Câu 2.14 trang 32 SBT Đại số 10 Nâng cao. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau : a. \(y = 2x – 3;\) b. \(y = - {1 \over 2}x + 1;\) c. \(y = {{\sqrt 3 } \over 2}x + 2.\) Giải: a. Đồ thị \(y = 2x – 3\) Giao điểm với trục tung: \((0; -3)\) Giao điểm với trục hoành: \(\left( {{3 \over 2};0} \right)\) b. Đồ thị \(y = - {1 \over 2}x + 1\) Giao điểm với trục tung: \((0; 1)\) Giao điểm với trục hoành: \(\left( {2;0} \right)\) c. Đồ thị \(y = {{\sqrt 3 } \over 2}x + 2\) Giao điểm với trục tung : \((0 ; 2)\). Giao điểm với trục hoành : \(\left( { - {4 \over {\sqrt 3 }};0} \right)\) Câu 2.15 trang 32 SBT Đại số 10 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số \(y = - 2x + k\left( {x + 1} \right)\) a. Đi qua gốc tọa độ \(O\) b. Đi qua điểm \(M(-2 ; 3)\) c. Song song với đường thẳng \(y = \sqrt 2 x\) Giải: a. \(k = 0.\) b. \(k = 1.\) c. \(k = 2 + \sqrt 2 .\) Câu 2.16 trang 32 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây: a. \(y – 6x + 1 = 0\) b. \(y = - 0,5x - 4\) c. \(y = 3 + {x \over 2}\) d. \(2y + x = 6\) e. \(2x - y = 1\) f. \(y = 0,5x + 1\) Giải: Các cặp đường thẳng song song là : a. và e ; b và d ; c và f Câu 2.17 trang 32 SBT Đại số 10 Nâng cao. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó: a. \(y = \left| {3x + 5} \right|;\) b. \(y = - 2\left| {x - 1} \right|;\) c. \(y = - {1 \over 2}\left| {2x + 3} \right| + {5 \over 2}.\) Giải: a. Đồ thị \(y = \left| {3x + 5} \right|\) b. Hàm số có thể viết dạng \(y = \left\{ {\matrix{ { - 2x + 2\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1} \cr {2x - 2\,\,\,khi\,\,\,x < 1} \cr } .} \right.\) Đồ thị \(y = - 2\left| {x - 1} \right|\) c. Hàm số có thể viết dạng \(y = \left\{ {\matrix{ { - x + 1\,\,\,khi\,\,\,x \ge - {3 \over 2}} \cr {x + 4\,\,\,khi\,\,\,x < - {3 \over 2}} \cr } .} \right.\) Đồ thị \(y = - {1 \over 2}\left| {2x + 3} \right| + {5 \over 2}\) Câu 2.18 trang 32 SBT Đại số 10 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, xác định \(a\) và \(b\) sao cho đường thẳng \(y = ax + b\). a. Cắt đường thẳng \(y = 2x + 5\) tại điểm có hoành độ bằng \(-2\) và cắt đường thẳng \(y = -3x + 4\) tại điểm có tung độ bằng \(-2\) b. Song song với đường thẳng \(y = {1 \over 2}x\) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(y = - {1 \over 2}x + 1\) và \(y = 3x + 5\) Giải: a. Trên đường thẳng \(y = 2x + 5\), điểm có hoành độ bằng \(-2\) là \(A(-2 ; 1)\). Trên đường thẳng \(y = -3x + 4\), điểm có tung độ bằng \(-2\) là \(B(2 ; -2)\). Vậy đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm \(A\) và \(B\). Từ đó, \(a\) và \(b\) phải thỏa mãn hệ \(\left\{ {\matrix{ { - 2a + b = 1} \cr {2a + b = - 2} \cr } } \right.\) Suy ra: \(a = - {3 \over 4},b = - {1 \over 2}\) b. Giao điểm M của hai đường thẳng \(y = - {1 \over 2}x + 1\) và \(y = 3x + 5\) có tọa độ là nghiệm của phương trình \(\left\{ {\matrix{ {y = - {1 \over 2}x + 1} \cr {y = 3x + 5.} \cr } } \right.\) Hệ này có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - {8 \over 7};{{11} \over 7}} \right).\) Vậy đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng \(y = {1 \over 2}x\) và đi qua điểm \(M\left( { - {8 \over 7};{{11} \over 7}} \right).\) Từ đó suy ra \(a = {1 \over 2}\) và \(b = {{15} \over 7}.\) Câu 2.19 trang 33 SBT Đại số 10 Nâng cao. a. Cho điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Hãy xác định tọa độ của điểm B, biết rằng B đối xứng với A qua trục hoành. b. Chứng minh rằng hai đường thẳng \(y = x – 2\) và \(y = 2 – x\) đối xứng với nhau qua trục hoành. c. Tìm biểu thức xác định hàm số \(y = f(x)\), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y = -2x + 3\) qua trục hoành. Giải: a. \(B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\) b. Muốn chứng minh hai đường thẳng \((d_1)\) và \((d_2)\) đối xứng nhau qua trục hoành, ta chứng minh rằng nếu \(A(x_0 ; y_0)\) là một điểm tùy ý thuộc \((d_1)\) thì điểm đối xứng với \(A\) qua trục hoành, tức là điểm \(B(x_0 ; -y_0)\) thuộc \((d_2)\) và ngược lại. Thật vậy, gọi \((d_1)\) là đường thẳng \(y = x – 2\), \((d_2)\) là đường thẳng \(y = 2 – x\), ta có \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( {{d_1}} \right) \) \(\Leftrightarrow {y_0} = {x_0} - 2 \) \(\Leftrightarrow - {y_0} = 2 - {x_0}\) \(\Leftrightarrow B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right) \in \left( {{d_2}} \right)\) Từ đó suy ra đpcm. c. Tương tự như câu trên, ta dễ dàng chứng minh được rằng đồ thị của hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = -f(x)\) đối xứng với nhau qua trục hoành. Do đó, đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y = -2x + 3\) qua trục hoành là đồ thị của hàm số \(y = -(-2x + 3)\), tức là hàm số \(y = 2x – 3.\) Câu 2.20 trang 33 SBT Đại số 10 Nâng cao. a. Cho điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Hãy xác định tọa độ của điểm \(B\), biết rằng \(B\) đối xứng với \(A\) qua trục tung. b. Chứng minh rằng hai đường thẳng \(y = 3x + 1\) và \(y = -3x + 1\) đối xứng với nhau qua trục tung. c. Tìm biểu thức xác định hàm số \(y = f(x)\), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y = 0,5x – 2\) qua trục tung. Giải: a. \(B\left( { - {x_0};{y_0}} \right).\) b. Chứng minh tương tự bài 2.19.b c. \(y = - 0,5x - 2.\) Gợi ý. Trước hết chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = f(-x)\) đối xứng với nhau qua trục tung. Câu 2.21 trang 33 SBT Đại số 10 Nâng cao. Một tia sáng chiếu xiên một góc 45˚đến điểm O trên bề mặt của một chất lỏng thì bị khúc xạ như hình 2.3. Ta lập hệ tọa độ \(Oxy\) như đã thể hiện trên hình vẽ. a. Hãy tìm hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị trùng với đường đi của tia sáng nói trên. b. Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) Giải: a. \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{ { - x\,\,\,khi\,\,\,x \le 0} \cr { - 2x\,\,\,khi\,\,\,x > 0} \cr } } \right.\) b. Học sinh tự lập bảng biến thiên. Câu 2.22 trang 33 SBT Đại số 10 Nâng cao. a. Tìm điểm A sao cho đường thẳng \(y = 2mx + 1 – m\) luôn đi qua \(A\), dù m lấy bất cứ giá trị nào. b. Tìm điểm B sao cho đường thẳng \(y = mx – 3 – x\) luôn đi qua \(B\), dù m lấy bất cứ giá trị nào. Giải: a. Giả sử điểm A cần tìm có tọa độ \((x_0 ; y_0)\). Khi đó, vì \(A\) thuộc đường thẳng \(y = 2mx + 1 – m\) với mọi \(m\) nên đẳng thức \({y_0} = 2m{x_0} + 1 - m,\) hay \(\left( {2{x_0} - 1} \right)m - {y_0} = 0\) Xảy ra với mọi \(m\). Điều đó chỉ có thể xảy ra khi ta có đồng thời \(2{x_0} - 1 = 0\) và \(1 - {y_0} = 0,\) nghĩa là \({x_0} = {1 \over 2}\) và \({y_0} = 1.\) Vậy tọa độ của A là \(\left( {{1 \over 2};1} \right)\) Ngược lại, dễ thấy giá trị của hàm số \(y = 2mx + 1 – m\) tại \(x = {1 \over 2}\) luôn bằng 1 với mọi \(m\), chứng tỏ đồ thị của nó luôn đi qua điểm \(A\left( {{1 \over 2};1} \right)\) với mọi \(m\). b. \(B(0 ; -3)\). Câu 2.23 trang 33 SBT Đại số 10 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của \(m\) sao cho a. Ba đường thẳng \(y = 2x, y = -3 – x\) và \(y = mx + 5\) phân biệt và đồng quy. b. Ba đường thẳng \(y = - 5\left( {x + 1} \right),y = mx + 3\) và \(y = 3x + m\) phân biệt và đồng quy. Giải: a. Hai đường thẳng \(y = 2x\) và \(y = -3 – x\) cắt nhau tại \(M(-1 ; -2)\). Đường thẳng thứ ba \(y = mx + 5\) cùng đi qua điểm \(M\) khi và chỉ khi \(-2 = m(-1) + 5\), tức là \(m = 7\). Thử lại ta thấy \(m\) thỏa mãn điều kiện của đầu bài. b. Hai đường thẳng \(y = -5(x + 1)\) và \(y = 3x + m\) cắt nhau tại \(N\left( { - {{m + 5} \over 8};{{5m - 15} \over 8}} \right)\) Đường thẳng \(y = mx + 3\) cũng đi qua \(N\) khi và chỉ khi \({{5m - 15} \over 8} = m\left( { - {{m + 5} \over 8}} \right) + 3\) Giải phương trình trên đối với ẩn \(m\), ta được \(m = -13\) và \(m = 3\). - Với \(m = -13\), ba đường thẳng \(y = -5(x + 1), y = -13x + 3\) và \(y = 3x – 13\) đồng quy tại điểm \({N_1}\left( {1; - 10} \right)\) - Với \(m = 3\), hai đường thẳng \(y = mx + 3\) và \(y = 3x + m\) trùng nhau và trùng với đường thẳng \(y = 3x + 3\). Do đó trường hợp này bị loại. Kết luận: \(m = -13.\)
