Bài 7 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau a) \(\cos (\alpha - {\pi \over 2})\); b) \(\sin ({\pi \over 2} + \alpha )\); c) \(\tan ({{3\pi } \over 2} - \alpha )\); d) \(\cot (\alpha + \pi )\) Gợi ý làm bài a) Với \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) thì \({\pi \over 2} < \alpha - {\pi \over 2} < \pi \), do đó \(\cos (\alpha - {\pi \over 2}) < 0\). b) \({{3\pi } \over 2} < {\pi \over 2} + \alpha < 2\pi \) nên \(\sin ({\pi \over 2} + \alpha ) < 0\) c) \(0 < {{3\pi } \over 2} - \alpha < {\pi \over 2}\) nên \(\tan ({{3\pi } \over 2} - \alpha ) > 0\) d) \(\pi < \alpha + \pi < {{5\pi } \over 2}\) nên \(\cot (\alpha + \pi ) > 0\) Bài 8 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \), ta luôn có a) \(\sin (\alpha + {\pi \over 2}) = \cos \alpha \); b) \({\rm{cos}}(\alpha + {\pi \over 2}) = - \sin \alpha \); c) \(\tan (\alpha + {\pi \over 2}) = - \cot \alpha \); d) \(\cot (\alpha + {\pi \over 2}) = - \tan \alpha \). Gợi ý làm bài a) \(\sin (\alpha + {\pi \over 2}) = \sin ({\pi \over 2} - ( - \alpha )) = c{\rm{os( - }}\alpha {\rm{) = cos}}\alpha \) b) \({\rm{cos}}(\alpha + {\pi \over 2}) = c{\rm{os(}}{\pi \over 2} - ( - \alpha ) = \sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \) c) \(\tan (\alpha + {\pi \over 2}) = {{\sin (\alpha + {\pi \over 2})} \over {\cos (\alpha + {\pi \over 2})}} = {{\cos \alpha } \over { - \sin \alpha }} = - \cot \alpha \) d) \(\cot (\alpha + {\pi \over 2}) = {{\cos (\alpha + {\pi \over 2})} \over {\sin (\alpha + {\pi \over 2})}} = {{ - \sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - \tan \alpha \) Bài 9 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), nếu a) \({\rm{cos}}\alpha = - {1 \over 4},\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) b) \({\rm{sin}}\alpha = {2 \over 3},{\pi \over 2} < \alpha < \pi \) c) \({\rm{tan}}\alpha = {7 \over 3},0 < \alpha < {\pi \over 2}\) d) \({\rm{cot}}\alpha = - {{14} \over 9},{{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi \) Gợi ý làm bài a) \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} = > \sin \alpha < 0\) Vậy \(\sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {1 \over {16}}} = - {{\sqrt {15} } \over 4}\) \(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha }} = \sqrt {15} ,\cot \alpha = {1 \over {\sqrt {15} }}\) b) \({\pi \over 2} < \alpha < \pi = > c{\rm{os}}\alpha {\rm{ < 0}}\) Vậy \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {4 \over 9}} = {{ - \sqrt 5 } \over 3}\) \(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {c{\rm{os}}\alpha }}{\rm{ = - }}{2 \over {\sqrt 5 }}{\rm{,cot}}\alpha {\rm{ = - }}{{\sqrt 5 } \over 2}\) c) \(0 < \alpha < {\pi \over 2} = \cos \alpha > 0,co{s^2}\alpha = {1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}\) Vậy \(\cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{49} \over 9}} }} = {3 \over {\sqrt {58} }}\) \(\sin \alpha = \cos \alpha \tan \alpha = {7 \over {\sqrt {58} }},\cot \alpha = {3 \over 7}\) d) \({{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi = > \sin \alpha < 0,{\sin ^2}\alpha = {1 \over {1 + {{\cot }^2}\alpha }}\) Vậy \(\sin \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {{196} \over {81}}} }} = - {9 \over {\sqrt {277} }}\) \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = sin}}\alpha {\rm{cot}}\alpha {\rm{ = }}{{14} \over {\sqrt {277} }},\tan \alpha = {1 \over {\cot \alpha }} = - {9 \over {14}}\) Bài 10 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Biết \(\sin \alpha = {3 \over 4}\) và \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \). Tính a) \(A = {{2\tan \alpha - 3\cot \alpha } \over {\cos \alpha + tan\alpha }}\) b) \(B = {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha } \over {\tan \alpha - \cot \alpha }}\) Gợi ý làm bài a) \({\pi \over 2} < \alpha < \pi = > \cos \alpha < 0\) Ta có: \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {9 \over {16}}} = - {{\sqrt 7 } \over 4}\) \(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - {3 \over {\sqrt 7 }},\cot \alpha = - {{\sqrt 7 } \over 3}\) Vậy \(A = {{ - {6 \over {\sqrt 7 }} + \sqrt 7 } \over { - {{\sqrt 7 } \over 4} - {3 \over {\sqrt 7 }}}} = - {4 \over {19}}\) b) \(B = {{{7 \over {16}} + {7 \over 9}} \over { - {3 \over {\sqrt 7 }} + {{\sqrt 7 } \over {\sqrt 7 }}}} = {{{{7 \times 25} \over {144}}} \over { - {2 \over {3\sqrt 7 }}}} = - {{175\sqrt 7 } \over {96}}\) Bài 11 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho \(\tan \alpha - 3\cot \alpha = 6\) và \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\). Tính a) \(\sin \alpha + \cos \alpha \) b) \({{2\sin \alpha - \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\) Gợi ý làm bài Vì \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) Nên \(\cos \alpha < 0,\sin \alpha < 0\) và \(\tan \alpha > 0\) Ta có: \(\tan \alpha - 3\cot \alpha = 6 \Leftrightarrow \tan \alpha - {3 \over {\tan \alpha }} - 6 = 0\) \( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha - 6\tan \alpha - 3 = 0\) Vì \(\tan \alpha > 0\) nên \(\tan \alpha = 3 + 2\sqrt 3\) a) \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = {1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} = {1 \over {22 + 12\sqrt 3 }}\) Suy ra \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = - }}{1 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }},\sin \alpha = - {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}.\) Vậy \(\sin \alpha + c{\rm{os}}\alpha {\rm{ = - }}{{4 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}\) \(\eqalign{ & {{2\sin \alpha - \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha (2 - {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }})} \over {{\rm{cos(1 + }}{1 \over {\sin \alpha }})}} \cr & = \tan \alpha .{{2\cos \alpha - 1} \over {{\rm{cos}}\alpha }}.{{\sin \alpha } \over {\sin \alpha + 1}} = {\tan ^2}\alpha .{{2\cos \alpha - 1} \over {\sin \alpha + 1}} \cr} \) \(\eqalign{ & {(3 + 2\sqrt 3 )^2}.{{ - {2 \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }}} \over { - {{3 + 2\sqrt 3 } \over {\sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} + 1}} \cr & = (21 + 12\sqrt 3 ).{{2 + \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } } \over {3 + 2\sqrt 3 - \sqrt {22 + 12\sqrt 3 } }} \cr} \) Bài 12 trang 189 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Chứng minh các đẳng thức a) \({{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ - cot}}\alpha }} = \tan \alpha \tan \beta\) b) \(\tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\) c) \(2({\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) + 1 = 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{\rm{cot}}\beta {\rm{ - cot}}\alpha }} = {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{1 \over {\tan \beta }} - {1 \over {\tan \alpha }}}} \cr & = {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {{{\tan \alpha - \tan \beta } \over {tan\alpha \tan \beta }}}} = \tan \alpha \tan \beta \cr} \) b) \(\eqalign{ & \tan {100^0} + {{\sin {{530}^0}} \over {1 + \sin {{640}^0}}} \cr & = \tan ({90^0} + {10^0}) + {{\sin ({{360}^0} + {{170}^0})} \over {1 + \sin ({{720}^0} - {{80}^0})}} \cr} \) \(\eqalign{ & = - \cot {10^0} + {{\sin {{170}^0}} \over {1 - \sin {{80}^0}}} \cr & = - {{\cos {{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}}} + {{\sin {{10}^0}} \over {1 - c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \) \( = {{ - \cos {{10}^0} + {{\cos }^2}{{10}^0} + {{\sin }^2}{{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}(1 - c{\rm{os1}}{{\rm{0}}^0})}} = {1 \over {\sin {{10}^0}}}\) \(\eqalign{ & c)2({\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) + 1 \cr & = 2({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x)({\sin ^4}x - {\sin ^2}x{\cos ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + 1 \cr & = 2({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + {({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x)^2} - 2{\sin ^{^2}}x{\cos ^2}x \cr & = 2({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) + ({\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x) \cr & = 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ) \cr} \) Bài 13 trang 190 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho \(\tan \alpha + \cos \alpha = m\), hãy tính theo m a) \({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \) b) \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \cr & = {(\tan \alpha + \cot \alpha )^2} - 2\tan \alpha \cot \alpha = {m^2} - 2 \cr} \) b) \(\eqalign{ & {\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \cr & = (\tan \alpha + \cot \alpha )({\tan ^2}\alpha - \tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha ) \cr & = m({m^2} - 3) \cr} \) Bài 14 trang 190 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức a) \(A = \tan {18^0}\tan {288^0} + \sin {32^0}\sin {148^0} - \sin {302^0}\sin {122^0}\) b) \(B = {{1 + {{\sin }^4}\alpha - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha } \over {1 - {{\sin }^6}\alpha - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha }}\) Gợi ý làm bài a) \(A = \tan ({90^0} - {72^0})\tan ({360^0} - {72^0}) + \sin {32^0}\sin ({180^0} - {32^0}) - \sin ({360^0} - {58^0})\sin ({180^0} - {58^0})\) \(\eqalign{ & \cot {72^0}( - \tan {72^0}) + {\sin ^2}{32^0} + {\sin ^2}{58^0} \cr & = - 1 + {\sin ^2}{32^0} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{32^0} \cr & = - 1 + 1 = 0 \cr} \) b) \(\eqalign{ & B = {{1 + ({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )(si{n^2}\alpha - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )} \over {1 - ({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )({{\sin }^4}\alpha - {{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )}} \cr & = {{1 + {{\sin }^2}\alpha - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \over {1 - {\rm{[}}{{({{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )}^2} - 3{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \cr & = {{3{{\sin }^2}\alpha } \over {3{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = {2 \over 3}(1 + {\tan ^2}\alpha ) \cr} \) Bài 15 trang 190 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) làm cho biểu thức \({{\sin \alpha + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\) có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm. Gợi ý làm bài Ta có: \(\eqalign{ & {{\sin \alpha + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }} = {{\sin \alpha (1 + {1 \over {{\rm{cos}}\alpha }})} \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{(1 + }}{1 \over {\sin \alpha }})}} \cr & = {{{{\sin }^2}\alpha (1 + c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha (1 + \sin \alpha )}} \cr} \) Vì \(1 + c{\rm{os}}\alpha \ge {\rm{0}}\) và \(1 + \sin \alpha \ge {\rm{0}}\) cho nên biểu thức đã cho không thể có giá trị là một số âm.
