số nguyên dương. \(t = {1 \over 2} + {1 \over 3} + 2k = {5 \over 6} + 2k\) (s), vật đi qua \({x_1}\) theo chiều âm. \(t = {1 \over 2} - {1 \over 3} + 2k = {1 \over 6} + 2k\) (s), vật đi qua \({x_1}\) theo chiều dương. Câu 2.20 trang 15 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm và tần số f = 2 Hz a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc vật đạt li độ cực đại b) Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào ? Giải a) \(x = 5\cos \left( {4\pi t + \varphi } \right)\) (cm) ;t = 0 thì x = 5. Từ đó suy ra \(\varphi = 0\) . Vậy : \(x = 5\cos 4\pi t\) (cm). b) \(x = 0\) và \(v = x' > 0\) và lúc \(4\pi t = {{3\pi } \over 2} + 2k\pi \) tức là \(t = {3 \over 8} + {k \over 2}\) , với k là số nguyên dương. Câu 2.21 trang 15 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Điểm M dao động điều hòa theo phương trình: \(x = 2,5\cos 10\pi t\) (cm) a) Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị \({\pi \over 3}\) ? Lúc ấy li độ x bằng bao nhiêu ? b) Viết phương trình của chính dao động nói trên, nhưng dùng hàm sin c) Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong thời gian một chu kì và trong thời gian nửa chu kì từ lúc li độ cực tiểu đến lúc li độ cực đại. Giải a) \(t = {1 \over {30}}s;x = 2,5\cos {\pi \over 3} = 1,25\) cm. b) \(x = 2,5\sin \left( {10\pi t + {\pi \over 2}} \right)\) (cm). c) Vận tốc trung bình trong 1 chu kì bằng 0. Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian nửa chu kì, từ lúc li độ cực tiểu đến lúc li độ cực đại là: \({v_{tb}} = {{2A} \over {{T \over 2}}} = {{4A} \over T} = {{4.2,5} \over {{1 \over 5}}} = 50\) cm/s Câu 2.22 trang 16 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Li độ x của một dao động biến đổi điều hòa theo thời gian với tần số là 60 Hz, biên độ là 5 cm. Viết phương trình dao động (dưới dạng hàm côsin) trong các trường hợp sau đây: a) Vào thời điểm ban đầu x = 0 và tăng b) Vào thời điểm ban đầu x = 0 và giảm c) Vào thời điểm ban đầu x = 2,5 và tăng d) Vào thời điểm ban đầu x = 2,5 và giảm Giải Tần số góc của dao động là : \(\omega = 2\pi f = 120\pi\,\,rad/s\) a) \(x = 5\cos \left( {120\pi t - {\pi \over 2}} \right)\) (cm). b) \(x = 5\cos \left( {120\pi t + {\pi \over 2}} \right)\) (cm). c) \(x = 5\cos \left( {120\pi t - {\pi \over 3}} \right)\) (cm). d) \(x = 5\cos \left( {120\pi t + {\pi \over 3}} \right)\) (cm). Câu 2.23 trang 16 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Biên độ của một dao động điều hòa là 0,50 m. Li độ hàm sin, gốc thời gian chọn vào lúc li độ cực đại. Xét trong chu kì dao động đầu tiên, tìm pha của dao động ứng với các li độ a) 0,25 m b) -0,30 m c) 0,50 m d) 0,40 m Giải \(x = 0,5\sin \left( {\omega t + {\pi \over 2}} \right)\) (cm) trong chu kì dao động đầu tiên, pha biến đổi từ \({\pi \over 2}\) đến \({{5\pi } \over 2}\) a) \({{5\pi } \over 6};\) b) \(218,{87^0};\) c) \({\pi \over 2};\) d) \(126,{87^0}.\) Câu 2.24 trang 16 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Li độ của một dao động điều hòa là hàm côsin và bằng 1,73 cm (coi gần đúng là \(\sqrt 3 \) cm) khi pha bằng \({\pi \over 3}\) , tần số bằng 5 Hz. Viết phương trình dao động. Giải \(x = A\cos \left( {10\pi t + \varphi } \right)\). Nếu lấy gốc thời gian vào lúc li độ cực đại thì \(\varphi = 0\) và \(A\cos {\pi \over 3} = \sqrt 3 \) , tức là \(A = 2\sqrt 3 \) . Ta có phương trình : \(x = 2\sqrt 3 \cos 10\pi t\) (cm). Nếu lấy gốc thời gian là lúc pha bằng \({\pi \over 3}\) thì \(x = 2\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t + {\pi \over 3}} \right)\) (cm). Câu 2.25 trang 16 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một điểm dao động điều hòa vạch ra một đoạn thẳng AB có độ dài 1 cm, thời gian mỗi lần đi hết đoạn thẳng từ đầu nọ đến đầu kia là 0,5 s a) Viết phương trình của dao động b) Tính thời gian mà điểm ấy đi hết đoạn thẳng OP và PB. O là điểm chính giữa AB, P là điểm chính giữa OB. Giải a) \(x = 0,5\cos \left( {2\pi t + \varphi } \right)\) (cm). Pha ban đầu \(\varphi \) là tùy ý, phụ thuộc vào việc chọn gốc thời gian. Điểm dao động ở \(O\left( {x = 0} \right)\) vào lúc \({t_0}\) sao cho pha \(2\pi {t_0} + \varphi = - {\pi \over 2}.\) Điểm dao động ở \(P\left( {x = 0,25\,\,\,cm} \right)\) vào lúc \({t_1}\) sao cho pha \(2\pi {t_1} + \varphi = - {\pi \over 3}.\) Điểm dao động ở B ( x = 0,5 cm) vào lúc \({t_2}\) sao cho pha \(2\pi {t_2} + \varphi = 0.\) Thời gian đi hết đoạn OP là : \({t_1} - {t_0} = {1 \over {12}}\,\,s.\) Thời gian đi hết đoạn PB là : \({t_2} - {t_1} = {1 \over 6}\,\,s.\) Câu 2.26 trang 16 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một vật có khối lượng 2 g dao động điều hòa với biên độ 2 cm và tần số 5 Hz. Hãy tính: a) Độ lớn cực đại của vận tốc b) Độ lớn cực đại của gia tốc c) Cơ năng của vật Giải a) \({v_{\max }}=0,63 m/s\); b) \(19,7\,\,m/{s^2};\) c) \({\rm{W}} = {1 \over 2}mv_{\max }^2 = {1 \over 2}{.2.10^{ - 3}}.0,{63^2}={4.10^{ - 4}}\,\,\,J.\) Câu 2.27 trang 16 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Pittông của một động cơ đốt trong dao động trên một đoạn thẳng dài 16 cm và làm cho trục khuỷu của động cơ quay đều với tốc độ 1200 vòng/phút (Hình 2.3) a) Viết phương trình dao động của pittông b) Pittông có tốc độ cực đại bằng bao nhiêu và ở vị trí nào ? c) Pittông có gia tốc cực đại bằng bao nhiêu và ở vị trí nào ? Hướng dẫn: Thường thì tay quay của trục khuỷu ngắn so với biên. Khoảng cách từ pittông đến hình chiếu của khuỷu (tức là khớp nối giữa tay quay và biên) lên trục xilanh có thể coi gần đúng bằng độ dài của biên. Giải Nếu coi khoảng cách từ pitông đến hình chiếu của khuỷu lên trục xilanh gần đúng bằng độ dài của biên, tức là không đổi, thì pitông dao động gần đúng như hình chiếu của khuỷu lên trục xilanh. Dao động đó có tần số f bằng tần số quay của trục khuỷu : \(f = {{1200} \over {60}} = 20\,\,\,Hz\) Biên độ A của dao động là : \(A = {{0,16} \over 2} = 0,08\,\,m\) a) Chọn gốc thời gian \(t = 0\) vào lúc li độ cực đại \(x = A,\) Tức là lúc pitông ở vi trí cao nhất và chiều dương của trục \(x\) hướng lên trên, thì phương trình dao động của pitông là : \(x = A\cos \omega t = A\cos 2\pi ft = 0,08cos40\pi t\) (m) b) Vận tốc có độ lớn cực đại bằng 10 m/s và đạt ở vị trí \(x = 0.\) c) Gia tốc có độ lớn cực đại bằng \(1262\,\,m/{s^2}\) và đạt được ở vị trí biên. \(x = \pm 0,08\) m Ghi chú: Trong các động cơ, gia tốc của pitông và bộ truyền chuyển động nối với nó rất lớn, trong bài này là \(1200\,\,m/{s^2}\) xấp xỉ bằng 123 lần gia tốc \(g\) của trọng trường. Như vậy, lực tác dụng rất lớn, các chi tiết máy phải có đủ độ bền để chịu đựng được. Câu 2.28 trang 17 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một điểm dao động điều hòa theo hàm côsin với chu kì 2 s và có tốc độ 1 m/s vào lúc pha dao động là \({\pi \over 4}.\) a) Tìm biên độ dao động. b) Viết phương trình dao động (tự chọn gốc thời gian). Giải Dạng chung của phương trình dao động : \(x = A\cos \left( {{{2\pi } \over T}t + \varphi } \right).\) Vận tốc của điểm dao động có biểu thức : \(v = x' = - {{2\pi } \over T}A\sin \left( {{{2\pi } \over T}t + \varphi } \right).\) a) Theo điều kiện cho ở đầu bài : \(1 = \left| { - {{2\pi } \over T}sin{\pi \over 4}} \right|.\) Từ đó có thể tính được giá trị của biên độ A như sau : \(A = {{T\sqrt 2 } \over {2\pi }} = 0,45\)m b) Nếu chọn gốc thời gian vào lúc \(x = A = 0,45\) m, thì phương trình dao động là : \(x = 0,45\cos \pi t\) (m) Câu 2.29 trang 17 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 4 cm, chu kì T = 0,5 s. Vật nặng của con lắc có khối lượng là 0,4 kg. Hãy tính : a) Độ cứng k của lò xo b) Cơ năng của con lắc c) Tốc độ cực đại. Giải a) Từ hai công thức \(T = {{2\pi } \over \omega }\) và \(\omega = \sqrt {{k \over m}} \) , suy ra rằng độ cứng k có biểu thức : \(k = {{4{\pi ^2}} \over {{T^2}}}m = 63,1658 \approx 63,2\,\,N/m\) b) \({\rm{W}} = {1 \over 2}k{A^2} = 0,05\,\,J\) . c) \({v_{\max }} = \sqrt {{{2W} \over m}} = 0,5\,\,m/s.\) Câu 2.30 trang 17 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một con lắc lò xo gồm một vật nặng có khối lượng m = 0,4 kg và một lò xo có độ cứng k = 40 N/m. Người ta kéo vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn bằng 4 cm và thả tự do. a) Viết phương trình dao động của vật nặng b) Tìm độ lớn vận tốc cực đại của vật nặng c) Tính cơ năng của vật nặng Giải a) Nếu chọn gốc thời gian là lúc thả vật ở li độ 4 cm và chiều dương của trục \(x\) đi từ vị trí cân bằng đến vị trí ban đầu, thì : \(x = 4\cos 10t\) (cm) b) \({v_{\max }} = 10.4 = 40\,\,cm/s.\) c) \({\rm{W}} = {1 \over 2}k{A^2} = 0,032J\) hoặc \({\rm{W}} = {1 \over 2}mv_{\max }^2 = 0,032J\) Câu 2.31 trang 17 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một con lắc lò xo có khối lượng m = 0,4 kg và độ cứng k = 40 N/m. Vật nặng ở vị trí cân bằng . a) Dùng búa gõ vào vật nặng, truyền cho vận tốc ban đầu bằng 20 cm/s,viết phương trình dao động của vật nặng. b) Vận tốc ban đầu của vật nặng phải bằng bao nhiêu để biên độ dao động của nó bằng 4 cm ? Giải a) Dạng chung của phương trình dao động là: \(x = A\cos \left( {10t + \varphi } \right)\) Chọn gốc thời gian là lúc gõ búa lên vật ở vị trí cân bằng và chiều dương dương của trục x là chiều gõ búa, ta có điều kiện ban đầu: Khi t = 0 thì x = 0 và v = x’ = 0,2 m/s. Từ đó suy ra: \(x\left( 0 \right) = A\cos \varphi = 0\) hay \(\varphi = \pm {\pi \over 2}\) (Vì x’ > 0 nên chỉ lấy dấu - ) \(v\left( 0 \right) = x'\left( 0 \right) = - 10A\sin \left( { - {\pi \over 2}} \right) = 0,2\) hay là A = 0,02 m Vậy \(x = 0,02\cos \left( {10t - {\pi \over 2}} \right)\,\left( m \right)\). b) Nếu A = 0,04 m thì vận tốc ban đầu bằng: \(v\left( 0 \right) = - 10.0,04.\left( { - 1} \right) = 0,4\,m/s\) Câu 2.32 trang 17 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Trong một phút vật nặng gắn vào đầu một lò xo thực hiện đúng 40 chu kì dao dộng với biên độ dài là 8 cm. Tìm giá trị lớn nhất của a) vận tốc. b) gia tốc. Giải a) \({v_{\max }} = \omega A = {{2\pi } \over T}A = {{6,28} \over {{{60} \over {40}}}}.8 = 34\,\,cm/s = 0,34\,m/s\) b) Gia tốc cực đại \({a_{\max }} = {\omega ^2}A = 1,4\,m/{s^2}\) Câu 2.33 trang 17 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một con lắc đơn đếm giây (tức là con lắc đơn có chu kì là 2 s) ở nhiệt độ là \({0^0}C\) và ở nơi có gia tốc trọng trường là \(9,81\,m/{s^2}.\) a) Tính độ dài của con lắc. b) Tìm chu kì của con lắc đơn ở cùng vị trí, nhưng ở nhiệt độ \({25^0}C.\) Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là \(1,{2.10^{ - 5}}\) độ \(^{ - 1}\) . Giải a) 0,994 m b) 2,0003 s Câu 2.34 trang 17 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Ở nơi mà con lắc đơn đếm giây (có chu kì T = 2 s) có độ dài 1 m thì con lác đơn có độ dài 3 m dao động với chu kì baoi nhiêu ? Giải \(2\sqrt 3 = 2,464s\) Câu 2.35 trang 18 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một đồng hồ quả lắc đếm giây (có chu kì T = 2 s), quả lắc được coi như là một con lắc đơn với dây treo và vật nặng làm bằng đồng có khối lượng riêng là \(\rho = 8900\,kg/{m^3}\) và hệ số nợ dài là \(\alpha = {17.10^{ - 6}}\) độ \(^{ - 1}\) . Giả sử đồng hồ chạy đúng trong chân không, ở nhiệt độ \({20^0}C\) và tại một nơi có gia tốc trọng trường \(g = 9,813\,m/{s^2}.\) a) Tính độ dài l của dây treo ở \({20^0}C\). b) Trong khí quyển ở \({20^0}C\) thì đồng hồ chạy thế nào ? c) Trong khí quyển ở \({30^0}C\) thì đồng hồ chạy thế nào ? d) Đưa đồng hồ đến một nơi có gia tốc trọng trường là \(g = 9,809\,m/{s^2}\) thì đồng hờ chạy thế nào trong chân không và ở \({20^0}C\)? Biết khối lượng riêng của không khí trong khí quyển là \({\rho _{kk}} = 1,3\,kg/{m^3}.\) Bỏ qua ảnh hưởng của lực cản không khí đến chu kì dao động của con lắc. Giải Công thức cho chu kì T là: \(T = 2\pi \sqrt {{l \over g}} \) a) Từ đó suy ra: \(l = {{g{T^2}} \over {4{\pi ^2}}} = {{9,813.4} \over {4.{{\left( {3,141} \right)}^2}}} \approx 0,995m\) b) Trong khí quyển, con lắc chịu tác dụng của lực đẩy Ác-si-mét của không khí bằng \({m \over \rho }{\rho _{kk}}g\). Lực đẩy làm giảm trọng lượng của con lắc và trọng lượng của nó chỉ còn là: \(mg - {m \over \rho }{\rho _{kk}}g = mg\left( {1 - {{{\rho _{kk}}} \over \rho }} \right)\) Như vậy, coi như con lắc chịu tác dụng của trọng trường biểu kiến có gia tốc: \(g' = g\left( {1 - {{{\rho _{kk}}} \over \rho }} \right)\) \({{{\rho _{kk}}} \over \rho } = {{1,3} \over {8900}} < < 1\) , kí hiệu \({{{\rho _{kk}}} \over \rho } = \varepsilon \) Chu kì dao động T của con lắc trong khí quyển ở \({20^o}\) là: \(T' = 2\pi \sqrt {{l \over g}} = T\sqrt {{g \over {g'}}} = T\sqrt {{1 \over {1 - \varepsilon }}} \) Với \(\varepsilon < < 1,\) có thể dùng những công thức gần đúng: \({1 \over {1 - \varepsilon }} \approx 1 + \varepsilon \) và \(\sqrt {1 + \varepsilon } = 1 + {\varepsilon \over 2}\) Cuối cùng sẽ có: \(\eqalign{ & \sqrt {{g \over {g'}}} \approx 1 + {\varepsilon \over 2} = 1,000073 \cr & T' \approx T\left( {1 + {\varepsilon \over 2}} \right) = 2\left( {1 + {{13} \over {2.89000}}} \right)\cr&\;\;\;\;\;\, = 2,000146s \cr} \) Chu kì tăng, tức là số giây mà đồng hồ chỉ trong một ngày giảm: đồng hồ chạy chậm đi. 1 ngày đêm = 24 giờ = 24.3600 s = 86400 s Với chu kì dao động của quả lắc là T, trong một ngày đêm đồng hồ chỉ: \({{86400} \over {T'}}.2 = {{86400.2} \over {2,000146}} = {{86400} \over {1,000073}} = 86393,7s\) Như vậy, trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm đi là: 86400 – 86392,7 = 6,3 s c) Gọi \({l_1}\) là chiều dài của con lắc ở \({30^o}C\), ta có: \(\sqrt {{{{l_1}} \over l}} = \sqrt {{{1 + 30\alpha } \over {1 + 20\alpha }}} \approx \sqrt {1 + 30\alpha - 20\alpha } \approx \sqrt {1 + 10\alpha }\) \( \approx 1 + 5\alpha = 1,000085\) Chu kì \({T_1}\) ở nhiệt độ \({30^o}C\) là: \({T_1} = 2\pi \sqrt {{{{l_1}} \over {g'}}} = 2\pi \sqrt {{l \over g}.{{{l_1}} \over l}.{g \over {g'}}} = T\sqrt {{{{l_1}} \over l}.{g \over {g'}}} \) \(= T\left( {1 + 5\alpha } \right)\left( {1 + 0,000073} \right)\) Áp dụng công thức gần đúng: \(\left( {1 + {\varepsilon _1}} \right)\left( {1 + {\varepsilon _2}} \right) \approx 1 + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}\) Suy ra: \({T_1} = T\left( {1 + 0,000085 + 0,000073} \right) \) \(= 2.1,000158 = 2,000316s\) Đồng hồ chạy chậm đi, trong một ngày đêm là: \({{86400} \over {{T_1}}}.2 = {{86400} \over {1,000158}} = 86386,35s\) Tức là chậm đi 86400 – 86386,35 = 13,65 giây trong 1 ngày đêm. d) Đồng hồ chạy chậm đi 17,6 s trong 1 ngày đêm. Câu 2.36 trang 18 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Cho hai lò xo có độ cứng lần lượt là \({k_1}\) và \({k_2}.\) a) Nối chúng liên tiếp như ở Hình 2.4a. Tính độ cứng k của lò xo hợp thành. b) Nối chúng song song như Hình 2.4b và khi đặt lực tác dụng vào thanh nối hai đầu lò xo thì lựa chọn điểm đặt thích hợp để hai lò xo luôn luôn có cùng độ dãn. Tính độ cứng k của lò xo hợp thành. Giải a) Nối hai lò xo nối tiếp (Hình 2.1G), đặt lực \(\overrightarrow F \) vào lò xo hợp thành. Mỗi lò xo thành phần cũng chịu lực kéo là \(\overrightarrow F \). Lò xo 1 có độ dãn \({x_1}\) sao cho \(F = {k_1}{x_1}.\) Lò xo 2 có độ dãn \({x_2}\) sao cho \(F = {k_2}{x_2}.\) Độ dãn \(x\) của lò xo hợp thành là \(x = {x_1} + {x_2}.\) Gọi k là độ cứng của lò xo hợp thành, ta có \(F = kx.\) Thay \(x,{x_1},{x_2}\) rút từ ba đẳng thức trước, ta có : \(F = k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = k\left( {{F \over {{k_1}}} + {F \over {{k_2}}}} \right)\) Từ đó rút ra : \({1 \over k} = {1 \over {{k_1}}} + {1 \over {{k_2}}}\) Hoặc : \(k = {{{k_1}{k_2}} \over {{k_1} + {k_2}}}.\) b) Nối hai lò xo song song (Hình 2.2G). Đặt lực \(\overrightarrow F \) vào lò xo hợp thành, lực này phân thành hai lực song song \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \). \({F_1}\) đặt lên lò xo 1 tạo nên độ dãn \(x\,:\,{F_1} = {k_1}x.\) \({F_2}\) đặt lên lò xo 2 tạo nên độ dãn \(x\,:\,{F_2} = {k_2}x.\) \(x\) cũng là độ dãn của lò xo hợp thành. Gọi k’ là độ cứng của lò xo hợp thành, ta có : \(F = k'x\) Thay \(F = {F_1} + {F_2}\) và \({F_1} = {k_1}x,\,{F_2} = {k_2}x,\) ta có : \(k' = {k_1} + {k_2}\) Câu 2.37 trang 18 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Có hai lò xo giống hệt nhau. a) Treo quả nặng 200 g vào một lò xo và dao động tự do, chu kì dao động là 2 s. Tính độ cứng k của lò xo. b) Nối hai lò xo liên tiếp ( Hình 2.4a), rồi treo quả nặng 200 g vào và cho dao động tự do. Tính chu kì dao động. c) Nối hai lò xo song song ( Hình 2.4b), rồi treo quả nặng 200 g vào và cho dao động tự do. Tính chu kì dao động. Giải a) Độ cứng k tính được theo công thức : \(k = {{4{\pi ^2}} \over {{T^2}}}m = {{4.9,87} \over 4}.0,2 = 1,97\,\,N/m\) b) Nếu nối hai lò xo liên tiếp (Hình 2,4a) thì với cùng lực kéo \(\vec F\), lò xo hợp thành dài ra thêm một đoạn gấp hai lần so với độ dãn của một lò xo (dưới tác dụng của lực kéo \(\vec F\)). Vậy, độ cứng \({k_1}\) của lò xo hợp thành (từ hai lò xo) chỉ bằng một nửa độ cứng k của lò xo riêng biệt \({k_1} = {1 \over 2}k\) Chu kì \({T_1}\) của vật nặng treo trên lò xo hợp thành là: \({T_1} = 2\pi \sqrt {{m \over {{k_1}}}} = 2\pi \sqrt {{{2m} \over k}} = T\sqrt 2 = 2,83s\) c) Nếu hai lò xo song song (Hình 2.4b) thì khi có một lực \(\vec F\) tác dụng, mỗi lò xo chỉ chịu một lực bằng \({1 \over 2}\) của \(\vec F\) và sẽ dãn ra một đoạn bằng \({1 \over 2}\) so với độ dãn khi lực \(\vec F\) chỉ tác dụng vào một lò xo. Vậy hai lò xo ghép song song cho lò xo hợp thành có độ cứng \({k_2}\) lớn gấp hai lần so với độ cứng của một lò xo \({k_2} = 2k.\) Chu kì \({T_2}\) của vật nặng treo ở đầu lò xo ghép song song là: \({T_2} = 2\pi \sqrt {{m \over {{k_2}}}} = 2\pi \sqrt {{m \over {2k}}} = {T \over {\sqrt 2 }} = 1,41s\) Câu 2.38 trang 18 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Treo một vật nặng vào lò xo 1, nó dao động với chu kì \({T_1}.\) Treo cùng vật nặng ấy vào lò xo 2, nó dao động với chu kì \({T_2}.\) a) Nếu nối tiếp hai lò xo rồi treo vật nặng vào lò xo hợp thành thì vật nặng dao động với chu kì là bao nhiêu ? b) Nếu nối song song hai lò xo như bài 2.36 rồi treo vật nặng vào lò xo hợp thành thì chu kì dao động của vật nặng bằng bao nhiêu ? Giải Dùng kết nối lò xo ở bài 2.36. a) \(T = \sqrt {T_1^2 + T_2^2} \) b) \(T = {{{T_1}{T_2}} \over {\sqrt {T_1^2 + T_2^2} }}\) Câu 2.39 trang 19 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một con lắc lò xo gồm một hòn bi khối lượng m gắn vào đầu của hai lò xo nằm ngang, hai lò xo này có cùng trục và ở hai phía khác nhau của hòn bi ( Hình 2.5). Đầu kia của hai lò xo cố định. Độ cứng của hai lò xo lần lượt là \({k_1}\) và \({k_2}.\) Hòn bi có thể dao động không ma sát dọc theo trục chung của hai lò xo. Tính chu kì dao động của con lắc. Giải Với một li độ x, lực tác dụng là \(F = - \left( {{k_1} + {k_2}} \right)x\). Vậy: \(T = 2\pi \sqrt {{m \over {{k_1} + {k_2}}}} \) Câu 2.40 trang 19 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một vật rắn có khối lượng m = 1,2 kg có thể quay quanh trục nằm ngang, khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm của vật là d = 12 cm. Momen quán tính của vật đối với trục quay là \(I = 0,03\,kg.{m^2}.\) Biết \(g = 10\,m.{s^{ - 2}}.\) Tính chu kì dao động nhỏ của vật dưới tác dụng của trọng lực. Giải \(T = 2\pi \sqrt {{I\over {mgd}}} =2\pi \sqrt {{{0,03} \over {1,2.10.0,12}}} = 0,9s\) Câu 2.42 trang 19 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một con lắc đơn đếm giây, vị trí thẳng đứng của dây treo là OA. Đóng một cái đinh I ở ngang điểm chính giữa M của dây treo khi thẳng đứng, đinh chặn một bên của dây (Hình 2.6). Cho con lắc dao động. Mô tả dao động và tính chu kì. Giải Con lắc chuyển động tuần hoàn, mỗi chu kì gồm hai giai đoạn: - Ở phía phải A, con lắc có độ dài t = OA có nửa chu kì bằng 1 s. - Ở phía trái A, con lắc có độ dài \(MA = {1 \over 2}\) có nửa chu kì bằng \({1 \over {\sqrt 2 }}s\) (Hình 2.3G) Chu kì dao động đầy đủ là: \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} = 1,707s\) Câu 2.43 trang 19 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Có hai con lắc đơn có dây treo dài không bằng nhau, hiệu số độ dài của chúng là 28 cm. Trong khoảng thời gian mà con lắc thứ nhất thực hiện được 6 chu kì dao động thì con lắc thứ hai thực hiện được 8 chu kì dao động. Tính độ dài của mỗi con lắc. Giải \(2\pi \sqrt {{{{l_1}} \over g}} .6 = 2\pi \sqrt {{{{l_2}} \over g}} .8\) . Từ đây, suy ra \({{{l_1}} \over {{l_2}}} = {\left( {{8 \over 6}} \right)^2} = {{16} \over 9}\) Lại biết rằng \({l_1} - {l_2} = 28cm\) . Từ đây suy ra: \({l_1} = 64cm;\,\,{l_2} = 36cm\) Câu 2.44 trang 19 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một hòn bi nhỏ khối lượng m treo ở đầu một sợi dây và dao động. Chu kì dao động thay đổi bao nhiêu lần nếu hòn bi được tích một điện tích \(q > 0\) và đặt trong một điện trường đều có vecto cường độ \(\overrightarrow E \) thẳng đứng hướng xuống dưới ? Giải Sau khi được tích điện q và đặt điện trường E, hòn bi chịu một lực tổng hợp (không kể lực căng của dây treo) bằng trọng lực mg cộng với lực tĩnh điện qE: \(F' = mg + qE\) So với trước đó thì lực tác dụng tăng n lần: \(n = {{F'} \over F} = {{mg + qE} \over {mg}} = 1 + {{qE} \over {mg}}\) Điều đó tương đương với việc tăng gia tốc g của trọng trường n lần để trở thành g’ = ng Chu kì dao động T’ của con lắc khi có thêm lực điện là: \(T' = 2\pi \sqrt {{l \over {g'}}} = T\sqrt {{g \over {g'}}} = {T \over {\sqrt n }}\) So với chu kì T trước đó thì T’ giảm đi \(\sqrt {1 + {{qE} \over {mg}}} \) lần. Câu 2.45 trang 20 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Mặt trăng có khối lượng bằng \({1 \over {81}}\) khối lượng Trái Đất và có bán kính bằng \({1 \over {3,7}}\) bán kính Trái Đất. a) Chu kì của con lắc thay đổi thế nào khi chuyển động từ Trái Đất lên Mặt Trăng ? b) Nếu muốn giữ nguyên chu kì như ở Trái Đất thì khi lên Mặt Trăng phải thay đổi độ dài của con lắc như thế nào ? (Đối với con lắc đơn). Giải Gọi R và M lần lượt là bán kính và khối lượng Trái Đất, g là gia tốc trọng trường ở Trái Đất, \({R_1},{M_1},{g_1}\) là các đại lượng tương ứng đối với Mặt Trăng. Ta có: \({g_1} = {{{M_1}} \over M}.{{{R^2}} \over {R_1^2}}g = {{3,{7^2}} \over {81}}g = 0,169g\) a) Gọi \(T\) và \({T_1}\) lần lượt là chu kì dao động của con lắc trên mặt Trái Đất và trên Mặt Trăng: \({{{T_1}} \over T}.\sqrt {{g \over {{g_1}}}} = \sqrt {{1 \over {0,169}}} = 2,43\) b) Gọi \(l\) và \({l_2}\) là độ dài của con lắc trên Trái Đất và trên Mặt Trăng có cùng chu kì, ta có : \(2\pi \sqrt {{{{l_1}} \over {{g_1}}}} = 2\pi \sqrt {{l \over g}} \) ,suy ra \({l_1} = {{{g_1}} \over g}l = 0,169l.\) Câu 2.46 trang 20 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một con lắc vật lí được treo trong thang máy. Khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc \({1 \over {10}}g\) thì chu kì của con lắc dao động thay đổi như thế nào so với lúc thang máy đứng yên ? Giải Trong thang máy, gia tốc biểu kiến của trọng trường là : \(g' = g + {g \over {10}} = {{11} \over {10}}g\) Chu kì dao động \(T'\) của con lắc trong thang máy chuyển động có gia tốc là : \(T' = T\sqrt {{g \over {g'}}} = T\sqrt {{{10} \over {11}}} = 0,95T\) \(T\) là chu kì dao động của con lắc khi thang máy đứng yên. Câu 2.47 trang 20 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Hai điểm \({M_1}\) và \({M_2}\) cùng dao động điều hòa trên một trục x, quanh điểm O, với cùng tần số f, cùng biên độ A và chênh lệch pha nhau một góc là \(\varphi \) . Độ dài đại số \({M_1}\)\({M_2}\) biến đổi theo thời gian như thế nào ? Giải \(\eqalign{ & x = \overline {{M_1}{M_2}} = {x_2} - {x_1} \cr&\;\;\,\,= A\cos \left( {2\pi ft + \varphi } \right) - A\cos 2\pi ft \cr & \,\,\,\,\,\,= - 2A\sin {\varphi \over 2}\sin \left( {2\pi ft + {\varphi \over 2}} \right) \cr} \) \(x\) biến đổi điều hòa theo thời gian với cùng tần số \(f\) , với biên độ \(2A\sin {\varphi \over 2}\) Câu 2.48 trang 20 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Giải bài 2.47 với thay đổi như sau : Biên độ dao động của điểm \({M_1}\) là A, của điểm \({M_2}\)là 2A. Ngoài ra biết rõ thêm là dao động của \({M_2}\) sớm pha một góc \(\varphi = {\pi \over 3}\) so với dao động của điểm \({M_1}\). Giải Dùng phương pháp giản đồ Fren-nen, chọn các vectơ tương ứng với các đại lượng biến đổi điều hòa (Hình 2.4G). \({x_2} \leftrightarrow \overrightarrow {{X_2}} \) có độ dài 2A. \( - {x_1} \leftrightarrow - \overrightarrow {{X_1}} \) có độ dài A. Vào thời điểm \(t = 0\) , vectơ \( - \overrightarrow {{X_1}} \) hợp với trục \(x\) góc \(\pi \) . Vẽ \(\overrightarrow {OP} = - \overrightarrow {{X_1}} \) và \(\overrightarrow {PR} = \overrightarrow {{X_2}} \), ta có : \(\overrightarrow {OR} = \overrightarrow X = \overrightarrow {{X_2}} - \overrightarrow {{X_1}} \leftrightarrow x = {x_2} - {x_1}.\) Vectơ \(\overrightarrow X \) có độ dài là \(OR = A\sqrt 3 \) và hợp với trục \(x\) góc \({\pi \over 2}\) . Vậy : \(x = A\sqrt 3 \sin \left( {2\pi ft + {\pi \over 2}} \right)\) Câu 2.49 trang 20 sách bài tập Vật lí 12 Nâng cao. Một con lắc đơn có khối lượng m = 10 kg và độ dài dây treo l =2 m. Góc lệch cực đại của dây so với đường thẳng đứng là \(\alpha = {10^0} = 0,175\) rad. Tính cơ năng của con lắc và tốc độ của vật nặng khi nó ở vị trí thấp nhất. Giải Ở vị trí mà góc lệch cực đại thì động năng của con lắc bằng 0 và cơ năng W bằng thế năng : \({\rm{W}} = mgl(1 - \cos \alpha ) = 10.9,81.2(1 - 0,9848) \) \(= 2,98J\) Khi con lắc ở vị trí thất nhất thì động năng bằng cơ năng, và vận tốc có độ lớn cực đại: \({1 \over 2}mv_{\max }^2 = W \Rightarrow {v_{\max }} = \sqrt {{{2W} \over m}} = 0,77\,\,m/s\)
