Câu 3.34 trang 63 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét tập hợp các điểm có tọa độ (x ; y) là nghiệm của phương trình \(ax + by = c.\) Tìm điều kiện của a, b, c để : a. Tập hợp điểm đó là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ; b. Tập hợp điểm đó là một đường thẳng song song với trục tung; c. Tập hợp điểm đó là một đường thẳng song song với trục hoành; d. Tập hợp điểm đó là trục tung; e. Tập hợp điểm đó là trục hoành; g. Tập hợp đó là một đường thẳng cắt hai trục Ox và Oy tại hai điểm phân biệt. Giải: a. \({a^2} + {b^2} \ne 0,c = 0\) b. \(b = 0, a ≠ 0, c ≠ 0\) c. \(a = 0, c ≠ 0, b ≠ 0\) d. \(a ≠ 0, b = c = 0\) e. \(a = c = 0, b ≠ 0\) g. \(a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.\) Câu 3.35 trang 64 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các phương trình sau và minh họa tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ : a. 2x + 3y = 5 b. 0.x + 3y = 6 c. 2x + 0.y = 4 d. 2x + 3y = 0. Giải: a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{5 - 2{\rm{x}}}}{3}}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = 2}\end{array}} \right.\) c. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y \in R}\end{array}} \right.\) d. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{ - 2}}{3}x}\end{array}} \right.\) Minh họa tập nghiệm bằng hình 3.2 a, b, c, d. Câu 3.36 trang 64 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a. \(mx + \left( {m - 1} \right)y = 5\) b. \(mx + my = m + 1\) Giải: a. Nếu m = 0 thì phương trình có vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = - 5}\end{array}} \right.\) Nếu m = 1 thì phương trình có vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y \in R}\end{array}} \right.\) Nếu m ≠ 0 và m ≠ 1 thì phương trình có vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{5 - m{\rm{x}}}}{{m - 1}}}\end{array}} \right.\) b. Phương trình vô nghiệm nếu m = 0 ; có vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{m + 1 - m{\rm{x}}}}{m}}\end{array}} \right.\) nếu m ≠ 0. Câu 3.37 trang 64 SBT Đại số 10 Nâng cao. Bằng định thức, hãy giải các hệ phương trình sau: a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y = - 7}\\{5x - 3y = 1}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 2 x + 4y = 1}\\{2x + 4\sqrt 2 y = 5}\end{array}} \right.\) Giải: a. Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\5&{ - 3}\end{array}} \right| = - 19\); \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}&2\\1&{ - 3}\end{array}} \right| = 19\); \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 7}\\5&1\end{array}} \right| = 38\) Do đó \(x = \dfrac{{{{\rm{D}}_x}}}{D} = - 1;y = \dfrac{{{{\rm{D}}_y}}}{D} = \dfrac{{38}}{{ - 19}} = - 2\) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x ; y) = (-1 ; -2)\) b. Hệ vô nghiệm. Câu 3.38 trang 64 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tính nghiệm gần đúng của các hệ phương trình sau (chính xác đến hàng phần trăm) : a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 x + \sqrt 3 y = \sqrt 2 }\\{\sqrt 2 x - \sqrt 3 y = \sqrt 5 }\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \left( {\sqrt 5 - 2} \right)y = 1}\\{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + \sqrt 3 y = \sqrt 5 }\end{array}} \right.\) Giải: a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y \approx 0,47}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx 0,24}\\{y \approx 1,23}\end{array}} \right.\) (sử dụng máy tính bỏ túi) Câu 3.39 trang 64 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các hệ phương trình theo tham số a : a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + 2y = 1}\\{x + \left( {a - 1} \right)y = a}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a - 2} \right)x + \left( {a - 4} \right)y = 2}\\{\left( {a + 1} \right)x + \left( {3a + 2} \right)y = - 1}\end{array}} \right.\) c. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a - 1} \right)x + \left( {2a - 3} \right)y = a}\\{\left( {a + 1} \right)x + 3y = 6}\end{array}} \right.\) d. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3\left( {x + y} \right)}}{{x - y}} = a}\\{\dfrac{{2x - y - a}}{{y - x}} = 1}\end{array}} \right.\) Giải: a. Ta có: \(D = \left( {{\rm{a}} + 1} \right)\left( {{\rm{a}} - 2} \right);\) \({D_x} = - \left( {{\rm{a}} + 1} \right);\) \({D_y} = \left( {{\rm{a}} - 1} \right)\left( {{\rm{a}} + 1} \right).\) • Với a ≠ -1 và a ≠ 2 thì D ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{ - 1}}{{a - 2}}}\\{y = \dfrac{{a - 1}}{{a - 2}}}\end{array}} \right.\) • Với a = -1, hệ đã cho tương đương với phương trình –x + 2y = 1 nên có vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{1 + {\rm{x}}}}{2}}\end{array}} \right.\) • Với a = 2, hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + 2y = 1}\\{x + y = 2}\end{array}} \right.\) nên vô nghiệm. b. Với a ≠ 0 và \(a \ne \dfrac{1}{2},\) hệ có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{7}{{2{\rm{a}} - 1}}}\\{y = \dfrac{{ - 3}}{{2{\rm{a}} - 1}}}\end{array}} \right.\) Với a = 0, hệ có vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{ - 1 - {\rm{x}}}}{2}}\end{array}} \right.\) Với \(a = \dfrac{1}{2},\) hệ vô nghiệm c. Với a ≠ 0, a ≠ 2, hệ có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{9}{{2{\rm{a}}}}}\\{y = \dfrac{{a - 3}}{{2{\rm{a}}}}}\end{array}} \right.\) Với a = 0, hệ vô nghiệm. Với a = 2, hệ vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = 2 - x}\end{array}} \right.\) d. Điều kiện : x ≠ y. Biến đổi hệ phương trình về dạng : \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {3 - a} \right)x + \left( {3 + a} \right)y = 0}\\{3{\rm{x}} - 2y = a}\end{array}} \right.\) Ta có: \(D = - a - 15;\) \({D_x} = - a\left( {3 + a} \right);\) \({D_y} = a\left( {3 - a} \right)\) • Với a ≠ -15 thì D ≠ 0, hệ (I) có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}}}\\{y = \dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}}}\end{array}} \right.\) Nhận thấy rằng \(\dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}} = \dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}} \Leftrightarrow {\rm{a}} = 0\) Nên khi a ≠ 0 thì x ≠ y, khi đó nghiệm của (I) cũng là nghiệm của hệ đã cho. • Với a = -15 thì \(D = 0;{D_x} \ne 0;{D_y} \ne 0,\) hệ (I) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm. Kết luận. Với a ≠ 0 và a ≠ -15, hệ có nghiệm duy nhất : \(\left( {{\rm{x}};y} \right) = \left( {\dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}};\dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}}} \right)\) Với a = 0 hoặc a = -15, hệ vô nghiệm. Câu 3.40 trang 64 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ phương trình : a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left| x \right| + 5y - 9 = 0}\\{2x - \left| y \right| = 7}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| - a = 1}\\{y - 2x = 5}\end{array}} \right.\) (a là tham số) Giải: a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left| x \right| + 5y - 9 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{2x - \left| y \right| = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\) Từ (2) suy ra \(2x = 7 + |y|\), nên phải có x > 0. Nếu y ≥ 0, hệ có dạng \(\left\{ \matrix{3{\rm{x}} + 5y = 9 \hfill \cr 2{\rm{x}} - y = 7 \hfill \cr} \right.\) Khi đó \(\left\{ \matrix{x = {{44} \over {13}} \hfill \cr y = - {3 \over {13}} \hfill \cr} \right.\) (loại) Nếu y < 0, hệ có dạng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{\rm{x}} + 5y = 9}\\{2{\rm{x}} + y = 7}\end{array}.} \right.\) Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{26}}{7}}\\{y = \dfrac{{ - 3}}{7}}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {{\rm{x}};y} \right) = \left( {\dfrac{{26}}{7};\dfrac{{ - 3}}{7}} \right)\) b. \(|x| = a + 1\) Nếu a > -1 thì \(x = ± (a + 1)\), hệ có hai nghiệm là \(( a + 1 ; 2a + 7)\) và \((-a – 1 ; 3 – 2a).\) Nếu a = -1 thì \(|x| = 0 ⇔ x = 0\), hệ có nghiệm là \((x ; y) = (0 ; 5)\) Nếu a < -1 thì \(|x| = a + 1 < 0\), hệ vô nghiệm. Câu 3.41 trang 64 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ phương trình: a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{6}{x} + \dfrac{5}{y} = 3}\\{\dfrac{9}{x} - \dfrac{{10}}{y} = 1}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{6}{{x - 2y}} + \dfrac{2}{{x + 2y}} = 3}\\{\dfrac{3}{{x - 2y}} + \dfrac{4}{{x + 2y}} = - 1}\end{array}} \right.\) Giải: Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v,\) hệ đã cho trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6u + 5v = 3}\\{9u - 10v = 1}\end{array}} \right.\) Hệ này có nghiệm duy nhất \(\left( {u;v} \right) = \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{5}} \right)\) Từ đó nghiệm của hệ phương trình này đã cho: \(\left( {{\rm{x}};y} \right) = \left( {3;5} \right).\) b. \(\left( {{\rm{x}};y} \right) = \left( {\dfrac{3}{{70}};\dfrac{{ - 87}}{{140}}} \right)\). Gợi ý. Đặt \(\dfrac{1}{{x - 2y}} = u;\dfrac{1}{{x + 2y}} = v.\) Câu 3.42 trang 65 SBT Đại số 10 Nâng cao. Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dọng 63 km. Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô (biết rằng vận tốc thật của ca nô và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi). Giải: Gọi vận tốc dòng nước là x (km/h), vận tốc của canô là y (km/h). (Điều kiện y > x > 0). Khi đó, vận tốc ca nô đi xuôi dòng là (y + x), vận tốc ca nô đi ngược dòng là ( y – x) Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{135}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{y - x}} = 8}\\{\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{y - x}} = 8}\end{array}} \right.\) Giải hệ tìm được x = 3; y = 24. Vậy Vận tốc của ca nô là 24km/h Vận tốc dòng nước là 3km/h. Câu 3.43 trang 65 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\left( {m - 1} \right)x + y = 5\) và \(\left( {{d_2}} \right):2x + my = 10\) a. Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau. b. Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song. c. Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) trùng nhau. Giải: Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m - 1} \right)x + y = 5}\\{2{\rm{x}} + my = 10}\end{array}} \right.\) Ta có: \(D = \left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right);\) \({D_x} = 5\left( {m - 2} \right);\) \({D_y} = 10\left( {m - 2} \right)\) a. (d1) và (d2) cắt nhau ⇔ D ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 và m ≠ 2. b. (d1) // (d2) ⇔ D = 0 và Dx ≠ 0 (hoặc Dy ≠ 0) ⇔ m = -1 c. (d1) và (d2) trùng nhau ⇔ D = Dx = Dy = 0 ⇔ m = 2. Câu 3.44 trang 65 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho ba đường thẳng \(\begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):2x + 3y = - 4;\\\left( {{d_2}} \right):3x + y = 1;\\\left( {{d_3}} \right):2mx + 5y = m.\end{array}\) a. Với giá trị nào của m thì (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một điểm ? b. Với giá trị nào của m thì (d2) và (d3) vuông góc với nhau ? Giải: a. \(\left( {{{\rm{d}}_1}} \right),\left( {{{\rm{d}}_2}} \right)\) và \(\left( {{{\rm{d}}_3}} \right)\) đồng quy khi và chỉ khi hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + 3y = - 4\,\,\left( 1 \right)}\\{3{\rm{x}} + y = 1\,\,\left( 2 \right)}\\{2m{\rm{x}} + 5y = m\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\) Có nghiệm duy nhất. Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) tìm được \(x = 1 ; y = -2\). Thay vào (3) tìm được m = 10. b. \(\left( {{{\rm{d}}_2}} \right) \bot \left( {{{\rm{d}}_3}} \right) \Leftrightarrow \left( { - 3} \right).\dfrac{{ - 2m}}{5} = - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 5}}{6}\). Câu 3.45 trang 65 SBT Đại số 10 Nâng cao. Viết phương trình của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau : a. Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là 5 và cắt trục Oy tại điểm có tung độ là -2. b. Đi qua hai điểm A(1 ; -1) và B(3 ; 5). Giải: a. \(2x – 5y = 10\) b. \(y = 3x – 4\) Câu 3.46 trang 65 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ phương trình bậc nhất ba ẩn : a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 25}\\{y + z = 30}\\{z + x = 29}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y + 3z = 2}\\{ - x + 4y - 6z = 5}\\{5x - y + 3z = - 5}\end{array}} \right.\) Giải: a. \(\left( {{{x}};y;z} \right) = \left( {12;13;17} \right).\) Gợi ý. Cộng vế với vế của ba phương trình trong hệ, dẫn đến \(x + y + {\rm{z}} = 42.\) Từ đó dễ dàng suy ra \(x = 12 ; y = 13 ; z = 17.\) b. \(\left( {{\rm{x}};y;z} \right) = \left( { - 1;2;\dfrac{2}{3}} \right).\) Gợi ý. \(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{2{\rm{x}} + y + 3{\rm{z}} = 2} \cr { - x + 4y - 6{\rm{z}} = 5} \cr {5{\rm{x}} - y + 3{\rm{z}} = - 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - x + 4y - 6{\rm{z}} = 5} \cr { - 3{\rm{x}} + 2y = 7} \cr {8y = 16} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{z = {2 \over 3}} \cr {x = - 1} \cr {y = 2} \cr} } \right. \cr} \) Câu 3.47 trang 65 SBT Đại số 10 Nâng cao. Sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau (tính chính xác đến hàng phần trăm) : a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + \sqrt 2 y + z = 1}\\{\sqrt 3 x + \sqrt 3 y + 2z = \sqrt 2 }\\{x + \sqrt 5 y + 3z = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x + y + \sqrt 3 z = - 1}\\{x + \sqrt 2 y + \sqrt 5 z = \sqrt 2 }\\{\sqrt 3 x + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)y - z = \sqrt 5 }\end{array}} \right.\) Giải: a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx - 0,42}\\{y \approx 2,91}\\{z \approx - 1,45}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx - 1,18}\\{y \approx 1,62}\\{z \approx 0,14}\end{array}} \right.\) Câu 3.48 trang 66 SBT Đại số 10 Nâng cao. Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lạo động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? Giải: Gọi số học sinh của lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là x, y, z. (Điều kiện : x, y, z nguyên dương) Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + {\rm{z}} = 128\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3{\rm{x}} + 2y + 6{\rm{z}} = 476\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\\{4{\rm{x}} + 5y = 375\,\,\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\) Dùng phương pháp khử dần ẩn số : nhân hai vế của (1) với -6 rồi cộng vào phương trình (2), ta được hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + {\rm{z}} = 128}\\{3{\rm{x}} + 4y = 292}\\{4{\rm{x}} + 5y = 375}\end{array}} \right.\) Trừ hai phương trình cuối tìm được x = 40 ; y = 43. Từ đó thế vào phương trình đầu tìm được z = 45, (thỏa mãn điều kiện bài toán). Vậy lớp 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em. Câu 3.49 trang 66 SBT Đại số 10 Nâng cao. Bài toán cổ. Hãy giải bài toán dân gian sau: Em đi chợ phiên Anh gửi một tiền Cam, thanh yên, quýt Không nhiều thì ít Mua đủ một trăm Cam ba đồng một Quýt một đồng trăm Thanh yên tươi tốt Năm đồng một trái Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết rằng một tiền là 60 đồng ? Giải: Gọi số cam, quýt, thanh yên lần lượt là x, y, z quả (Điều kiện : x, y, z nguyên dương nhỏ hơn 100) Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + {\rm{z}} = 100\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3{\rm{x}} + \dfrac{y}{5} + 5{\rm{z}} = 60\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\) Từ (1) và (2) suy ra 7x + 12z = 100 ⇔ 7(x – 16) = -12(z + 1) Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 16 = - 12k}\\{z + 1 = 7k}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 12k + 16}\\{y = 7k - 1}\end{array}} \right.\) Để x, y nguyên dương thì k = 1, Từ đó tìm được x = 4 ; y = 90 ; z = 6 (thỏa mãn điều kiện bài toán). Vậy có 4 quả cam, 90 quả quýt và 6 quả thanh yên.
