Câu 1.1 trang 6 SBT Đại số 10 Nâng cao. Trong các câu sau đây câu nào là mệnh đề ? Với câu là mệnh đề hãy xác định xem mệnh đề đó đúng hay sai. a. Không được đi qua lối này ! b. Bây giờ là mấy giờ ? c. Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946. d. \(4 + x = 5\). e. 16 chia 3 dư 1. f. \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ. g. Phương trình \({x^2} + 3x + 5 = 0\) có nghiệm. Giải: Các câu e và f là mệnh đề đúng. Các câu c và g là mệnh đề sai. Các câu còn lại không phải là mệnh đề. Câu 1.2 trang 7 SBT Đại số 10 Nâng cao. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai: a. P : “Phương trình \({x^2} + x + 1 = 0\) có nghiệm” b. Q : “Năm 2000 là năm nhuận” c. R : “327 chia hết cho 3” Giải: a. \(\overline P \) : “Phương trình \({x^2} + x + 1 = 0\) vô nghiệm”. \(\overline P \) là mệnh đề đúng. b. \(\overline Q \) : “Năm 2000 không phải là năm nhuận”. \(\overline Q \) là mệnh đề sai. c. \(\overline R \) : “Số 327 không chia hết cho 3”. \(\overline R \) là mệnh đề sai. Câu 1.3 trang 7 SBT Đại số 10 Nâng cao. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: P : “Tứ giác ABCD đã cho nội tiếp được trong đường tròn” Q : “Tam giác ABC đã cho là tam giác cân” R : “13 có thể biểu diễn được thành tổng của hai số chính phương” H : “\({2^{13}} - 1\) là một số nguyên tố” Giải: a. \(\overline P \) : “Tứ giác ABCD đã cho không nội tiếp được trong đường tròn” b. \(\overline Q \) : “Tam giác ABC đã cho không phải là tam giác cân” c. \(\overline R \) : “Số 13 không thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương” d. \(\overline H \) : “Số \({2^{13}} - 1\) không là số nguyên tố”. Câu 1.4 trang 7 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Xét hai mệnh đề: P : “Tam giác ABC vuông tại A” Q : “Trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC” a. Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai. b. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai. Giải: a. “Nếu tam giác ABC đã cho vuông tại A thì trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC”. Mệnh đề này đúng. b. “Tam giác ABC đã cho vuông tại A nếu và chỉ nếu trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC”. Mệnh đề này đúng. Câu 1.5 trang 7 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét mệnh đề R : “Vì 120 chia hết cho 6 nên chia hết cho 9” Nếu viết mệnh đề R dưới dạng “P ⇒ Q”, hãy nêu nội dung của các mệnh đề P và Q. Hỏi mệnh đề R đúng hay sai, tại sao ? Giải: P : “120 chia hết cho 6” Q : “120 chia hết cho 9” Mệnh đề R sai vì P đúng Q sai. Câu 1.6 trang 7 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hai mệnh đề P : “42 chia hết cho 5” Q : “42 chia hết cho 10” Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q. Hỏi mệnh đề này đúng hay sai, tại sao ? Giải: “Do 42 chia hết cho 5 nên nó chia hết cho 10”. Mệnh đề này đúng vì P là mệnh đề sai (cho dù Q đúng hay sai). Câu 1.7 trang 7 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hai mệnh đề P : “\({2^{2003}} - 1\) là số nguyên tố” Q : “16 là số chính phương” Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q. Hỏi mệnh đề này đúng hay sai, tại sao ? Giải: “Nếu \({2^{2003}} - 1\) là số nguyên tố thì 16 là số chính phương”. Mệnh đề này đúng vì Q là mệnh đề đúng (cho dù P đúng hay sai) Câu 1.8 trang 8 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hai tam giác ABC và DEF. Xét các mệnh đề sau P : “\(\widehat A = \widehat D,\widehat B = \widehat E\) ” Q : “Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF” Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q. Hỏi mệnh đề này đúng hay sai, tại sao ? Giải: “Nếu \(\widehat A = \widehat D,\widehat B = \widehat E\) thì tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF”. Mệnh đề này đúng. Câu 1.9 trang 8 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét hai mệnh đề P : “7 là số nguyên tố” Q : “6! + 1 chia hết cho 7” Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách. Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. Giải: “7 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu \(6! + 1\) chia hết cho 7” “Điều kiện cần và đủ để 7 là số nguyên tố là \(6! + 1\) chia hết cho 7” Mệnh đề đúng vì cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng. Câu 1.10 trang 8 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét hai mệnh đề P : “6 là số nguyên tố” Q : “5! + 1 chia hết cho 6” Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách. Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. Giải: “6 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu 5! + 1 chia hết cho 6” “6 là số nguyên tố khi và chỉ khi 5! + 1 chia hết cho 6” Mệnh đề đúng vì cả hai mệnh đề P và Q đều sai. Câu 1.11 trang 8 SBT Đại số 10 Nâng cao. Gọi X là tập hợp tất cả các học sinh lớp 10 ở trường em. Xét mệnh đề chứa biến \(P(x)\) : “x tự học ở nhà ít nhất 4 giờ trong một ngày” \(\left( {x \in X} \right)\) Hãy phát biểu các mệnh đề sau bằng các câu thông thường : a. \(\exists x \in X,P\left( x \right)\) b. \(\forall x \in X,P\left( x \right)\) c. \(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)} \) d. \(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} \) Giải: a. “Có một bạn học ở lớp 10 ở trường em tự học ít nhất 4 giờ trong một ngày” b. “Mọi học sinh lớp 10 ở trường em tự học ít nhất 4 giờ trong một ngày” c. “Có một bạn lớp 10 ở trường em tự học ít hơn 4 giờ trong một ngày” d. “Mọi học sinh lớp 10 ở trường em tự học ít hơn 4 giờ trong một ngày” Câu 1.12 trang 8 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét các câu sau đây: a. Tất cả các học sinh ở trường em đều phải học luật giao thông. b. Có một học sinh lớp 12 ở trường em có điện thoại di động. Hãy viết các câu đó dưới dạng “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\) ” hoặc "\(\exists x \in X,P\left( x \right)\)" và nêu rõ nội dung mệnh đề chứa biến \(P(x)\) và tập hợp X. Giải: a. “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\) ” trong đó X là tập hợp tất cả các học sinh ở trường em, \(P(x)\) là mệnh đề chứa biến : “x học luật giao thông”. b. \(\exists x \in X,P\left( x \right)\) trong đó X là tập hợp tất cả các học sinh lớp 12 ở trường em, \(P(x)\) là mệnh đề chứa biến “x có điện thoại di động”. Câu 1.13 trang 8 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho mệnh đề chứa biến P(x) : với x là số nguyên. Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau đây: a. \(P(0)\) b. \(P(1)\) c. \(P(2)\) d. \(P(-1)\) e. \(\exists x \in Z,P\left( x \right)\) g. \(\forall x \in Z,P\left( x \right)\) Giải: a. Mệnh đề đúng b. Mệnh đề đúng c. Mệnh đề sai d. Mệnh đề sai e. Mệnh đề đúng g. Mệnh đề sai. Câu 1.14 trang 9 SBT Đại số 10 Nâng cao. Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a. \(\forall x \in R,x > {x^2}.\) b. \(\forall n \in N,{n^2} + 1\) không chia hết cho 3. c. \(\forall n \in N,{n^2} + 1\) chia hết cho 4. d. \(\exists r \in Q,{r^2} = 3\) Giải: a. \(\exists x \in R,x \le {x^2}\) b. \(\exists n \in N,{n^2} + 1\) chia hết cho 3 c. \(\exists n \in N,{n^2} + 1\) không chia hết cho 4 d. \(\forall r \in Q,{r^2} \ne 3\) Câu 1.15 trang 9 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề đó: a. \(\exists r \in Q,4{r^2} - 1 = 0\) b. \(\exists n \in N,{n^2} + 1\) chia hết cho 8 c. \(\forall x \in R,{x^2} + x + 1 > 0\) d. \(\forall n \in {N^*},1 + 2 + \ldots + n\) không chia hết cho 11. Giải: a. Mệnh đề đúng vì với \(r = {1 \over 2}\) thì \(4{r^2} - 1 = 0\) . Mệnh đề phủ định là "\(\forall r \in Q,4{r^2} - 1 \ne 0\)". b. Mệnh đề sai. Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định "\(\forall n \in N,{n^2} + 1\)" không chia hết cho 8” là đúng. Thật vậy, nếu n là số chẵn thì \({n^2} + 1\) là số lẻ nên không chia hết cho 8. Nếu n là số lẻ, \(n = 2k + 1\left( {k \in N} \right)\) thì \({n^2} + 1 = 4k\left( {k + 1} \right) + 2\) chia 8 dư 2 (vì \(k\left( {k + 1} \right)\) là số chẵn). c. Mệnh đề đúng. Mệnh để phủ định "\(\exists x \in R,{x^2} + x + 1 \le 0\)" d. Mệnh đề sai. Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định "\(\exists n \in {N^*},1 + 2 + \ldots + n\) chia hết cho 11” là đúng. Thật vậy với \(n = 11\) thì \(1 + 2 + … + 11 = 66\) chia hết cho 11. Câu 1.16 trang 9 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “x thích môn Ngữ văn”, trong đó x lấy giá trị trên tập hợp X các học sinh của trường em. a. Dùng kí hiệu loogic để diễn tả mệnh đề : “Mọi học sinh của trường em đều thích môn Ngữ văn” b. Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề trên bằng kí hiệu loogic rồi diễn đạt mệnh đề phủ định đó bằng câu thông thường. Giải: a. \(\forall x \in X,P\left( x \right)\) b. \(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)} ,\) nghĩa là “Có một bạn học sinh của trường em không thích môn Ngữ văn” Câu 1.17 trang 9 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho mệnh đề chứa biến \(P(x)\) : “x đã đi máy bay”, trong đó x lấy giá trị trên tập hợp X các cư dân của khu phố (hay xã) em. a. Dùng kí hiệu lôgic để diễn tả mệnh đề : “Có một người của khu phố (hay xã) em đi máy bay”. b. Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề trên bằng kí hiệu loogic rồi diễn đạt mệnh đề phủ định bằng câu thông thường. Giải: a. "\(\exists x \in X,P\left( x \right)\)" b. Mệnh đề phủ định: "\(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} \) nghĩa là : “Mọi người trong khu phố (hay xã) em đều chưa đi máy bay”
