Bài 1 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\) Gợi ý làm bài \({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0\) \( \Leftrightarrow {x^3}(x - y) + {y^3}(y - x) \ge 0 \Leftrightarrow (x - y)({x^3} - {y^3}) \ge 0\) \( \Leftrightarrow {(x - y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0 \Leftrightarrow {(x - y)^2}({(x + {y \over 2})^2} + {{3{y^2}} \over 4}) \ge 0\) (đúng) Bài 2 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\) Gợi ý làm bài \({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4{y^2} - 12y + 3({z^2} - 2z) + 14 > 0\) \( \Leftrightarrow {(x - 1)^2}{(2y - 3)^2} + 3{(z - 1)^2} + 1 > 0\) (đúng) Bài 3 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \) Gợi ý làm bài \(\eqalign{ & {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr & \Leftrightarrow {{{{(\sqrt a )}^3} + {{(\sqrt b )}^3}} \over {\sqrt a \sqrt b }} \ge \sqrt a + \sqrt b \cr} \) \( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b )(a + b - \sqrt {ab} ) \ge (\sqrt a + \sqrt b )\sqrt {ab} \) \( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b )(a + b - 2\sqrt {ab} ) \ge 0\) \( \Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b ){(\sqrt a - \sqrt b )^2} \ge 0\) (đúng) Bài 4 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\) Gợi ý làm bài Từ \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \) và \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) suy ra \((a + b)({1 \over a} + {1 \over b}) \ge 4\) hay \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\) Bài 5 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \) Gợi ý làm bài Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) và \(c + d \ge 2\sqrt {cd} \)suy ra \(a + b + c + d \ge 2(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )\) \( = > 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \) => \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \) => \(a + b + c + d \ge 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \) => \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \) Bài 6 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}\) Gợi ý làm bài Từ \(a + b + c + d \ge 4\root 4 \of {abcd} \) và \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge 4\root 4 \of {{1 \over {abcd}}} \) Suy ra \((a + b + c + d)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d}) \ge 16\) Hay \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}\) Bài 7 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({a^2}b + {1 \over b} \ge 2a\) Gợi ý làm bài \({a^2}b + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{a^2}b.{1 \over b}} = 2a\) Bài 8 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \((a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc\) Gợi ý làm bài Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} ,b + c \ge 2\sqrt {bc} ,c + a \ge 2\sqrt {ca} \) Suy ra: \((a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc\) Bài 9 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({(\sqrt a + \sqrt b )^2} \ge 2\sqrt {2(a + b)\sqrt {ab} } \) Gợi ý làm bài \({(\sqrt a + \sqrt b )^2} = a + b + 2\sqrt {ab} \ge 2\sqrt {(a + b).2\sqrt {ab} } \) Bài 10 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\) Gợi ý làm bài \((a + b + c)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}) = 1 + 1 + 1 + ({a \over b} + {b \over a}) + ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b})\) \( \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9 = > {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}\) Bài 11 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {4 \over x} + {9 \over {1 - x}}\) với 0 < x < 1. Gợi ý làm bài \(y = {{4(x + 1 - x)} \over x} + {{9(x + 1 - x)} \over {1 - x}}\) =\(4 + 9 + {{4(1 - x)} \over x} + 9.{x \over {1 - x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.{{(1 - x)} \over x}.9.{x \over {1 - x}}} = 25\) => \(y \ge 25,\forall x \in (0;1)\) Đẳng thức y = 25 xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ {{4(1 - x)} \over x} = {{9x} \over {1 - x}} = 6 \hfill \cr x \in (0;1) \hfill \cr} \right.\) hay \(x = {2 \over 5}\) Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại \(x = {2 \over 5}\). Bài 12 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 4{x^3} - {x^4}\) với \(0 \le x \le 4\) Gợi ý làm bài \(y = 4{x^3} - {x^4} = {x^3}(4 - x)\) => \(3y = x.x.x(12 - 3x) \le {({{x + x} \over 2})^2}{({{x + 12 - 3x} \over 2})^2}\) \( = > 48 \le {{\rm{[}}2x(12 - 2x){\rm{]}}^2} \le {({{2x + 12 - 2x} \over 2})^4} = {6^4}\) \( = > y \le {{{6^4}} \over {48}} = 27,\forall x \in {\rm{[}}0;4]\) \(y = 27 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = x \hfill \cr x = 12 - 3x \hfill \cr 2x = 12 - x \hfill \cr x \in {\rm{[}}0;4] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 3.\) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 27 đạt được khi x = 3. Bài 13 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó \(y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} \) Gợi ý làm bài Vế phải có nghĩa khi \(1 \le x \le 5\) Ta có: \({y^2} = {(\sqrt {x - 1} + \sqrt {5 - x} )^2} = 4 + 2\sqrt {(x - 1)(5 - x)} \) => \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1;5] \hfill \cr {y^2} \le 4 + (x - 1) + (5 - x) = 8 \hfill \cr} \right. \cr & = > \left\{ \matrix{ y \ge 2 \hfill \cr y \le 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\forall x \in {\rm{[}}1;5] \cr} \) Hơn nữa \(y = 2 \Leftrightarrow (x - 1)(5 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = 5 \hfill \cr} \right.$\) \(y = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x - 1 = 5 - x \Leftrightarrow x = 3\) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\sqrt 2 $\) khi x = 3, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi x = 1 hoặc x = 5. Bài 14 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Chứng minh rằng: \(\left| {x - z} \right| \le \left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right|,\forall x,y,z\) Gợi ý làm bài \(\left| {x - z} \right| = \left| {(x - y) + (y - z)} \right| \le \left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right|\)
