Bài 40 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Xét dấu của tam thức bậc hai sau a) \(2{x^2} + 5x + 2;\) b) \(4{x^2} - 3x - 1;\) c) \( - 3{x^2} + 5x + 1;\) d) \(3{x^2} + x + 5.\) Gợi ý làm bài d) Tam thức \(3{x^2} + x + 5\) có biệt thức \(\Delta = - 59 < 0\) và hệ số a = 3 > 0 Vậy \(3{x^2} + x + 5 > 0,\forall x\) Bài 41 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình sau: a) \({x^2} - 2x + 3 > 0;\) b) \({x^2} + 9 > 6x.\) Gợi ý làm bài a) \({x^2} - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + 2 > 0\) (đúng với mọi x); b) \({x^2} + 9 > 6x \Leftrightarrow {(x - 3)^2} > 0\) (đúng với mọi ) Bài 42 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình sau: a) \(6{x^2} - x - 2 \ge 0;\) b) \({1 \over 3}{x^2} + 3x + 6 < 0.\) Gợi ý làm bài a) \(6{x^2} - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - {1 \over 2} hoặc x \ge {2 \over 3}\) b) \({1 \over 3}{x^2} + 3x + 6 < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 9x + 18 < 0 \Leftrightarrow - 6 < x < - 3\) Bài 43 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình sau: a) \({{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 3x - 10}} < 0;\) b) \({{10 - x} \over {5 + {x^2}}} > {1 \over 2}.\) Gợi ý làm bài a) \({{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 3x - 10}} < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 10 < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 2.\) b) \(\eqalign{ & {{10 - x} \over {5 + {x^2}}} > {1 \over 2} \Leftrightarrow 20 - 20 > 5 + {x^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 15 < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 3 \cr} \) Bài 44 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình sau: a) \({{x + 1} \over {x - 1}} + 2 > {{x - 1} \over x};\) b) \({1 \over {x + 1}} + {2 \over {x + 3}} < {3 \over {x + 2}}.\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & {{x + 1} \over {x - 1}} + 2 > {{x - 1} \over x} \Leftrightarrow {{3x - 1} \over {x - 1}} > {{x - 1} \over x} \cr & \Leftrightarrow {{3{x^2} - x - {{(x - 1)}^2}} \over {x(x - 1)}} > 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + x - 1} \over {x(x - 1)}} > 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow x < - 1\) hoặc \(0 < x < {1 \over 2}\) hoặc \(x > 1\) b) \(\eqalign{ & {1 \over {x + 1}} + {2 \over {x + 3}} + {3 \over {x + 2}} < 0 \cr & \Leftrightarrow {{x + 3 + 2x + 2} \over {(x + 1)(x + 3)}} < {3 \over {x + 2}} \cr} \) \( \Leftrightarrow {{(3x + 5)(x + 2) - 3(x + 1) + (x + 3)} \over {(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} < 0.\) \( \Leftrightarrow {{1 - x} \over {(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} < 0\) \( \Leftrightarrow x < - 3\) hoặc \( - 2 < x < - 1\) hoặc \(x > 1\) Đáp số: x < -3 hoặc -2 < x < -1 hoặc x > 1 Bài 45 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình sau: a) \(\left\{ \matrix{ {x^2} \ge 0,25 \hfill \cr {x^2} - x \le 0 \hfill \cr} \right.;\) b) \(\left\{ \matrix{ (x - 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr (x - 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right.\) Gợi ý làm bài a) \(\left\{ \matrix{ {x^2} \ge 0,25 \hfill \cr {x^2} - x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 0,25 \ge 0 \hfill \cr {x^2} - x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0,5 \le x \le 1.\) b) \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ (x - 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr (x - 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \in ( - \infty ; - {3 \over 2}) \cup (1; + \infty ) \hfill \cr x \in {\rm{[ - }}{1 \over 4}{\rm{;4]}} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow x \in (1;4]. \cr} \) Bài 46 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình sau: a) \(\left\{ \matrix{ {x^2} \ge 0,25 \hfill \cr {x^2} - x \le 0 \hfill \cr} \right.;\) b) \(\left\{ \matrix{ (x - 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr (x - 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right.\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x^2} \ge 4x \hfill \cr {(2x - 1)^2} < 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 4x \ge 0 \hfill \cr - 3 < 2x - 1 < 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \in ( - \infty ;0] \cup {\rm{[}}4; + \infty ) \hfill \cr - 1 < x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 1 < x \le 0 \cr} \) b) \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 < (x + 1)(x - 2) \hfill \cr {x^2} - x \le 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \cr {x^2} - x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \in ( - \infty ;{{3 - \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{3 + \sqrt 5 } \over 2};3] \hfill \cr - 2 \le x \le 3 \hfill \cr} \right. \cr} \) \( \Leftrightarrow x \in {\rm{[ - 2;}}{{3 - \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{3 + \sqrt 5 } \over 2};3{\rm{]}}\) Bài 47 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau: a) \(2{m^2} - m - 5 > 0;\) b) \( - {m^2} + m + 9 > 0.\) Gợi ý làm bài a) \(2{m^2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < {{1 - \sqrt {41} } \over 4};m > {{1 + \sqrt {41} } \over 4}\) b) \(- {m^2} + m + 9 > 0 \Leftrightarrow {{1 - \sqrt {37} } \over 2} < m < {{1 + \sqrt {37} } \over 2}\) Bài 48 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau: a) \({(2m - 1)^2} - 4(m + 1)(m - 2) \ge 0;\) b) \({m^2} - (2m - 1)(m + 1) < 0.\) Gợi ý làm bài \({(2m - 1)^2} - 4(m + 1)(m - 2) \ge 0 \Leftrightarrow 9 \ge 0\). Bất phương trình có tập nghiệm là R. b) \({m^2} - (2m - 1)(m + 1) < 0 \Leftrightarrow - {m^2} - m + 1 < 0\) \( \Leftrightarrow m \in ( - \infty ;{{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty )\) Bài 49 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau: a) \(\left\{ \matrix{ {(2m - 1)^2} - 4({m^2} - m) \ge 0 \hfill \cr {1 \over {{m^2} - m}} > 0 \hfill \cr {{2m - 1} \over {{m^2} - m}} > 0 \hfill \cr} \right.;\) b) \(\left\{ \matrix{ {(m - 2)^2} - (m + 3)(m - 1) \ge 0 \hfill \cr {{m - 2} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr {{m - 1} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr} \right.; \) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {(2m - 1)^2} - 4({m^2} - m) \ge 0 \hfill \cr {1 \over {{m^2} - m}} > 0 \hfill \cr {{2m - 1} \over {{m^2} - m}} > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 \ge 0 \hfill \cr {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow m > 1 \hfill \cr 2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) b) \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {(m - 2)^2} - (m + 3)(m - 1) \ge 0 \hfill \cr {{m - 2} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr {{m - 1} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 6m + 7 \ge 0 \hfill \cr (m - 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr (m - 1)(m + 3) > 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \le {7 \over 6} \hfill \cr - 3 < m < 2 \hfill \cr \left[ \matrix{ m > 1 \hfill \cr m < - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le {7 \over 6}\) Bài 50 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau: a) \(\left\{ \matrix{ 2m - 1 > 0 \hfill \cr {m^2} - (m - 2)(2m - 1) < 0 \hfill \cr} \right.;\) b) \(\left\{ \matrix{ {m^2} - m - 2 > 0 \hfill \cr {(2m - 1)^2} - 4({m^2} - m - 2) \le 0 \hfill \cr} \right.\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2m - 1 > 0 \hfill \cr {m^2} - (m - 2)(2m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > {1 \over 2} \hfill \cr - {m^2} + 5m - 2 < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > 0,5 \hfill \cr \left[ \matrix{ m > {{5 + \sqrt {17} } \over 2} \hfill \cr m < {{5 - \sqrt {17} } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > {{5 + \sqrt {17} } \over 2} \cr} \) b) \(\left\{ \matrix{ {m^2} - m - 2 > 0 \hfill \cr {(2m - 1)^2} - 4({m^2} - m - 2) \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 1 < m < 2 \hfill \cr 9 \le 0 \hfill \cr} \right.\) Hệ vô nghiệm Bài 51 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm các giá trị của tham số m để các tam thức bậc hai sau có dấu không đổi (không phụ thuộc vào x). a) \(f(x) = 2{x^2} - (m + 2)x + {m^2} - m - 1;\) b) \(f(x) = ({m^2} - m - 1){x^2} - (2m - 1)x + 1.\) Gợi ý làm bài Để tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có dấu không đổi, điều kiện cần và đủ là \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\) a) Điều kiện là \(\eqalign{ & {(m + 2)^2} - 8({m^2} - m - 1) < 0 \cr & \Leftrightarrow - 7{m^2} + 12m + 12 < 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow m \in ( - \infty ;{{6 - \sqrt {120} } \over 7}) \cup ({{6 + \sqrt {120} } \over 7}; + \infty ).\) b) Điều kiện là \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {m^2} - m - 1 \ne 0 \hfill \cr {(2m - 1)^2} - 4({m^2} - m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {m^2} - m - 1 \ne 0 \hfill \cr 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) Không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện này. Bài 52 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu a) \(({m^2} - 1){x^2} + (m + 3)x + ({m^2} + m) = 0;\) b) \({x^2} - ({m^3} + m - 2)x + {m^2} + m - 5 = 0.\) Gợi ý làm bài Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) sẽ có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi ac < 0. a) Nếu \(m = \pm 1\) thì phương trỉnh đã cho có nghiệm duy nhất (loại). \(\eqalign{ & ({m^2} - 1)({m^2} + m) < 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2}m(m - 1) < 0 \cr & \Leftrightarrow 0 < m < 1 \cr} \) b) \({x^2} - ({m^3} + m - 2)x + {m^2} + m - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi \({m^2} + m - 5 < 0 \Leftrightarrow {{ - 1 - \sqrt {21} } \over 2} < m < {{ - 1 + \sqrt {21} } \over 2}\) Bài 53 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt a) \({x^2} - 2x + {m^2} + m + 3 = 0;\) b) \(({m^2} + m + 3){x^2} + (4{m^2} + m + 2)x + m = 0.\) Gợi ý làm bài Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\)có hai nghiệm dương phân biệt, điều kiện cần và đủ là: \(\left\{ \matrix{ \Delta > 0 \hfill \cr {x_1}{x_2} > 0 \hfill \cr {x_1} + {x_2} > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \Delta > 0 \hfill \cr ac > 0 \hfill \cr ab < 0 \hfill \cr} \right.\) a) \({x^2} - 2x + {m^2} + m + 3 = 0\) có \(\Delta ' = - {m^2} - m - 2 < 0,\forall m\). Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) \(({m^2} + m + 3){x^2} + (4{m^2} + m + 2)x + m = 0\) có \(a = {m^2} + m + 3 > 0,\forall m\) và có \(b = 4{m^2} + m + 2 > 0,\forall m\), nên \(ab > 0,\forall m\). Vì vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt. Bài 54 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Với giá trị nào của tham số m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0? \(\left\{ \matrix{ 2x - ({m^2} + m + 1)y = - {m^2} - 9 \hfill \cr {m^4} + (2{m^2} + 1)y = 1 \hfill \cr} \right.\) Gợi ý làm bài Chú ý rằng \({m^2} + m + 1 > 0; - {m^2} - 9 < 0,\forall m\) nên nếu x > 0, y < 0 thì phương trình thứ nhất có vế trái dương, vế phải âm. Do đó không có giá trị nào của m làm cho hệ đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0. Bài 55 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x a) \(5{x^2} - x + m > 0;\) b) \(m{x^2} - 10x - 5 < 0.\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & 5{x^2} - x + m > 0,\forall x \cr & \Leftrightarrow \Delta = 1 - 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}} \cr} \) b) Khi m = 0, bất phương trình trở thành -10x - 5 < 0 , không nghiệm đúng với mọi x. Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ m < 0 \hfill \cr \Delta ' = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 5\) Bài 56 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x a) \(\eqalign{ & a){{{x^2} - mx - 2} \over {{x^2} - 3x + 4}} > - 1; \cr & \cr} \) b) \(m(m + 2){x^2} + 2mx + 2 < 0.\) Gợi ý làm bài \(\eqalign{ & a){{{x^2} - mx - 2} \over {{x^2} - 3x + 4}} > - 1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - mx - 2 > - {x^2} + 3x - 4 \cr} \) Do \({x^2} - 3x + 4 > 0,\forall x\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - (m + 3)x + 2 > 0\) Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi \(\Delta < 0\) \({(m + 3)^2} - 16 < 0\) \(\Leftrightarrow - 4 < m + 3 < 4 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\) b) +Nếu m = 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x; +Nếu m = -2 thì bất phương tình trở thành – 4x + 2 > 0, không nghiệm đúng với mọi x. + Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne - 2\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ m(m + 2) > 0 \hfill \cr \Delta ' = {m^2} - 2m(m + 2) < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m(m + 2) > 0 \hfill \cr - {m^2} - 4m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 4;m > 0 \cr} \) Đáp số: \(m < - 4;m \ge 0\). Bài 57 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm a) \(5{x^2} - x + m \le 0;\) b) \(m{x^2} - 10x - 5 \ge 0.\) Gợi ý làm bài a) Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \(5{x^2} - x + m > 0\) nghiệm đúng với mọi x. \( \Leftrightarrow 1 - 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}}\) Đáp số: \(m > {1 \over {20}}\) b) Cần tìm m để \(m{x^2} - 10x - 5 > 0,\forall x\) (1) Nếu m = 0 thì bất phương trình (1) trở thành - 10x - 5 < 0 không nghiệm đúng với mọi x. Nếu \(m \ne 0\) thì bất phương trình (1) nghiệm đúng khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ m < 0 \hfill \cr \Delta ' = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 5\) Đáp số: m < -5. Bài 58 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt a) \(({m^2} + m + 1){x^2} + (2m - 3)x + m - 5 = 0;\) b) \({x^2} - 6mx + 2 - 2m + 9{m^2} = 0.\) Gợi ý làm bài a) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương \({x_1},{x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \Delta ' > 0 \hfill \cr - {b \over a} \hfill \cr {c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {(2m - 3)^2} - 4(m - 5)({m^2} + m + 1) > 0 \hfill \cr {{ - (2m - 3)} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(1) \hfill \cr {{m - 5} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(2) \hfill \cr} \right. \cr} \) Vì \({m^2} + m + 1 > 0\) nên bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow m < {3 \over 2}\) và bất phương trình (2) \( \Leftrightarrow m > 5\) Do dó không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán b) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \Delta ' > 0 \hfill \cr - {b \over a} \hfill \cr {c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 9{m^2} - (2 - 2m + 9{m^2}) > 0 \hfill \cr {{6m} \over 1} > 0 \hfill \cr {{9{m^2} - 2m + 2} \over 1} > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2m - 2 > 0 \hfill \cr m > 0 \hfill \cr 9{m^2} - 2m + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > 1 \hfill \cr \forall m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 1. \cr} \) Đáp số: m > 1.
