Câu 1.25 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho A là tập hợp các hình bình hành có bốn góc bằng nhau, B là tập hợp các hình chữ nhật, C là tập hợp các hình thoi và D là tập hợp các hình vuông. Hãy nêu mối quan hệ giữa các tập nói trên. Giải: Ta có: \(A = B;D \subset B = A;\) \(D \subset C;D = B \cap C\) Câu 1.26 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho \(A = \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\), \(B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\) và \(C = \left\{ {0;3;6;9} \right\}.\) a. Xác định \((A ∪ B) ∪ C\) và \(A ∪ (B ∪ C)\). Có nhận xét gì về kết quả ? b. Xác định \((A ∩ B) ∩ C\) và \(A ∩ (B ∩ C)\). Có nhận xét gì về kết quả ? Giải: a. \(\eqalign{ & A \cup B = \left\{ {0;1;2;3;4;5;8} \right\}, \cr & \left( {A \cup B} \right) \cup C = \left\{ {0;1;2;3;4;6;8;9} \right\} \cr & B \cup C = \left\{ {0;1;2;3;4;6;9} \right\}, \cr & A \cup \left( {B \cup C} \right) = \left\{ {0;1;2;3;4;6;8;9} \right\} \cr} \) Ta có \(\left( {A \cup B} \right) \cup C = A \cup \left( {B \cup C} \right)\) b. \(\eqalign{ & A \cap B = \left\{ {0;2;4} \right\},\left( {A \cap B} \right) \cap C = \left\{ 0 \right\} \cr & B \cap C = \left\{ {0;3} \right\},A \cap \left( {B \cap C} \right) = \left\{ 0 \right\} \cr} \) Ta có: \(\left( {A \cap B} \right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C} \right)\) Chú ý : Có thể chứng minh được rằng các đẳng thức trên luôn đúng với A, B, C là ba tập hợp bất kì. Câu 1.27 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho \(A = \left\{ {0;2;4;6;8;10} \right\}\), \(B = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\) và \(C = \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\). Hãy tìm a. \(A \cap \left( {B \cap C} \right)\) b. \(A \cup \left( {B \cup C} \right)\) c. \(A \cap \left( {B \cup C} \right)\) d.\(\left( {A \cup B} \right) \cap C\) e. \(\left( {A \cap B} \right) \cup C\) Giải: a. \(A \cap \left( {B \cap C} \right) = \left\{ {4;6} \right\}\) b. \(A \cup \left( {B \cup C} \right) = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\) c. \(A \cap \left( {B \cup C} \right) = A\) d. \(A \cup B = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;8;10} \right\}\) Vậy \(\left( {A \cup B} \right) \cap C = \left\{ {4;5;6;8;10} \right\}\) e. \(A \cap B = \left\{ {0;2;4;6} \right\}\) Vậy \(\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left\{ {0;2;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\) Câu 1.28 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao. Vẽ biểu đồ Ven thể hiện các phép toán sau của các tập A, B và C : a. \(A \cap \left( {B \cup C} \right)\) b. \(\left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {A\backslash C} \right) \cup \left( {B\backslash C} \right)\) Giải: a. b. Câu 1.29 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao. Có thể nói gì về các tập A và B nếu các đẳng thức tập hợp sau là đúng: a. \(A \cup B = A;\) b. \(A \cap B = A;\) c. \(A\backslash B = A;\) d. \(A\backslash B = B\backslash A\). Giải: a. Nếu \(A \cup B = A\) thì B là tập con của A vì theo định nghĩa ta luôn có \(B \subset A \cup B.\) Dễ kiểm tra rằng điều ngược lại cũng đúng. Vậy \(A \cup B = A\) nếu và chỉ nếu B là tập con của A. b. Nếu \(A \cap B = A\) thì A là tập con của B vì theo định nghĩa ta luôn có \(A \cap B \subset B\) c. Nếu \(A \backslash B = A\) thì hai tập A và B phải không giao nhau. Thật vậy, nếu tồn tại \(x \in A\) và \(x \in B\) thì do \(A = A \backslash B\) nên \(x \in A\backslash B\). Suy ra x không thuộc B (mâu thuẫn). Ngược lại, bằng cách vẽ biểu đồ Ven dễ thấy nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(A \backslash B = A\) cũng đúng. Vậy \(A \backslash B = A\) nếu và chỉ nếu \(A \cap B = \emptyset \) d. Nếu \(A \backslash B = B \backslash A\) thì \(A = B\). Thật vậy nếu \(A ≠ B\) thì phải có một phần tử của tập này nhưng không thuộc tập kia, chẳng hạn \(x \in A\) và \(x \notin B\) suy ra \(x \in A\backslash B\) nên \(x \in B\backslash A\) do đó \(x \in B\) và \(x \notin A\) (mâu thuẫn). Dễ kiểm tra rằng điều ngược lại cũng đúng. Vậy \(A \backslash B = B \backslash A\) nếu và chỉ nếu \(A = B\). Câu 1.30 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao. Liệu có thể kết luận \(A = B\) được không nếu A, B và C là các tập thỏa mãn: a. \(A \cup C = B \cup C\) b. \(A \cap C = B \cap C\) Giải: a. Không. Chẳng hạn \(A = \left\{ {1;2;3;4} \right\},\) \(B = \left\{ {1;2} \right\},\) \(C = \left\{ {3;4;5} \right\}.\) Ta có \(A ≠ B\) nhưng \(A \cup C = B \cup C = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) b. Không. Chẳng hạn \(A = \left\{ {1;2;3;4} \right\},\) \(B = \left\{ {3;4} \right\},\) \(C = \left\{ {3;4;5} \right\}\) . Ta có \(A ≠ B\) nhưng \(A \cap C = B \cap C = \left\{ {3;4} \right\}\) Câu 1.31 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao. Với mỗi tập A có một số hữu hạn phần tử, kí hiệu \(|A|\) là số phần tử của tập A. Sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần: a. \(\left| A \right|,\left| {A \cup B} \right|,\left| {A \cap B} \right|\) b. \(\left| {A\backslash B} \right|,\left| A \right| + \left| B \right|,\left| {A \cup B} \right|\) Giải: a. \(\left| {A \cap B} \right|,\left| A \right|,\left| {A \cup B} \right|\) b. \(\left| {A\backslash B} \right|,\left| {A \cup B} \right|,\left| A \right| + \left| B \right|\) Câu 1.32 trang 12 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho tập \(A = \left\{ {x \in R|2 < \left| x \right| < 3} \right\}\). Hãy biểu diễn A thành hợp của các khoảng. Giải: \(A = \left( {2;3} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right)\) Câu 1.33 trang 12 SBT Đại số 10 Nâng cao. Biểu diễn tập \(A = \left\{ {x \in R|\left| x \right| \ge 2} \right\}\) thành hợp các nửa khoảng. Giải: \(A = \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ; - 2} \right]\) Câu 1.34 trang 12 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng \(\sqrt 6 \) là số vô tỉ. Giải: Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử \(\sqrt 6 = {a \over b}\) là một số hữu tỉ trong đó a, b là hai số nguyên dương và \((a, b) = 1\). Suy ra \(6{b^2} = {a^2}\) . Vậy \({a^2}\) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 tức là a chia hết cho 6. Đặt \(a = 6k\left( {k \in N^*} \right)\) . Thay vào ta được \(6{b^2} = 36{k^2}\) hay \({b^2} = 6{k^2}\) . Lí luận tương tự như trên ta suy ra b chia hết cho 6. Vậy a và b có ước chung là 6. Điều này mâu thuẫn với giả thiết a, b không có ước chung lớn hơn 1. Câu 1.35 trang 12 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho \(A = \left\{ {x \in R|{1 \over {\left| {x - 2} \right|}} > 2} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in R|\left| {x - 1} \right| < 1} \right\}.\) Hãy tìm \(A \cup B\) và \(A \cap B\) Giải: Ta có: \(A = \left\{ {x \in R|0 < \left| {x - 2} \right| < 0,5} \right\},\) suy ra \(A = \left( {1,5;2,5} \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\) Dễ thấy \(B = (0 ; 2)\). Từ đó \(A \cup B = \left( {0;2,5} \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\) và \(A \cap B = \left( {1,5;2} \right)\) Câu 1.36 trang 12 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho \(A = \left\{ {x \in R|\left| {x - 1} \right| < 3} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in R|\left| {x + 2} \right| > 5} \right\}.\) Hãy tìm \(A \cap B.\) Giải: Ta có: \(A = \left( { - 2;4} \right)\) và \(B = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ; - 7} \right)\) Vậy \(A \cap B = \left( {3;4} \right)\)
