Bài 6 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau: a) \(m(m - 6)x + m = - 8x + {m^2} - 2\) b) \({{(m - 2)x + 3} \over {x + 1}} = 2m - 1\) c) \({{(2m + 1)x - m} \over {x - 1}} = x + m\) d) \({{(3m - 2)x - 5} \over {x - m}} = - 3\) Gợi ý làm bài a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(({m^2} - 6m + 8)x = {m^2} - m - 2\) \( \Leftrightarrow (m - 2)(m - 4)x = (m + 1)(m - 2)\) Kết luận Với \(x \ne 2\) và \(x \ne 4\) , phương trình có nghiệm \(x = {{m + 1} \over {m - 4}}\) Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình; Với m = 4, phương trình vô nghiệm. b)Điều kiện của phương trình là \(x \ne - 1\), ta có \({{(m - 2)x + 3} \over {x + 1}} = 2m - 1\) => \((m - 2)x + 3 = (2m - 1)(x + 1)\) => \((m + 1)x = 4 - 2m\) (1) Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm. Với \(m \ne - 1\) phương tình (1) có nghiệm \(x = {{4 - 2m} \over {m + 1}}\) Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(x \ne - 1\) khi và chỉ khi \({{4 - 2m} \over {m + 1}} \ne - 1\) hay \( - 2m + 4 \ne - m - 1 = > m \ne 5\) Kết luận Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm Với \(m \ne - 1\) và \(m \ne 5\) phương trình có nghiệm là \(x = {{4 - 2m} \over {m + 1}}\) c) Điều kiện của phương trình là \(x \ne 1\). Khi đó ta có \({{(2m + 1)x - m} \over {x - 1}} = x + m\) \( \Leftrightarrow (2m + 1)x - m = (x + m)(x - 1)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 2)x = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0,x = m + 2\) Giá trị x = m +2 thỏa mãn điều kiện của phương trình khi \(m \ne - 1\) Kết luận Vậy với m = -1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 0; Với \(m \ne - 1\) phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = m + 2. d) Điều kiện của phương trình là \(x \ne m\). Khi đó ta có \({{(3m - 2)x - 5} \over {x - m}} = - 3\) \( \Leftrightarrow (3m - 2)x - 5 = - 3x + 3m\) \( \Leftrightarrow (3m + 1)x = 3m + 5\) Với \(m \ne - {1 \over 3}\) nghiệm của phương trình cuối là \(x = {{3m + 5} \over {3m + 1}}\) Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi \({{3m + 5} \over {3m + 1}} \ne m = > 3m + 5 \ne 3{m^2} + m\) \( \Leftrightarrow 3{m^2} - 2m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\) và \(m \ne {5 \over 3}\) Kết luận Với \(m = - {1 \over 3}\) hoặc \(m = - 1\) hoặc \(m = {5 \over 3}\) phương trình vô nghiệm. Với \(m \ne - {1 \over 3}\), \(m \ne - 1\) và \(m \ne {5 \over 3}\) phương trình có một nghiệm \(x = {{3m + 5} \over {3m + 1}}\) Bài 7 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho phương trình \((m + 2){x^2} + (2m + 1)x + 2 = 0\). a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó. Gợi ý làm bài a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m \ne - 2\) \({2 \over {m + 2}} < 0\) suy ra m < -2. Tổng của hai nghiệm bằng -3 khi \( - {{2m + 1} \over {m + 2}} = - 3 = > m = - 5\) thỏa mãn điều kiện m < -2. Đáp số: m = -5. b) Phương trình có nghiệm kép khi \(m \ne - 2\) và ∆ = 0. \(\Delta = {(2m + 1)^2} - 8(m + 2) = 4{m^2} - 4m - 15\) \(\Delta = 0 \Leftrightarrow m = {5 \over 2}\) hoặc \(m = - {3 \over 2}\) Khi \(m = {5 \over 2}\) nghiệm kép của phương trình là \(x = - {{2m + 1} \over {m + 2}} = - {2 \over 3}\) Khi \(m = - {3 \over 2}\) nghiệm kép của phương trình là x = 2. Bài 8 trang 68 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho phương trình \(9{x^2} + 2({m^2} - 1)x + 1 = 0\) a) Chứng tỏ rằng với m > 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt âm. b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)mà \({x_1} + {x_2} = - 4\) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\Delta ' = {({m^2} - 1)^2} - 9 = ({m^2} + 2)({m^2} - 4) = ({m^2} + 2)(m + 2)(m - 2)\) Với m > 2 thì \(\Delta ' = > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) Vì \({x_1}.{x_2} = {1 \over 9} > 0\) nên hai nghiệm cùng dấu. Hơn nữa \({x_1} + {x_2} = - {{2({m^2} - 1)} \over 9} < 0\) với mọi m > 2 nên hai nghiệm đều âm. b) Ta có \({{ - 2({m^2} - 1)} \over 9} = - 4 \Leftrightarrow {m^2} = 19 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt {19} \) Với \(m = \pm \sqrt {19} \) thì \(\Delta ' > 0\) Đáp số \(m = \pm \sqrt {19} \) Bài 9 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho phương trình bậc hai với tham số m \(3{x^2} - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0\) Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Gợi ý làm bài Hướng dẫn: Trước hết tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm. Sau đó sử dụng định lí Vi – ét. Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức dương. Ta có: \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(3m - 5) = {m^2} - 7m + 16\) Các giá trị m tìm được phải thỏa mãn điều kiện \({m^2} - 7m + 16 > 0\) tuy nhiên, trong trường hợp này tam thức bậc hai \({m^2} - 7m + 16 > 0\) với mọi m. Xem §5 chương IV). Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} = 3{x_2}\) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Theo định lí Vi – ét ta có \({x_1} + {x_2} = {{2(m + 1)} \over 3},{x_1}{x_2} = {{3m - 5} \over 3}\) Từ đó suy ra: \({x_2} = {{m + 1} \over 6},3x_2^2 = {{3m - 5} \over 3}\) Khử \({x_2}\) ta được phương trình bậc hai đối với m: \({m^2} - 10m + 21 = 0\) Phương trình cuối có hai nghiệm \({m_1} = 7,{m_2} = 3\) + Với m = 7 ta được \({x_2} = {4 \over 3},{x_1} = 4\) + Với m = 7 ta được \({x_2} = {2 \over 3},{x_1} = 2\) Bài 10 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các phương trình a) \(\sqrt {3x - 4} = x - 3\) b) \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 2x - 1\) c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 7} = x + 2\) d) \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 4} = \sqrt {2x - 5} \) Gợi ý làm bài a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge {4 \over 3}\) Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả \(3x - 4 = {x^2} - 6x + 9 = > {x^2} - 9x + 13 = 0\) Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = {{9 \pm \sqrt {29} } \over 2}\). Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(x \ge {4 \over 3}\) nhưng khi thay vào phương trình ban đều thì giá trị \({{9 - \sqrt {29} } \over 2}\) bị loại (vế trái dương nhưng vế phải âm). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = {{9 + \sqrt {29} } \over 2}\) b) Điều kiện của phương trình là \({x^2} - 2x + 3 > 0\) Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả. \({x^2} - 2x + 3 = 4{x^2} - 4x + 1\) \(\Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 2 = 0\) Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = {{1 \pm \sqrt 7 } \over 3}\) . Khi thay các giá trị này vào phương trình ban đầu thì giá trị \({{1 - \sqrt 7 } \over 3}\) bị loại. Đáp số: \(x = {{1 + \sqrt 7 } \over 3}\) c) Điều kiện của phương trình \({x^2} + 3x + 7 > 0\) \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 7} = x + 2 = > 2{x^2} + 3x + 7 = {x^2} + 4x + 4\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\) Phương trình cuối vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm. d) Điều kiện của phương trình là: \(3{x^2} - 4x - 4 \ge 0\) và \(2x + 5 \ge 0\) \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 4} = \sqrt {2x + 5} = > 3{x^2} - 4x - 4 = 2x + 5\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0\) Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = - 1,{x_2} = 3\) . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn các điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho. Vậy phương trình đã có hai nghiệm \(x = - 1,x = 3\) Bài 11 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau a) \(|3x + 2m| = x - m\) b) \(|2x + m| = |x - 2m + 2|\) c) \(m{x^2} + (2m - 1)x + m - 2 = 0\) d) \({{\sqrt {4x - 2} } \over {2x - 1}} = m - 1\) Gợi ý làm bài a) Với \(x \ge - {{2m} \over 3}\) phương trình đã cho trở thành \(3x + 2m = x - m \Leftrightarrow 2x = - 3m \Leftrightarrow x = - {{3m} \over 2}\) Ta có: \( - {{3m} \over 2} \ge - {{2m} \over 3} \Leftrightarrow - 9m \ge - 4m\) \( \Leftrightarrow 5m \le 0 \Leftrightarrow m \le 0\) Với \(x < - {{2m} \over 3}\) Phương trình đã cho trở thành \( - 3x - 2m = x - m \Leftrightarrow 4x = - m \Leftrightarrow x = - {m \over 4}\) Ta có: \( - {m \over 4} \ge - {{2m} \over 3} \Leftrightarrow - 3m \ge - 8m\) \( \Leftrightarrow 5m < 0 \Leftrightarrow m < 0\) Kết luận Với m > 0 phương trình vô nghiệm; Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0; Với m < 0 phương trình có nghiệm \({x_1} = - {{3m} \over 2}\) và \({x_2} = - {m \over 4}\) b) \(\left| {2x + m} \right| = \left| {x - 2m + 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \matrix{2x + m = x - 2m + 2(1) \hfill \cr 2x + m = - x + 2m - 2(2) \hfill \cr} \right.\) Phương trình (1) \( \Leftrightarrow x = - 3m + 2\) Phương trình (2) \( \Leftrightarrow 3x = m - 2 \Leftrightarrow x = {{m - 2} \over 3}\) Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là: \({x_1} = - 3m + 2 và {x_2} = {{m - 2} \over 3}\) c) m = 0 phương trình trở thành \( - x - 2 = 0 = > x = - 2\) \(m \ne 0\) phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có \(\Delta = 4m + 1\) Với \(m < - {1 \over 4}\) phương trình vô nghiệm; Với \(m \ge - {1 \over 4}\) nghiệm của phương trình là \({x_{1,2}} = {{1 - 2m \pm \sqrt {4m + 1} } \over {2m}}\) d) Điều kiện của phương trình là \(m > {1 \over 2}\) Với điều kiện đó vế trái dương, nên vế phải cũng dương nên m > 1. Lúc đó ta có: \({{\sqrt {4x - 2} } \over {2x - 1}} = m - 1 \Leftrightarrow \sqrt {2(2x - 1)} = (m - 1)(2x - 1)\) \( \Leftrightarrow \sqrt {(2x - 1)} {\rm{[}}\sqrt 2 - (m - 1)\sqrt {2x - 1} {\rm{]}} = 0\) \( \Leftrightarrow (m - 1)\sqrt {2x - 1} = \sqrt 2\) \( \Leftrightarrow {(m - 1)^2}(2x - 1) = 2\) \( \Leftrightarrow x = {{{{(m - 1)}^2} + 2} \over {2{{(m - 1)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m - 1)}^2}}}\) Giá trị \(x = {1 \over 2} + {1 \over {(m - 1){}^2}}\) thỏa mãn điều kiện \(x > {1 \over 2}\) Kết luận. Với \(m \le 1\) phương trình vô nghiệm. Với m > 1 nghiệm của phương trình là \(x = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m - 1)}^2}}}\)
