Câu 1.42 trang 12 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét các mệnh đề chứa biến sau : \(P(x)\) : “x là một kĩ sư”, \(Q(x)\) : “x là một người có tay nghề” và \(R(x)\) : “x là một người có thu nhập cao”. Gọi X là tập hợp toàn thể loài người. Hãy diễn đạt bằng lời các mệnh đề sau : a. \(\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right);\) b. \(\forall x \in X,\overline {Q\left( x \right)} \Rightarrow \overline {R\left( x \right)}; \) c. \(\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow {\rm P}\left( x \right).\) Giải: a. Nếu một người là kĩ sư thì người đó có tay nghề. b. Nếu một người không có tay nghề thì người đó không có thu nhập cao. c. Nếu một người là kĩ sư thì người ấy có thu nhập cao. Câu 1.43 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall n \in N,{n^2} + n + 1\) là số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định đó đúng hay sai ? Giải: Mệnh đề phủ định là “\(\exists n \in N,{n^2} + n + 1\) không là số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định đúng. Ví dụ với \(n = 4\) thì \({n^2} + n + 1 = 21\) chia hết cho 3 nên là hợp số. Câu 1.44 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao. Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo : Nếu hai số dương bằng nhau thì trung bình cộng và trung bình nhân của chúng bằng nhau. Giải: Định lí đảo : “Nếu hai số dương a, b có trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau thì chúng bằng nhau”. Chứng minh. Giả sử a, b là hai số dương sao cho \({{a + b} \over 2} = \sqrt {ab} .\) Khi đó \(a + b - 2\sqrt {ab} = 0 \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} = 0 \Rightarrow a = b\) Vậy điều kiện cần và đủ để hai số dương bằng nhau là trung bình cộng và trung bình nhân của chúng bằng nhau. Câu 1.45 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh các định lí sau bằng phương pháp phản chứng : a. Trong một tứ giác lồi phải có ít nhất một góc không nhọn (lớn hơn hay bằng góc vuông) và có ít nhất một góc không tù (nhỏ hơn hay bằng góc vuông). b. Nếu \(x\) và \(y\) là hai số thực với \(x ≠ -1\) và \(y ≠ -1\) thì \(x + y + xy ≠ -1.\) Giải: a. Giả sử cả bốn góc đều nhọn. Khi đó tổng của bốn góc của tứ giác sẽ nhỏ hơn 360˚ (mâu thuẫn). Tương tự giả sử cả bốn góc đều tù. Khi đó tổng của bốn góc của tứ giác sẽ lớn hơn 360˚ (mâu thuẫn). b. Giả sử \(x + y + xy = - 1.\) Suy ra \(x + y + xy + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 0\) Vậy phải có hoặc \(x = - 1\) hoặc \(y = -1\) (mâu thuẫn) Câu 1.46 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho mệnh đề chứa biến \(P(m ; n)\) : “n chia hết cho m” với m là số nguyên dương, n là các số tự nhiên. Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau : a. \(P(4 ; 5);\) b. \(P(2 ; 4);\) c. \(\forall n \in N,\forall m \in N^*,P\left( {m;n} \right);\) d. \(\exists m \in N*,\forall n \in N,P\left( {m;n} \right);\) e. \(\exists n \in N,\forall m \in N^*,P\left( {m;n} \right).\) Giải: a. Mệnh đề sai b. Mệnh đề đúng c. Mệnh đề sai d. Mệnh đề đúng (vì với \(m = 1\) thì \(n\) chia hết cho \(m\) với mọi \(n\)) e. Mệnh đề đúng (vì với \(n = 0\) thì \(n\) chia hết cho \(m\) với mọi \(m\)) Câu 1.47 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Kí hiệu |A| là số phần tử của tập hợp A. a. Chứng minh rằng nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right|\) b. Chứng minh rằng \(B \cup \left( {A\backslash B} \right) = A \cup B\) và \(B \cap \left( {A\backslash B} \right) = \emptyset \) c. Chứng minh rằng \(A = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right)\) d. Từ đó suy ra công thức sau \(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\) Giải: a. Hiển nhiên. b. Dễ thấy bằng cách vẽ sơ đồ Ven. c. Dễ thấy bằng cách vẽ sơ đồ Ven. d. Ta có \(\left| {A \cup B} \right| = \left| B \right| + \left| {A\backslash B} \right|,\) (do câu a và b) (1) Lại có \(A = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)\) (do c)) thành thử \(\left| A \right| = \left| {A\backslash B} \right| + \left| {A \cap B} \right|\) Vậy \(\left| {A\backslash B} \right| = \left| A \right| - \left| {A \cap B} \right|\) (2) Thay (2) vào (1) ta được \(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\) Câu 1.48 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho \(A = \left\{ {x \in R|\left| {x - 1} \right| > 3} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in R|\left| {x + 2} \right| < 5} \right\}.\) Tìm \(A \cap B.\) Giải: Ta có \(A = \left( {4; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ; - 2} \right);\) \(B = \left( { - 7;3} \right)\) Vậy \(A \cap B = \left( { - 7; - 2} \right)\) Câu 1.49 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao. Người ra gọi một số hữu tỉ r có dạng \(r = {m \over {{2^n}}}\) là số hữu tỉ nhị phân. Biết rằng trong mỗi khoảng tùy ý đều có ít nhất một số hữu tỉ nhị phân. Chứng minh rằng trong mỗi khoảng bất kì đều có ít nhất 100 số hữu tỉ nhị phân. Một cách tổng quát chứng minh rằng : Cho một số nguyên dương M lớn hơn tùy ý. Khi đó, trong mỗi khoảng tùy ý đều có ít nhất M số hữu tỉ nhị phân. Giải: Giả sử \((a ; b)\) là một khoảng bất kì. Ta chia \((a ; b)\) làm 100 khoảng con rời nhau. Theo nhận xét trên mỗi khoảng con đó đều chứa một số hữu tỉ nhị phân. Các số hữu tỉ nhị phân này khác nhau do các khoảng con không giao nhau. Vậy \((a ; b)\) chứa ít nhất 100 số hữu tỉ nhị phân. Mở rộng : Ta chia khoảng \((a ; b)\) làm M khoảng con rời nhau. Theo nhận xét trên trong mỗi khoảng con đó đều có chứa một số hữu tỉ nhị phân. Các số hữu tỉ nhị phân này đều khác nhau do các khoảng con không giao nhau. Vậy \((a ; b)\) chứa ít nhất M số hữu tỉ nhị phân. Câu 1.50 trang 14 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giả sử x là một giá trị gần đúng của \(\sqrt 5 \) . Xét số \(a = {{2x + 5} \over {x + 2}}.\) Chứng minh rằng \(\left| {a - \sqrt 5 } \right| < \left| {x - \sqrt 5 } \right|,\) Tức là nếu lấy a là giá trị gần đúng của \(\sqrt 5 \) thì ta được độ chính xác cao hơn là lấy \(x\). Giải: Đặt \(u = x - \sqrt 5 \) và \(v = a - \sqrt 5 .\) Ta có: \(v = a - \sqrt 5 = {{2x + 5 - x\sqrt 5 - 2\sqrt 5 } \over {x + 2}}\) \(= {{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right)} \over {x + 2}} = {{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)u} \over {x + 2}}.\) Vậy \(\left| {a - \sqrt 5 } \right| = \left| v \right|\) \(= \left| u \right|{{\sqrt 5 - 2} \over {x + 2}} < {{\sqrt 5 - 2} \over 2}\left| u \right| < \left| u \right|\) \(= \left| {x - \sqrt 5 } \right|\) Câu 1.51 trang 14 SBT Đại số 10 Nâng cao Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai ? a). \(\forall x \in R,x > {x^2}.\) b) \(\forall n \in N,{n^2} + 1\) không chia hết cho 3. c) \(\forall n \in N,{n^2} + 1\) chia hết cho 4. d) \(\exists r \in Q,{r^2} = 3.\) Giải: Câu a là mệnh đề sai. Câu b là mệnh đề đúng. Thật vậy nếu \(n = 3k\) thì \({n^2} + 1 = 9{k^2} + 1\) chia 3 dư 1. Nếu n = 3k + 1 thì \({n^2} + 1 = 9{k^2} + 6k + 2\) chia 3 dư 2. Nếu \(n = 3k + 2\) thì \({n^2} + 1 = 9{k^2} + 12k + 5\) chia 3 dư 2. Câu c là mệnh đề sai. Thật vậy nếu \(n = 2k\) thì \({n^2} + 1 = 4{k^2} + 1\) chia 4 dư 1. Nếu \(n = 2k + 1\) thì \({n^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2\) chia 4 dư 2. Câu d là mệnh đề sai do \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ. Câu 1.52 trang 14 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho các câu sau : a. Hải Phòng là một thành phố lớn ở Miền Nam. b. Sông Hồng chảy qua thủ đô Hà Nội c. Hãy trả lời câu hỏi này ! d. \(2 + 37 = 39\) e. \(5 + 40 = 70\) g. Bạn có rỗi tối nay không ? h. \(x + 2 = 11\) Số câu là mệnh đề trong các câu trên là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Giải: Phương án (D). (Các câu a, b, d, e là các mệnh đề). Câu 1.53 trang 14 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho mệnh đề chứa biến \(P(x)\) : với x là số thực. Mệnh đề đúng là mệnh đề : A. \(P(0)\) B. \(P(3)\) C. \(P(4)\) D. \(P(5)\) Giải: Phương án (D) Câu 1.54 trang 15 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho mệnh đề > Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là : A. \(\forall x \in R,{x^2} + x + 1 < 0\) B. \(\forall x \in R,{x^2} + x + 1 \le 0\) C. Không tồn tại \(x \in R\) mà \({x^2} + x + 1 > 0\) D. \(\exists x \in R,{x^2} + x + 1 \le 0\) Giải: Phương án (D) Câu 1.55 trang 15 SBT Đại số 10 Nâng cao Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào không là định lí : A. \(\forall n \in N,{n^2} \vdots 2 \Rightarrow n \vdots 2\) B. \(\forall n \in N,{n^2} \vdots 3 \Rightarrow n \vdots 3\) C. \(\forall n \in N,{n^2} \vdots 6 \Rightarrow n \vdots 6\) D. \(\forall n \in N,{n^2} \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 9\) Giải: Các mệnh đề (A), (B) và (C) là mệnh đề đúng. Mệnh đề (D) là sai vì với \(n = 3\) thì \({3^2} = 9\) chia hết cho 9 nhưng 3 không chia hết cho 9. Do đó mệnh đề (D) không phải là định lí. Vậy ta chọn phương án (D). Câu 1.56 trang 15 SBT Đại số 10 Nâng cao Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là mệnh đề đúng. A. \(\forall x \in R,x > - 2 \Rightarrow {x^2} > 4\) B. \(\forall x \in R,x > 2 \Rightarrow {x^2} > 4\) C. \(\forall x \in R,{x^2} > 4 \Rightarrow x > 2\) D. \(\forall x \in R,{x^2} > 4 \Rightarrow x > - 2\) Giải: (A) là mệnh đề sai. Thật vậy với \(x = 0\) thì \(0 > -2\) nhưng \(0 < 4\) (B) là mệnh đề đúng. (C) là mệnh đề sai. Thật vậy với \(x = -3\) thì \({\left( { - 3} \right)^2} = 9 > 4\) nhưng \(-3 < 2\). (D) là mệnh đề sai vì chẳng hạn, khi \(x = -3\) thì \({\left( { - 3} \right)^2} > 4\) nhưng \(-3 < -2.\) Do đó ta chọn phương án (B). Trong các bài từ 1.57 đến 1.63, hãy chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho. Câu 1.57 trang 15 SBT Đại số 10 Nâng cao Trong các số dưới đây, giá trị gần đúng của \(\sqrt {65} - \sqrt {63} \) với sai số tuyệt đối bé nhất là : A. 0,12 B. 0,13 C. 0,14 D. 0,15 Giải: Sử dụng máy tính cho ta \(\sqrt {65} - \sqrt {63} \approx 0,125003815\) Do đó ta chọn phương án (B) Câu 1.58 trang 15 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho tập \(A = \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\). Khi đó ta cũng có : A. \(A = \left[ { - 1;3} \right) \cap N\) B. \(A = \left[ { - 1;3} \right) \cap Z\) C. \(A = \left[ { - 1;3} \right) \cap N^*\) D. \(A = \left[ { - 1;3} \right) \cap Q\) Giải: Phương án B Câu 1.59 trang 15 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho đoạn M = [-4 ; 7] và tập \(N = (-∞ ; -2) ∪ (3 ; +∞)\). Khi đó \(M ∩ N\) là A. \([-4 ; -2) ∪ (3 ; 7]\) B. \(\left[ { - 4;2} \right) \cup \left( {3;7} \right)\) C. \(\left( { - \infty ;2} \right] \cup \left( {3; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)\) Giải: Phương án A Câu 1.60 trang 15 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho hai tập hợp: \(\eqalign{ & A = \left\{ {x \in R|x + 3 < 4 + 2x} \right\} \cr & B = \left\{ {x \in R|5x - 3 < 4x - 1} \right\} \cr} \) Tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là A. 0 và 1 B. 1 C. 0 D. Không có số nào. Giải: Phương án A Câu 1.61 trang 16 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho các nửa khoảng \(A = \left( { - \infty ; - 2} \right];B = \left[ {3; + \infty } \right)\) và khoảng C = (0 ; 4) Khi đó tập \(\left( {A \cup B} \right) \cap C\) là A. \(\left\{ {x \in R|3 \le x \le 4} \right\}\) B. \(\left\{ {x \in R|x \le - 2} \right.\) hoặc \(\left. {x > 3} \right\}\) C. \(\left\{ {x \in R|3 \le x < 4} \right\}\) D. \(\left\{ {x \in R|x < - 2} \right.\) hoặc \(\left. {x \ge 3} \right\}\) Giải: Phương án C Câu 1.62 trang 16 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho các khoảng A (-2 ; 2) ; \(B = \left( { - 1; + \infty } \right)\) và \(C = \left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right)\) . Khi đó giao \(A \cap B \cap C\) là A. \(\left\{ {x \in R| - 1 \le x \le {1 \over 2}} \right\}\) B. \(\left\{ {x \in R| - 2 < x < {1 \over 2}} \right\}\) C. \(\left\{ {x \in R| - 1 < x \le {1 \over 2}} \right\}\) D. \(\left\{ {x \in R| - 1 < x < {1 \over 2}} \right\}\) Giải: Phương án D Câu 1.63 trang 16 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho số thực \(a < 0\). Điều kiện cần và đủ để hai khoảng \(\left( { - \infty ;9a} \right)\) và \(\left( {{4 \over a}; + \infty } \right)\) có giao khác tập rỗng là A. \( - {2 \over 3} < a < 0\) B. \( - {2 \over 3} \le a < 0\) C. \( - {3 \over 4} < a < 0\) D. \( - {3 \over 4} \le a < 0\) Giải: Phương án A.
