Câu 2.37 trang 36 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng \(y = 0\) là hàm số duy nhất xác định trên \(R\) và có đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng. Hướng dẫn. Từ định nghĩa hàm số ta có nhận xét rằng mỗi đường thẳng song song với trục tung thì cắt đồ thị của hàm số tại không quá một điểm. Giải: Hiển nhiên hàm số \(y = 0\) xác định với mọi \(x\) và có đồ thị đối xứng qua trục hoành. Giả sử hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(R\), có đồ thị \((G)\) nhận trục hoành làm trục đối xứng. Khi đó \(\forall x \in R:M\left( {x;y} \right) \in \left( G \right)\) \( \Leftrightarrow M'\left( {x; - y} \right) \in \left( G \right).\) Điều này có nghĩa là \(\forall x \in R:y = f\left( x \right) \Leftrightarrow - y = f\left( x \right)\) Suy ra \(y = 0\) với mọi \(x\). Vậy hàm số \(y = 0\) là hàm số duy nhất có đồ thị đối xứng qua trục hoành. Chú ý. Cũng có thể chứng minh rằng \((G)\) trùng với trục hoành. Thật vậy, nếu trái lại thì phải có một điểm \(M(x_0) ; y_0)\) thuộc \((G)\) và \(y_0 ≠ 0\). Khi đó, do tính đối xứng qua trục hoành, điểm \(M'\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\) cũng thuộc \((G)\). Ta có đường thẳng \(MM’\) song song với trục tung, cắt \((G)\) tại hai điểm phân biệt \(M\) và \(M’\). Đó là điều không thể xảy ra đối với đồ thị của một hàm số. Câu 2.38 trang 36 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giả sử \(y = f(x)\) là hàm số xác định trên tập đối xứng \(S\) (nghĩa là nếu \(x \in S\) thì \(–x \in S\)). Chứng minh rằng : a. Hàm số \(F\left( x \right) = {1 \over 2}\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]\) là hàm số chẵn xác định trên \(S\). b. Hàm số \(G\left( x \right) = {1 \over 2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right]\) là hàm số lẻ xác định trên \(S\). Giải: a. \(F\left( { - x} \right) = {1 \over 2}\left[ {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right] = F\left( x \right)\) b. \(G\left( { - x} \right) = {1 \over 2}\left[ {f\left( { - x} \right) - f\left( x \right)} \right]\) \(= - {1 \over 2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] = - G\left( x \right)\) Câu 2.39 trang 36 SBT Đại số 10 Nâng cao. Gọi A và B là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right)x + 2\) và có hoành độ lần lượt là -1 và 3 a. Xác định tọa độ của hai điểm \(A\) và \(B\) b. Với điều kiện nào của m thì điểm \(A\) nằm ở phía trên trục hoành ? c. Với điều kiện nào của m thì điểm \(B\) nằm ở phía trên trục hoành ? d. Với điều kiện nào của m thì hai điểm \(A\) và \(B\) cùng nằm ở phía trên trục hoành? Từ đó hãy trả lời câu hỏi : Với điều kiện nào của m thì \(f(x) > 0\) với mọi \(x\) thuộc đoạn \([-1 ; 3]\) ? Giải: a. \(A\left( { - 1; - m + 3} \right),B\left( {3;3m - 1} \right)\) b. A nằm ở phía trên trục hoành khi và chỉ khi \(– m + 3 > 0\), tức là \(m < 3\) c. B nằm ở phía trên trục hoành khi và chỉ khi \(3m – 1 > 0\), tức là \(m > {1 \over 3}\). d. Cả hai điểm \(A\) và \(B\) đều nằm ở phía trên trục hoành khi và chỉ khi các điều kiện nói trong câu b và c đồng thời được thỏa mãn, nghĩa là \({1 \over 3} < m < 3.\) Khi đó, toàn bộ đoạn thẳng \(AB\) nằm ở phía trên trục hoành. Nói cách khác : \(\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\) \(\Leftrightarrow {1 \over 3} < m < 3.\) Câu 2.40 trang 36 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hàm số \(y = - 3{x^2}\) có đồ thị là parabol \((P)\). a. Nếu tịnh tiến \((P)\) sang phải 1 đơn vị rồi tịnh tiến parabol vừa nhận được xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào ? b. Nếu tịnh tiến \((P)\) sang trái 2 đơn vị rồi tịnh tiến parabol vừa nhận được lên trên 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào ? Giải: a. \(y = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3\) b. \(y = - 3{\left( {x + 2} \right)^2} + 2\) Câu 2.41 trang 37 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm hàm số bậc hai có đồ thị là parabol \((P)\), biết rằng đường thẳng \(y = -2,5\) có một điểm chung duy nhất với \((P)\) và đường thẳng \(y = 2\) cắt \((P)\) tại hai điểm có hoành độ là -1 và 5. Vẽ parabol \((P)\) cùng các đường thẳng \(y = -2,5\) và \(y = 2\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Giải: Đường thẳng \(y = -2,5\) song song với trục hoành. Do đường thẳng này có một điểm chung duy nhất với parabol \((P)\) nên điểm chung ấy chính là đỉnh của parabol \((P)\). Từ đó suy ra đỉnh \((I)\) của parabol \((P)\) có tung độ \(y = -2,5.\) Đường thẳng \(y = 2\) cũng song song với trục hoành. Do đó trung điểm \(C\) của đoạn thẳng \(AB\) nằm trên trục đối xứng của parabol. Hoành độ của điểm \(C\) là \(x = {{ - 1 + 5} \over 2} = 2.\) Vậy trục đối xứng của parabol là đường thẳng \(x = 2\), suy ra hoành độ đỉnh \(I\) của \((P)\) là \(x = 2.\) Tọa độ của \(I\) là \((2 ; -2,5)\). Từ đó suy ra nếu \((P)\) là đồ thị của hàm số \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) thì \(f\left( { - 1} \right) = a - b + c = 2, - {b \over {2a}} = 2\) và \( - {\Delta \over {4a}} = - {{{b^2} - 4ac} \over {4a}} = - 2,5.\) Từ đó suy ra \(a = {1 \over 2},b = - 2,c = - {1 \over 2}\) và hàm số cần tìm là \(y = {1 \over 2}{x^2} - 2x - {1 \over 2}.\) Đồ thị của hàm số Câu 2.42 trang 37 SBT Đại số 10 Nâng cao Tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số \(y = {1 \over 3}x - 2\) trong các điểm có tọa độ là A. \((15 ; -7)\) B. \((66 ; 20)\) C. \(\left( {\sqrt 2 - 1;\sqrt 3 } \right)\) D. \((3 ; 1)\) Giải: Phương án (B) Câu 2.43 trang 37 SBT Đại số 10 Nâng cao Hàm số có đồ thị trùng với đường thẳng \(y = x + 1\) là hàm số A. \(y = {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2}\) B. \(y = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {x + 1}}\) C. \(y = x\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 1\) D. \(y = {{x\left( {x + 1} \right)} \over x}\) Giải: Phương án (C). Chú ý rằng các hàm số còn lại đều có tập xác định khác R. Câu 2.44 trang 37 SBT Đại số 10 Nâng cao Đường thẳng song song với đường thẳng \(y = \sqrt 2 x\) là A. \(y = 1 - \sqrt 2 x\) B. \(y = {1 \over {\sqrt 2 }}x - 3\) C. \(y + \sqrt 2 x = 2\) D. \(y - {2 \over {\sqrt 2 }}x = 5\) Giải: Phương án (D) Câu 2.45 trang 37 SBT Đại số 10 Nâng cao Muốn có parabol \(y = 2{\left( {x + 3} \right)^2},\) ta tịnh tiến parabol \(y = 2{x^2}\) A. Sang trái 3 đơn vị B. Sang phải 3 đơn vị C. Lên trên 3 đơn vị D. Xuống dưới 3 đơn vị. Giải: Phương án (A). Chỉ cần chú ý rằng cần phải tịnh tiến sang trái. Câu 2.46 trang 37 SBT Đại số 10 Nâng cao Muốn có parabol \(y = 2{\left( {x + 3} \right)^2} - 1,\) ta tịnh tiến parabol \(y = 2{x^2}\) A. Sang trái 3 đơn vị rồi sang phải 1 đơn vị; B. Sang phải 3 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị; C. Lên trên 1 đơn vị rồi sang phải 3 đơn vị; D. Xuống dưới 1 đơn vị rồi sang trái 3 đơn vị. Giải: Phương án (D). Chú ý. Tránh nhầm lẫn về phương và hướng tịnh tiến. Câu 2.47 trang 38 SBT Đại số 10 Nâng cao Trục đối xứng của parabol \(y = - 2{x^2} + 5x + 3\) là đường thẳng A. \(x = {5 \over 2}\); B. \(x = - {5 \over 2}\); C. \(x = {5 \over 4}\); D. \(x = - {5 \over 4}\). Giải: Phương án (C). Chú ý. Tránh các nhầm lẫn về dấu và nhầm lẫn giữa \({b \over {2a}}\) và \({b \over a}\). Câu 2.48 trang 38 SBT Đại số 10 Nâng cao Hàm số \(y = 2{x^2} + 4x - 1\) A. Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) ; B. Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) ; C. Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) ; D. Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) . Giải: Phương án (D) Câu 2.49 trang 38 SBT Đại số 10 Nâng cao Hàm số \(y = - {x^2} - 3x + 5\) có A. Giá trị lớn nhất khi \(x = {3 \over 2}\) ; B. Giá trị lớn nhất khi \(x = - {3 \over 2}\) ; C. Giá trị nhỏ nhất khi \(x = {3 \over 2}\) ; D. Giá trị nhỏ nhất khi \(x = - {3 \over 2}\) . Giải: Phương án (B) Trong mỗi bài từ bài 2.50 đến bài 2.52, hãy ghép mỗi thành phần của cột trái với một thành phần thích hợp ở cột phải để được khẳng định đúng. Câu 2.50 trang 38 SBT Đại số 10 Nâng cao a. Điểm \((2 ; 2)\) là đỉnh của parabol b. Điểm \(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) là đỉnh của parabol1. \(y = 2{x^2} + 2x + 1\) 2. \(y = {x^2} - x + 1\) 3. \(y = - 0,25{x^2} + x + 1\)Giải: (a) ⟷ (3) ; (b) ⟷ (1) Câu 2.51 trang 38 SBT Đại số 10 Nâng cao Xét parabol (P) : \(y = a{x^2} + bx + c\) a. Chắc chắn (P) có đỉnh nằm ở phía dưới trục hoành b. Chắc chắc (P) có đỉnh nằm ở phía trên trục hoành1. nếu \(a < 0\) và \(c < 0\) 2. nếu \(a > 0\) và \(c < 0\) 3. nếu \(a < 0\) và \(c > 0\) 4. nếu \(a > 0\) và \(c > 0\)Giải: (a) ⟷ (2) ; (b) ⟷ (3) Câu 2.52 trang 39 SBT Đại số 10 Nâng cao Xét parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\), \(\Delta = {b^2} - 4ac\). a. Chắc chắn (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương b. Chắc chắn (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ âm1. nếu \(∆ > 0, b < 0\) và \(c < 0\) 2. nếu \(∆ > 0, b > 0\) và \(c > 0\) 3. nếu \(∆ > 0, b < 0\) và \(c > 0\) 4. nếu \(∆ > 0, b > 0\) và \(c < 0\)Giải: (a) ⟷ (4) ; (b) ⟷ (1)
