Câu 2.24 trang 34 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hàm số \(y = {2 \over 3}{x^2}\) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho. b. Nếu tịnh tiến (P) lên trên 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào ? c. Nếu tịnh tiến (P) xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị hàm số nào? Giải: a. Hàm số \(y = {2 \over 3}{x^2}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) Vẽ đồ thị hàm số: \(y = {2 \over 3}{x^2}\) b. \(y = {2 \over 3}{x^2} + 2\) c. \(y = {2 \over 3}{x^2} - 3\) Câu 2.25 trang 34 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hàm số \(y = - {{\sqrt 3 } \over 2}{x^2}\) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho. b. Nếu tịnh tiến (P) sang phải 1,5 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào ? c. Nếu tịnh tiến (P) sang trái 2 đơn vị thì ta được đồ thị hàm số nào ? Giải: a. Đồ thị hàm số \(y = - {{\sqrt 3 } \over 2}{x^2}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) Vẽ đồ thị hàm số: \(y = - {{\sqrt 3 } \over 2}{x^2}\) b. \(y = - {{\sqrt 3 } \over 2}{\left( {x - 1,5} \right)^2}\) c. \(y = - {{\sqrt 3 } \over 2}{\left( {x + 2} \right)^2}\) Câu 2.26 trang 34 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hàm số \(y = 2{x^2}\) có đồ thị là parabol (P). Phải tịnh tiến (P) như thế nào để được đồ thị của hàm số: a. \(y = 2{x^2} + 7\) b. \(y = 2{x^2} - 5\) c. \(y = 2{\left( {x + 3} \right)^2}\) d. \(y = 2{\left( {x - 4} \right)^2}\) e. \(y = 2{\left( {x - 2} \right)^2} + 5\) f. \(y = 2{x^2} - 6x + 1\,?\) Giải: a. Tịnh tiến (P) lên trên 7 đơn vị b. Tịnh tiến (P) xuống dưới 5 đơn vị c. Tịnh tiến sang trái 3 đơn vị d. Tịnh tiến sang phải 4 đơn vị e. Tịnh tiến sang phải 2 đơn vị rồi tịnh tiến tiếp lên trên 5 đơn vị f. Tịnh tiến sang phải 1,5 đơn vị rồi tịnh tiến tiếp xuống dưới 3,5 đơn vị. Câu 2.27 trang 34 SBT Đại số 10 Nâng cao. Không vẽ đồ thị, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của mỗi parabol sau đây. Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của mỗi hàm số tương ứng. a. \(y = 2{\left( {x + 3} \right)^2} - 5\) b. \(y = - {\left( {2x - 1} \right)^2} + 4\) c. \(y = - \sqrt 2 {x^2} + 4x\) Giải: Câu 2.28 trang 34 SBT Đại số 10 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau : a. \(y = {x^2} + x + 1;\) b. \(y = - 2{x^2} + x - 2;\) c. \(y = - {x^2} + 2x - 1;\) d. \(y = {1 \over 2}{x^2} - x + 2.\) Giải: a. Ta có thể viết hàm số \(y = {x^2} + x + 1\) dưới dạng \(y = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) Từ đó suy ra đồ thị của nó là một parabol hướng bề lõm lên trên và có đỉnh tại \(\left( { - {1 \over 2};{3 \over 4}} \right)\) ; hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) , đồng biến trên khoảng \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\) và có giá trị nhỏ nhất bằng \({3 \over 4}\) khi \(x = - {1 \over 2}.\) Để vẽ đồ thị của hàm số này, ta lập bảng một vài giá trị của nó như sau \(x\)-2-1\( - {1 \over 2}\)01\(y\)31\({3 \over 4}\)13 Đồ thị của hàm số có dạng như hình sau: b. Đưa hàm số đã cho về dạng \(y = - 2{\left( {x - {1 \over 4}} \right)^2} - {{15} \over 8}.\) Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 4}} \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\left( {{1 \over 4}; + \infty } \right)\) và có giá trị lớn nhất bằng \( - {{15} \over 8}\) khi \(x = {1 \over 4}.\). Đồ thị hàm số: c. Hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Đồ thị hàm số: d. Hàm số \(y = {1 \over 2}{x^2} - x + 2.\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) Đồ thị hàm số: Câu 2.29 trang 34 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Dựa vào đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương. c. Dựa vào đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm. Giải: a. Hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\) có thể viết được dưới dạng \(y = - {\left( {x - 2} \right)^2} + 1\) Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right),\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Bảng biến thiên : Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 khi \(x = 2.\) Đồ thị của nó là một parabol đi qua các điểm \((0 ; -3), (1 ; 0),\) \( (2 ; 1), (3 ; 0), (4 ; -3)\) Từ đồ thị ta thấy : b. Hàm số chỉ nhận giá trị dương nếu \(x \in (1 ; 3).\) c. Hàm số chỉ nhận giá trị âm nếu \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) Câu 2.30 trang 35 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho các hàm số a. \(y = {x^2} - x + {3 \over 4}\) b. \(y = - 2{x^2} + 3x - {9 \over 8}\) c. \(y = 0,5{x^2} - 3x\) - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. - Dựa vào đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương. - Dựa vào đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm. Giải: a. - Hàm số \(y = {x^2} - x + {3 \over 4}\) nghịch biến biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) - Đồ thị hàm số: - Hàm số nhận giá trị dương với mọi \(x \in R\). b. - Hàm số \(y = - 2{x^2} + 3x - {9 \over 8}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;{3 \over 4}} \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( {{3 \over 4}; + \infty } \right)\) - Đồ thị hàm số: - Hàm số nhận giá trị âm với mọi \(x \ne {3 \over 4}\) (khi \(x = {3 \over 4},\) hàm số nhận giá trị bằng 0). c. - Hàm số \(y = 0,5{x^2} - 3x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) - Đồ thị hàm số Hàm số nhận giá trị âm nếu \(x \in \left( {0;6} \right)\) và nhận giá trị dương nếu \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\) Câu 2.31 trang 35 SBT Đại số 10 Nâng cao. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó: a. \(y = \left| {{1 \over 2}{x^2} + 2x - 6} \right|\) b. \(y = \left| { - 0,5{x^2} + 3x - 2,5} \right|\) Giải: a. \(y = \left| {{1 \over 2}{x^2} + 2x - 6} \right|\) - Đồ thị hàm số: Bảng biến thiên b. \(y = \left| { - 0,5{x^2} + 3x - 2,5} \right|\) Đồ thị hàm số: Bảng biến thiên Câu 2.32 trang 35 SBT Đại số 10 Nâng cao. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau rồi lập bảng biến thiên của nó : a. \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{ { - 2x + 1\,\,\,nếu\,\,\,x \ge 0} \cr {{x^2} + 4x + 1\,\,\,nếu\,\,\,x < 0} \cr } } \right.\) b. \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{ { - {x^2} - 2\,\,\,nếu\,\,\,x < 1} \cr {2{x^2} - 2x - 3\,\,\,nếu\,\,\,x \ge 1} \cr } } \right.\) Giải: a. \(y = \left\{ {\matrix{ { - 2x + 1\,\,\,nếu\,\,\,x \ge 0} \cr {{x^2} + 4x + 1\,\,\,nếu\,\,\,x < 0} \cr } } \right.\) Đồ thị hàm số b. \(y = \left\{ {\matrix{ { - {x^2} - 2\,\,\,nếu\,\,\,x < 1} \cr {2{x^2} - 2x - 3\,\,\,nếu\,\,\,x \ge 1} \cr } } \right.\) Đồ thị hàm số Câu 2.33 trang 35 SBT Đại số 10 Nâng cao. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^2} + 5x + 6.\) Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của parabol \(y = - {x^2} + 5x + 6\) và đường thẳng y = m Giải: Đồ thị hàm số: Do parabol hướng bề lõm xuống dưới và có đỉnh tại điểm \(\left( {{5 \over 2};12{1 \over 4}} \right)\) nên : - Nếu \(m > 12{1 \over 4}\) thì đường thẳng và parabol không có điểm chung. - Nếu \(m = 12{1 \over 4}\) thì đường thẳng và parabol có một điểm chung. - Nếu \(m < 12{1 \over 4}\) thì đường thẳng và parabol có hai điểm chung phân biệt. Câu 2.34 trang 35 SBT Đại số 10 Nâng cao. Một parabol có đỉnh là điểm \(I(-2 ; -2)\) và đi qua gốc tọa độ. a. Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol, biết rằng nó song song với trục tung. b. Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trục đối xứng trong câu a. c. Tìm hàm số có đồ thị là parabol đã cho. Giải: a. Phương trình trục đối xứng là \(x = -2\). b. Điểm đối xứng với \(O(0 ; 0)\) qua trục \(x = -2\) là điểm \(M(-4 ; 0)\). c. Ta phải tìm \(a\) \( (a ≠ 0)\), \(b\) và \(c\) sao cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là parabol đỉnh \(I(-2 ; -2)\) và đi qua điểm \(O\). Từ giả thiết ta có các hệ thức sau : \( - {b \over {2a}} = - 2;\) \( - {\Delta \over {4a}} = - {{{b^2} - 4ac} \over {4a}} = - 2\) và \(c = 0\) Từ đó tính được \(a = {1 \over 2},b = 2,c = 0\) và hàm số cần tìm là \(y = {1 \over 2}{x^2} + 2x.\) Câu 2.35 trang 35 SBT Đại số 10 Nâng cao. a. Kí hiệu (P) là parabol \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right).\) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng song song với trục hoành, cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) thì trung điểm \(C\) của đoạn thẳng AB thuộc trục đối xứng của parabol \((P)\). b. Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị \((P)\) của một hàm số bậc hai tại hai điểm \(M(-3 ; 3)\) và \(N(1 ; 3)\). Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol \((P)\). Giải: a. Ta đã biết trục đối xứng của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) là đường thẳng \(x = - {b \over {2a}}\) Giả sử \((d)\) là đường thẳng đã cho (song song với trục hoành). Ta biết rằng (d) là đồ thị của hàm số không đổi \(y = m\) với m là một số nào đó. Giả thiết cho \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) có nghĩa là phương trình \(a{x^2} + bx + c = m\) hay \(a{x^2} + bx + c - m = 0\) (1) Có hai điểm phân biệt ; hơn nữa, hai điểm ấy chính là các hoành độ \(x_A\) của điểm \(A\) và \(x_B\) của điểm \(B\). Theo định lí Vi-ét, ta có \({x_A} + {x_B} = - {b \over a}.\) Do đó trung điểm \(C\) của đoạn thẳng AB có hoành độ là \({x_C} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = - {b \over {2a}}.\) Điều đó chứng tỏ điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(x = - {b \over {2a}},\) tức là thuộc trục đối xứng của parabol \((P)\) Chú ý. Đường thẳng \((d)\) song song với trục hoành nên vuông góc với trục đối xứng của \((P)\). Do đó, khi \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) thì hai điểm ấy đối xứng với nhau qua trục đối xứng với nhau qua trục đối xứng và trung điểm \(C\) của đoạn \(AB\) phải thuộc trục đối xứng. b. Áp dụng kết quả trên, trung điểm \(K\) của đoạn \(MN\) phải thuộc trục đối xứng của parabol \((P)\). Điểm \(K\) có hoành độ là \({{ - 3 + 1} \over 2} = - 1.\) Vậy trục đối xứng của parabol \((P)\) có phương trình là \(x = -1\). Câu 2.36 trang 36 SBT Đại số 10 Nâng cao. Hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \({3 \over 4}\) khi \(x = {1 \over 2}\) và nhận giá trị bằng 1 khi \(x = 1.\) a. Xác định các hệ số \(a, b\) và \(c\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((P)\) của hàm số nhận được. b. Xét đường thẳng \(y = mx\), kí hiệu bởi \((d)\). Khi \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) phân biệt, hãy xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB.\) Giải: a. ● Vì hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \({3 \over 4}\) khi \(x = {1 \over 2}\) nên \( - {b \over {2a}} = {1 \over 2}\) và \( - {\Delta \over {4a}} = - {{{b^2} - 4ac} \over {4a}} = {3 \over 4},\) suy ra \(a = -b\) và \(–a + 4c = 3.\) Vì hàm số có giá trị bằng 1 khi \(x = 1\) nên \(f(1) = a + b + c = 1\), suy ra \(c = 1\) (do \(a = -b\)). Do đó \(a = 4c – 3 = 1\) và \(b = -1\). Vậy hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - x + 1\) ●Do hệ số \(a = 1 > 0\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại \(x = {1 \over 2}\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right).\) Bảng biến thiên : Hàm số có đồ thị b. Đường thẳng \(y = mx\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) nếu và chỉ nếu phương trình \({x^2} - x + 1 = mx\) hay \({x^2} - \left( {1 + m} \right)x + 1 = 0\) (1) Có hai nghiệm phân biệt, tức là biệt thức \(\Delta = {\left( {1 + m} \right)^2} - 4 = {m^2} + 2m - 3\) dương. Khi đó, hai nghiệm của (1) chính là \(x_A\) và \(x_B\). Theo định lí Vi-ét, ta có \({x_A} + {x_B} = 1 + m\) (2) Từ (2) ta suy ra hoành độ trung điểm \(C\) của đoạn thẳng \(AB\) là \({x_C} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{1 + m} \over 2}.\) Do \(C\) là một điểm thuộc đường thẳng \((d)\) nên tung độ \(y_C\) của nó thỏa mãn \({y_C} = m{x_C} = {{m\left( {1 + m} \right)} \over 2}\) Kết luận. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là \(C\left( {{{1 + m} \over 2};{{m\left( {1 + m} \right)} \over 2}} \right)\) với điều kiện \({m^2} + 2m - 3 > 0.\)
