Câu 3.27 trang 62 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a : a. \(\dfrac{3}{{x - 1}} = a\) b. \(\dfrac{{2a - 1}}{{x - 2}} = a - 3\) c. \(\dfrac{a}{{ax + 3}} = 2\) Giải: a. Điều kiện : x ≠ 1, đưa phương trình về dạng \(ax = 3 + a\) (1) - Nếu a = 0 thì (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. - Nếu a ≠ 0 thì (1) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 + a}}{a}.\) Nhận thấy \(\dfrac{{3 + a}}{a} \ne 1.\) Vậy \(x = \dfrac{{3 + a}}{a}\) là nghiệm của phương trình đã cho. b. Điều kiện : x ≠ 2, đưa phương trình về dạng \(\left( {a - 3} \right)x = 4a - 7\) (2) - Nếu a = 3 thì (2) có dạng 0x = 5 nên phương trình vô nghiệm - Nếu a ≠ 3 thì (1) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{4a - 7}}{{a - 3}}.\) Xét điều kiện x ≠ 2, ta có \(\dfrac{{4a - 7}}{{a - 3}} \ne 2 \Leftrightarrow 4a - 7 \ne 2a - 6 \Leftrightarrow a \ne \dfrac{1}{2}\) Do đó, nếu \(a = \dfrac{1}{2}\) thì \(-x = \dfrac{{4a - 7}}{{a - 3}}\) bị loại. Kết luận. Với a = 3 hoặc \(a = \dfrac{1}{2}\), phương trình vô nghiệm Với a ≠ 3 và \(a \ne \dfrac{1}{2},\) phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{4a - 7}}{{a - 3}}\) c. Với a = 0, phương trình vô nghiệm. Với a ≠ 0, phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{a - 6}}{{2a}}\) Câu 3.28 trang 62 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các phương trình : a. \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 - x\) b. \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = \left| {2x - 1} \right|\) c. \(x\left( {x + 1} \right) + x\left( {x + 2} \right) = x\left( {x + 4} \right)\) d. \(\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}\) Giải: a. \(x = 1\dfrac{1}{7}\) b. \(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = \left| {2x - 1} \right| \cr & \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = \left| {2x - 1} \right| \cr & \Leftrightarrow x + 3 = 2x - 1\, \cr} \) hoặc \(x + 3 = 1 - 2x \Leftrightarrow x = 4\) hoặc \(x = - {2 \over 3}.\) c. Biến đổi phương trình về dạng \(x\left( {x - 1} \right) = 0,\) do đó \(x = 0\) hoặc \(x = 1\) d. Điều kiện : \(x ≠ ± 1, x ≠ 14, x ≠ 0\). Ta có : \(\dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 - {x^2}}}.\dfrac{{1 - x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}\) \(\Leftrightarrow \dfrac{2}{{1 + x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}\) \( \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\) (thỏa mãn điều kiện). Câu 3.29 trang 62 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các phương trình a. \(\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 1\) b. \(\dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{{3x - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{x - 7}}{{x - 1}} + 4\) c. \(\dfrac{{x - 1}}{x} - \dfrac{{3x}}{{2x - 2}} = - \dfrac{5}{2}\) Giải: a. \(x = 2 \pm \sqrt 6 \) b. \(x \in \left\{ {5; - \dfrac{5}{4}} \right\}\) c. \(x \in \left\{ {2;\dfrac{1}{4}} \right\}\) Câu 3.30 trang 63 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các phương trình: a. \(\dfrac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \dfrac{{5x}}{{{x^2} - 5x + 3}} = - \dfrac{3}{2}\) b. \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}} = \dfrac{{x - 4}}{{x + 5}} - \dfrac{{x - 5}}{{x + 6}}\) Giải: a. Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm, nên phương trình đã cho tương đương với phương trình : \(\dfrac{4}{{x + \dfrac{3}{x} + 1}} + \dfrac{5}{{x + \dfrac{3}{x} - 5}} = - \dfrac{3}{2}\) Đặt \(y = x + \dfrac{3}{x}\) ta nhận được phương trình \(\dfrac{4}{{y + 1}} + \dfrac{5}{{y - 5}} = - \dfrac{3}{2}\) (*) Biến đổi phương trình (*) thành \(\dfrac{{{y^2} + 2y - 15}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y - 5} \right)}} = 0.\) Phương trình này có hai nghiệm \({y_1} = - 5,{y_2} = 3.\) Từ đó dẫn đến hai trường hợp sau : \( \bullet x + {3 \over x} = - 5 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 5x + 3 = 0} \cr {x \ne 0} \cr} } \right. \) \(\Leftrightarrow x = {{ - 5 \pm \sqrt {13} } \over 2}\) \(\bullet x + {3 \over x} = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} - 3x + 3 = 0} \cr {x \ne 0} \cr} } \right.\) Kết luận. Phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {13} }}{2}\) b. \(x \in \left\{ { - 4; - \dfrac{1}{2}} \right\}\) Câu 3.31 trang 63 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m : a. \(\left| {3mx - 1} \right| = 5\) b. \(\left| {3x + m} \right| = \left| {2x - 2m} \right|\) Giải: a. Với m ≠ 0, phương trình có hai nghiệm \(x = \dfrac{{ - 4}}{{3m}}\) và \(x = \dfrac{2}{m}\) Với m = 0, phương trình vô nghiệm b. Với m = 0, tập nghiệm S = {0} với m ≠ 0, tập nghiệm \(S = \left\{ { - 3m;\dfrac{m}{5}} \right\}\) Câu 3.32 trang 63 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các phương trình sau : a. \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - mx + 3} \right) = 0\) b. \(\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {mx + 2} \right)}}{{x - 3m}} = 0\) c. \(\dfrac{{mx - 1}}{{x - 1}} + \dfrac{m}{{x + 1}} = \dfrac{{m\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\) Giải: a. Với m = 1 hoặc \(m = \dfrac{5}{2},\) tập nghiệm S = {2}. Với m ≠ 1 và \(m \ne \dfrac{5}{2},\) tập nghiệm \(S = \left\{ {2;\dfrac{3}{{m - 1}}} \right\}\) b. điều kiện là \(x ≠ 3m\). Khi đó ta có \(\left( {x + 1} \right)\left( {mx + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\) hoặc \(mx + 2 = 0\) Câu 3.33 trang 63 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC nhọn có cạnh BC = a, đường cao AH = h. Một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác (M ∈ AB; N ∈ AC ; P, Q ∈ BC) có chu vi bằng 2p (p là độ dài cho trước). Hãy tính độ dài cạnh PQ của hình chữ nhật MNPQ, biện luận theo p, a, h. Giải: Đặt PQ = MN = x (0 < x < a) Theo định lí Ta-lét ta có (h.3.1) \(\begin{array}{l}\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{AI}}{{AH}}\left( { = \dfrac{{AN}}{{AC}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{\rm{x}}}{a} = \dfrac{{h - IH}}{h} \Rightarrow IH = \dfrac{{\left( {{\rm{a}} - x} \right)h}}{a}\end{array}\) Điều kiện \(MN + IH = p\) cho ta phương trình \(x + \dfrac{{\left( {{\rm{a}} - x} \right)h}}{a} = p\) hay\(\left( {{\rm{a}} - h} \right)x = a\left( {p - h} \right)\) (1) - Nếu a = h thì phương trình (1) vô nghiệm khi p ≠ h, nghiệm đúng với mọi x khi p = h. Điều này có nghĩa là : + Khi tam giác nhọn ABC có AH = BC và p ≠ AH thì không có hình chữ nhật nào thỏa mãn điều kiện của bài toán. + Khi tam giác nhọn ABC có AH = BC và p = AH thì có vô số hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện bài toán với cạnh x (0 < x < a tùy ý). - Nếu a ≠ h thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{a\left( {p - h} \right)}}{{a - h}}.\) (2) Xét điều kiện 0 < x < a hay \(0 < \dfrac{{a\left( {p - h} \right)}}{{a - h}} < a\) Vì a ≠ h nên có hai trường hợp : + Nếu a > h, ta có \((2) ⇔ 0 < p – h < a – h ⇔ h < p < a\) + Nếu a < h, ta có \((2) ⇔ 0 > p – h > a – h ⇔ a < p < h.\) Điều này có nghĩa là, giá trị \(x = \dfrac{{a\left( {p - h} \right)}}{{a - h}}\) là nghiệm của bài toán khi và chỉ khi p nằm giữa a và h.
