Câu 3.54 trang 67 SBT Đại số 10 Nâng cao. Phương trình dạng \(ax + b = 0\) (ẩn x) vô nghiệm trong trường hợp nào, có vô số nghiệm trong trường hợp nào? Áp dụng. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình \(m\left( {m - 2} \right)x = m\) a. Có nghiệm duy nhất; b. Vô nghiệm; c. Có vô số nghiệm; d. Có nghiệm. Giải: Phương trình dạng \(ax + b = 0\) vô nghiệm khi \(a = 0 và b ≠ 0\), có vô số nghiệm khi \(a = b = 0.\) Áp dụng. Đối với phương trình \(m(m – 2)x = m\), ta có : a. Phương trình có nghiệm duy nhất nếu \(m(m – 2) ≠ 0\) b. Phương trình vô nghiệm nếu m = 2 c. Phương trình có vô số nghiệm nếu m = 0 d. Phương trình có nghiệm nếu \(m – 2 ≠ 0\) (tức là m ≠ 2). Câu 3.55 trang 67 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hệ phương trình \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + by = c}\\{a'x + b'y = c'}\end{array}} \right.\) (ẩn là x và y) thỏa mãn điều kiện a’b’c’ ≠ 0. Chứng minh rằng : a. Nếu \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) thì hệ (I) có nghiệm duy nhất. b. Nếu \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) thì hệ (I) vô nghiệm. c. Nếu \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) thì hệ (I) có vô số nghiệm. áp dụng. Tìm các giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a + 1} \right)x + 3y = a}\\{x + \left( {a - 1} \right)y = 2}\end{array}} \right.\) Có vô số nghiệm. Giải: Xét hệ phương trình (I) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + by = c}\\{a'x + b'y = c'}\end{array}} \right.\) (ẩn là x và y) với điều kiện a’b’c’ ≠ 0. a. Nếu \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) thì \(D = ab' - a'b \ne 0\) nên hệ (I) có nghiệm duy nhất. b. Nếu \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) thì \(D = ab' - a'b = 0\) và \({D_x} = cb' - c'b \ne 0\) nên hệ (I) vô nghiệm. c. Nếu \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) thì \(D = 0\) và \({D_x} = cb' - c'b = {D_y} = ac' - a'c = 0\) nên hệ (I) có vô số nghiệm. Chú ý. Kết quả trên vẫn đúng khi a = b = 0. Áp dụng. Đối với hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{\rm{a}} + 1} \right)x + 3y = a}\\{x + \left( {{\rm{a}} - 1} \right)y = 2}\end{array},} \right.\) ta có - Nếu a = 1 thì dễ thấy hệ có nghiệm duy nhất. - Nếu a ≠ 1 thì hệ có vô số nghiệm khi \(\dfrac{{a + 1}}{1} = \dfrac{3}{{a - 1}} = \dfrac{a}{2}.\) Giải ra ta được a = -2. Câu 3.56 trang 68 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các phương trình theo tham số m : a. \(\left( {2{m^2} - 1} \right)x - 2 = m - 4x\) b. \({m^2}\left( {x - 1} \right) + 1 = - \left( {4m + 3} \right)x\) c. \(m\left( {x + 1} \right) = {m^2} - 6 - 2x.\) Giải: a. \(x = \dfrac{{m + 2}}{{2{m^2} + 3}}.\) Gợi ý. \(\left( {2{m^2} - 1} \right)x - 2 = m - 4{\rm{x}}\) \(\Leftrightarrow \left( {2{m^2} + 3} \right)x = m + 2\) b. \({m^2}\left( {{\rm{x}} - 1} \right) + 1 = - \left( {4m + 3} \right)x\) \(\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 3} \right)x = {m^2} - 1\) • Nếu m ≠ -1 và m ≠ -3 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{m - 1}}{{m + 3}}\) • Nếu m = -1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x ϵ R. • Nếu m = -3 thì phương trình vô nghiệm. c. \(m\left( {{\rm{x}} + 1} \right) = {m^2} - 6 - 2{\rm{x}}\) \(\Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)x = \left( {m + 2} \right)\left( {m - 3} \right)\) • Nếu m = -2 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x ϵ R. • Nếu m ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = m – 3. Câu 3.57 trang 68 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các phương trình theo tham số m: a. \(\dfrac{{\left( {2m - 1} \right)x + 2}}{{x - 2}} = m + 1\) b. \(\dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right)x}}{{2x + 1}} = m + 2\) Giải: a. Với điều kiện x ≠ 2, phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\left( {m - 2} \right)x = - 2\left( {m + 2} \right)\) (1) Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. Nếu m ≠ 2 thì (1) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{ - 2\left( {m + 2} \right)}}{{m - 2}}.\) Để là nghiệm của phương trình đã cho, giá trị này phải thỏa mãn điều kiện x ≠ 2, tức là : \(\dfrac{{ - 2\left( {m + 2} \right)}}{{m - 2}} \ne 2\) Điều đó xảy ra khi và chỉ khi m ≠ 0. Vậy, ta có kết luận : • Nếu m = 2 hoặc m = 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm. • Nếu m ≠ 2 và m ≠ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm \(x = \dfrac{{ - 2\left( {m + 2} \right)}}{{m - 2}}\) b. Điều kiện là \(x \ne - \dfrac{1}{2}\) • Nếu m ≠ -2 , m ≠ 1 và m ≠ 3 thì phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{{m - 3}}\) . • Nếu m = -2 thì phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \ne - \dfrac{1}{2}.\) • Nếu m = 1 hoặc m = 3 thì phương trình vô nghiệm. Câu 3.58 trang 68 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ phương trình: a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y + 3z = 4}\\{3x - 2y + 2z = 3}\\{5x - 4y = 2}\end{array}} \right.\) b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 16}\\{y + z = 28}\\{z + x = 22}\end{array}} \right.\) c. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 }\\{2x - y = - 1}\end{array}} \right.\) Giải: a. Vô nghiệm ; b. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {5;11;17} \right)\) c. \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 1 + \sqrt 2 ; - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\) Gợi ý. Do \(\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {\rm{x}} - y = \pm \sqrt 2 \) nên tập nghiệm của hệ phương trình đã cho bằng hợp các tập nghiệm của hai hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = \sqrt 2 }\\{2{\rm{x}} - y = - 1}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = - \sqrt 2 }\\{2{\rm{x}} - y = - 1}\end{array}} \right.\) Câu 3.59 trang 68 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 1} \right)y = m}\\{\left( {3 - m} \right)x + 3y = 2}\end{array}} \right.\) a. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các nghiệm của hệ. b. Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xác đến hàng phần nghìn khi \(m = \sqrt 5 - 2.\) Giải: a. Ta có: \(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1}&{m + 1}\\{3 - m}&3\end{array}} \right| = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right);\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 1}\\2&3\end{array}} \right| = m - 2\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1}&m\\{3 - m}&2\end{array}} \right| = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right).\end{array}\) Từ đó suy ra hệ có nghiệm trong hai trường hợp sau : • D ≠ 0, tức là m ≠ 2 và m ≠ -3. Lúc này, nghiệm duy nhất của hệ là \(\left( {{\rm{x}};y} \right) = \left( {\dfrac{1}{{m + 3}};\dfrac{{m + 1}}{{m + 3}}} \right).\) (1) • D = Dx = Dy = 0, tức là m = 2. Lúc này hệ có vô số nghiệm (x ; y), trong đó \(x = 2 – 3y\), và y ∈ R (tùy ý). b. Khi \(m = \sqrt 5 - 2\), hệ phương trình có một nghiệm duy nhất tính theo (1). Vậy \(\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 5 + 1}} \approx 0,309,\\y = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{{\sqrt 5 + 1}} \approx 0,382.\end{array}\) Câu 3.60 trang 68 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các phương trình theo tham số m : a. \(\left| {2x + m} \right| = \left| {2x + 2m - 1} \right|\) b. \(\left| {mx + 1} \right| = \left| {2x - m - 3} \right|\) c. \(\left( {mx - 2} \right)\left( {2x + 4} \right) = 0\) Giải: a. Để giải phương trình \(\left| {2x + m} \right| = \left| {2x + 2m - 1} \right|,\) ta giải hai phương trình sau : \(\begin{array}{l}2x + m = 2{\rm{x}} + 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2x + m = - \left( {2x + 2m - 1} \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\) • \((1) ⇔ 0x = m – 1\) Phương trình này vô nghiệm nếu m ≠ 1 và nghiệm đúng với mọi x nếu m = 1. • \((2) ⇔ 4{\rm{x}} = - 3m + 1 \Leftrightarrow {\rm{x}} = \dfrac{{ - 3m + 1}}{4}\) Kết luận - Nếu m ≠ 1 thì phương trình đã cho có một nghiệm \(x = \dfrac{{ - 3m + 1}}{4}\) - Nếu m = 1 thì phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. Chú ý. Cũng có thể giải phương trình này bằng cách bình phương hai vế : \(\begin{array}{l}\left| {2x + m} \right| = \left| {2{\rm{x}} + 2m - 1} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + m} \right)^2} = {\left( {2{\rm{x}} + 2m - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - m} \right)x = \left( {m - 1} \right)\left( {3m - 1} \right)\end{array}\) b. Việc giải phương trình \(\left| {m{\rm{x}} + 1} \right| = \left| {2{\rm{x}} - m - 3} \right|\) quy về giải hai phương trình \(\left( {m - 2} \right)x = - \left( {m + 4} \right)\,va\,\left( {m + 2} \right)x = m + 2\) Kết luận - Nếu \(m \ne \pm 2\) thì phương trình có hai nghiệm \(x = \dfrac{{m + 4}}{{2 - m}}\) và \(x = 1\) - Nếu m = -2 thì phương trình có nghiệm đúng với mọi x. - Nếu m = 2 thì phương trình có một nghiệm x = 1. Câu 3.61 trang 68 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các phương trình a. \(1 + \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{10}}{{x + 3}} - \dfrac{{50}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) b. \(\dfrac{{{x^2} - \left| x \right| - 12}}{{x - 3}} = 2x\) Giải: a. Với điều kiện x ≠ 2 và x ≠ -3, phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\left( {x - 2} \right)\left( {{\rm{x}} + 3} \right) + 2\left( {{\rm{x}} + 3} \right) = 10\left( {x - 2} \right) + 50.\) (1) \((1) \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 30 = 0 \Leftrightarrow {\rm{x = 10}}\) hoặc \(x = - 3\) Đối chiếu với điều kiện, chỉ có nghiệm x = 10 là thích hợp. b. Với điều kiện x ≠ 3, phương trình đã cho tương đương vớii phương trình \(\begin{array}{l}{x^2} - \left| x \right| - 12 = 2{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\,hay\\{x^2} + \left| x \right| - 6{\rm{x}} + 12 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\) • Nếu x ≥ 0 thì (2) \( \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} + 12 = 0\) Phương trình này vô nghiệm. • Nếu x < 0 thì (2) \( \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) hoặc \({\rm{x}} = 4\) (cả hai bị loại do x < 0) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 3.62 trang 68 SBT Đại số 10 Nâng cao. Sử dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo tham số k: a. \(3{x^2} - 2x = k\) b. \({x^2} - 3\left| x \right| - k + 1 = 0\) Giải: a. Vẽ parabol \(y = 3x^2 - 2x\) và xét đường thẳng \(y = k\) (h. 3.3), ta có : • Nếu \(k < - \dfrac{1}{3}\) thì phương trình vô nghiệm. • Nếu \(k = - \dfrac{1}{3}\) thì phương trình có một nghiệm (kép) • Nếu \(k > - \dfrac{1}{3}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Chú ý. Kết quả trên cũng có thể được kiểm nghiệm lại bằng phương trình bậc hai \(3x^2 - 2x - k = 0,\) với biệt thức thu gọn là \(\Delta ' = 1 + 3k.\) b. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 3\left| x \right| + 1\) và đường thẳng \(y = k\) (h. 3.4), ta có : • Nếu \(k < - \dfrac{5}{4}\) thì phương trình vô nghiệm. • Nếu \(k = - \dfrac{5}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm (cả hai đều là nghiệm kép). • Nếu \( - \dfrac{5}{4} < k < 1\) thì phương trình có 4 nghiệm. • Nếu k = 1 thì phương trình có 3 nghiệm. • Nếu k ≥ 1 thì phương trình có 2 nghiệm. Chú ý. Có thể kiệm nghiệm lại kết quả trên bằng cách giải và biện luận phương trình đã cho theo tham số k. Câu 3.63 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hàm số \(y = {x^2} + x - 2\) có đồ thị là parabol (P), hàm số \(y = 3x + k\) có đồ thị là đường thẳng (d). a. Hãy biện luận số nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 2 = 3x + k,\) từ đó suy ra số điểm chung của parabol (P) và đường thẳng (d). b. Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung ? c. Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ở về cùng một phía của trục tung. Khi đó hai điểm ấy nằm ở phía nào của trục tung ? Giải: a. Ta có: \({x^2} + x - 2 = 3x + k\) tương đương với phương trình \({x^2} - 2x - \left( {2 + k} \right) = 0\) (1) Phương trình bậc hai (1) có biệt thức thu gọn \(\Delta ' = k + 3.\) Do đó : • Nếu k < -3 thì ∆’ < 0, phương trình (1) vô nghiệm nên đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung nào. • Nếu k = -3 thì ∆’ = 0, phương trình (1) có một nghiệm nên đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung. • Nếu k > -3 thì ∆’ > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung phân biệt. b. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, nghĩa là \( - \left( {2 + k} \right) < 0,\) hay \(k > - 2\) c. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở cùng một phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Nếu gọi hai nghiệm ấy là \(x_1\) và \(x_2\) thì \(x_1 + x_2 = 2 > 0\). Điều đó chứng tỏ rằng khi hai nghiệm cùng dấu thì chúng có dấu dương, nghĩa là hai giao điểm nằm ở bên phải trục tung. Muốn vậy, ta phải có: \(\Delta ' = k + 3 > 0\) và \( - \left( {2 + k} \right) > 0\) tức là \(- 3 < k < - 2\). Câu 3.64 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hai phương trình \({x^2} - 5x + k = 0\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} - 7x + 2k = 0\,\left( 2 \right)\) a. Với giá trị nào của k thì phương trình (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia ? b. Với giá trị nào của k thì phương trình (2) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 25\,?\) c. Với giá trị nào của k thì cả hai phương trình cùng có nghiệm và một trong các nghiệm của phương trình (2) gấp đôi một trong các nghiệm của phương trình (1) ? Giải: a. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là \({\Delta _1} = 25 - 4k \ge 0.\) Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của (1) là \(x_1\) và \(x_2\). Theo điều kiện của đề bài, ta có : \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = 5 \hfill \cr {x_1}{x_2} = k \hfill \cr {x_2} = 2x_1 \hfill \cr} \right.\) Từ đó suy ra \(k = \dfrac{{50}}{9}.\) Khi đó, (1) có hai nghiệm là \({x_1} = \dfrac{5}{3}\) và \({x_2} = \dfrac{{10}}{3}\) Chú ý. Trong mỗi lời giải trên, ta nên lựa chọn cách đánh số các nghiệm sao cho “nghiệm này gấp đôi nghiệm kia” được thể hiện bởi hệ thức \(x_2 = 2x\). Nếu không lựa chọn cách đánh số các nghiệm như vậy thì điều kiện “nghiệm này gấp đôi nghiệm kia” được diễn tả bởi hệ thức \(\left( x_1 - 2x_2 \right)\left( x_2 - 2 x_1 \right) = 0.\) b. Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là \({\Delta _2} = 49 - 8k \ge 0.\) Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của (1) là x3 và x4. Theo điều kiện của đề bài ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} + {x_4} = 7}\\{{x_3}{x_4} = 2k}\\{x_3^2 + {\rm{x}}_4^2 = 25}\end{array}} \right.\) Từ đó suy ra \(k = 6\). Khi đó, (2) có nghiệm là \(x_3=3\) và \(x_4=4\). c. Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là \({\Delta _1} \ge 0\) và \({\Delta _2} \ge 0,\) tức là \(k \le \dfrac{{49}}{8}.\) Với cùng kí hiệu như trên, theo đề bài ta có hệ : \(\left\{ {\matrix{{{x_1} + {x_2} = 5} \cr {{x_1}{x_2} = k} \cr {{x_3} + {x_4} = 7} \cr {{x_3}{x_4} = 2k} \cr {2{x_1} = {x_3}} \cr} } \right.\) Từ đó ta có hai kết quả sau : • k = 0. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là \(x_1=0\) và \(x_2=5\), phương trình (2) có hai nghiệm \(x_3=4\) và \(x_4=7\) (thỏa mãn điều kiện của bài toán vì \(x_3=2x_1\)). • k = 6. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1=2\) và \(x_2=3\), phương trình (2) có hai nghiệm \(x_3=4\) và \(x_4=3\) (thỏa mãn điều kiện của bài toán vì \(x_3=2x_1\)). Câu 3.65 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ phương trình sau : a. \(\left\{ \matrix{2{x^2} - xy + 3{y^2} = 7x + 12y - 1 \hfill \cr x - y + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\) b. \(\left\{ \matrix{\left( {2x + 3y - 2} \right)\left( {x - 5y - 3} \right) = 0 \hfill \cr x - 3y = 1 \hfill \cr} \right.\) c. \(\left\{ \matrix{{x^2} + {y^2} + 2x\left( {y - 3} \right) + 2y\left( {x - 3} \right) + 9 = 0 \hfill \cr 2\left( {x + y} \right) - xy + 6 = 0 \hfill \cr} \right.\) d. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2{y^2} = 7x}\\{{y^2} - 2{x^2} = 7y}\end{array}} \right.\) Giải: a. Từ phương trình thứ hai trong hệ ta rút y = x + 1 rồi thế vào phương trình thứ nhất và thu gọn thì được phương trình bậc hai \(2x^2 - 7x - 4 = 0.\) Phương trình này cho ta hai nghiệm \(x = - \dfrac{1}{2}\) và \(x = 4.\) Tương tự ta được hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {4;5} \right).\) b. Ta có \((2x + 3y – 2)(x – 5y – 3) = 0\)\( ⇔ 2x + 3y = 2\) hoặc \(x – 5y = 3\). Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + 3y = 2}\\{x - 3y = 1}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5y = 3}\\{x - 3y = 1}\end{array}} \right.\) Hai hệ này cho ta hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1 ; 0) và (-2 ; -1) c. Đây là hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn. Do đó ta giải bằng cách đặt \(u = x + y\) và \(v = xy\). Khi đó ta thu được hệ phương trình ẩn u và v \(\left( {III} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u^2} - 6u + 2v + 9 = 0}\\{2u - v + 6 = 0}\end{array}} \right.\) Ta giải hệ phương trình (III) bằng phương pháp thế ; kết quả là hệ này vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm. d. Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được \(3( x^2 - y^2) = 7(x-y)\) Phương trình này tương đương với \(\left( {IV} \right)\left\{ {\matrix{{{x^2} - 2{y^2} = 7x} \cr {x - y = 0} \cr} } \right.\) hoặc \(\,\left( V \right)\left\{ {\matrix{{{x^2} - 2{y^2} = 7x} \cr {3x + 3y - 7 = 0} \cr} } \right.\) Hệ (IV) có hai nghiệm (0 ; 0) và (-7 ; -7) ; hệ (V) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0 ; 0) và (-7 ; -7). Câu 3.66 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hệ phương trình \(\left\{ \matrix{{x^2} + {y^2} = 2\left( {a + 1} \right) \hfill \cr {\left( {x + y} \right)^2} = 4 \hfill \cr} \right.\) a. Giải hệ phương trình với a = 2. b. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất. Giải: a. Với a = 2, ta có hệ \(\left\{ {\matrix{{{x^2} + {y^2} = 6} \cr {{{\left( {x + y} \right)}^2} = 4.} \cr} } \right.\) Đặt \(u = x + y\) và \(v = xy\), ta được hệ phương trình ẩn là u và v : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u^2} - 2v = 6}\\{{u^2} = 4}\end{array}} \right.\) Hệ này có hai nghiệm \((u ; v) = (2 ; -1)\) và \((u ; v) = (-2 ; -1)\). Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 2}\\{xy = - 1}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = - 2}\\{xy = - 1.}\end{array}} \right.\) Giải hai hệ phương trình trên, ta được 4 nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right),\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\\\left( { - 1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 } \right),\left( { - 1 + \sqrt 2 ; - 1 - \sqrt 2 } \right)\end{array}\) b. Giả sử (x ; y) = (x0; y0) là nghiệm duy nhất của hệ. Do hệ phương trình đã cho là hệ phương trình đối xứng đối với các ẩn nên nó cũng có nghiệm là (x ; y) = (y0 ; x0). Từ tính duy nhất của hệ ta suy ra x0 = y0. Do đó \(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x_0^2 + y_0^2 = 2\left( {{\rm{a}} + 1} \right)} \cr {{{\left( {{x_0} + {y_0}} \right)}^2} = 4} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow \left\{ {\matrix{{2x_0^2 = 2\left( {{\rm{a}} + 1} \right)} \cr {4x_0^2 = 4} \cr} } \right. \Rightarrow a = 0. \cr} \) Ngược lại, nếu a = 0 thì hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 2}\\{{{\left( {{\rm{x}} + y} \right)}^2} = 4.}\end{array}} \right.\) Tuy nhiên, hệ này có nghiệm không duy nhất (dễ thấy hai nghiệm nó là (1 ; 1) và (-1 ; -1). Vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn điều kiện của đầu bài. Trong các bài từ 3.67 đến 3.71, hãy chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho. Câu 3.67 trang 70 SBT Đại số 10 Nâng cao Điều kiện xác định của phương trình \(x + \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4} }} = \dfrac{{\sqrt {3 - 2x} }}{x}\) là A. \(x > -2\) và \(x ≠ 0\) B. \(x > - 2,x \ne 0\) và \(x \le \dfrac{3}{2}\) C. \(x > - 2\) và \(x < \dfrac{3}{2}\) D. \(x > - 2,x \ne 0\) và \(,x \le \dfrac{3}{2}\) Giải: Phương án (B) Câu 3.68 trang 70 SBT Đại số 10 Nâng cao Cặp \((x ; y) = (1 ; 2)\) là nghiệm của phương trình A. \(3x + 2y = 7\) B. \(x – 2y = 5\) C. \(0.x + 3y = 4\) D. \(3x + 0.y = 2.\) Giải: Phương án (A) Câu 3.69 trang 70 SBT Đại số 10 Nâng cao Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 4y = - 5}\\{ - 2x + y = - 4}\end{array}} \right.\) là A. \((1 ; -2)\) B. \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{{ - 7}}{4}} \right)\) C. \(\left( {\dfrac{{ - 1}}{3}; - 5} \right)\) D. \(\left( { - 2;1} \right)\) Giải: Phương án (A) Câu 3.70 trang 70 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1}{x_2}\) cùng khác 0. Phương trình bậc hai nhận \(\dfrac{1}{{{x_1}}}\) và \(\dfrac{1}{{{x_2}}}\) làm nghiệm là : A. \(cx^2 + bx + a = 0\) B. \(bx^2 + ax + c = 0\) C. \(c{x^2} + ax + b = 0\) D. \(a{x^2} + cx + b = 0\) Giải: Phương án (A) Câu 3.71 trang 70 SBT Đại số 10 Nâng cao Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1}}{{x + 1}} = 1\)trong trường hợp m ≠ 0 là A. \(S = \left\{ {\dfrac{{m + 1}}{{{m^2}}}} \right\}\) B. \(S = ∅\) C. \(S = R\) D. Không phải các phương án trên. Giải: Phương án (D) Trong các bài 3.72 và 3.73, hãy ghép mỗi dòng ở cột trái với một dòng ở cột phải để được một khẳng định đúng. Câu 3.72 trang 71 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho phương trình \({x^2} + 2mx + {m^2} - 2m - 1 = 0\) a. Nếu \(m > \dfrac{{ - 1}}{2}\) b. Nếu \(m < \dfrac{{ - 1}}{2}\) c. Nếu \(m = \dfrac{{ - 1}}{2}\)1. thì phương trình đã cho vô nghiệm. 2. thì phương trình đã cho có vô số nghiệm. 3. thì phương trình đã cho có một nghiệm kép. 4. thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Giải: (a) ⟷ (4) ; (b) ⟷ (1) ; (c) ⟷ (3). Câu 3.73 trang 71 SBT Đại số 10 Nâng cao Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{mx + 9y = 6}\\{x + my = - 2}\end{array}} \right.\) a. Nếu m = 3 b. Nếu m = -3 c. Nếu m ≠ ± 31. thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 2. thì hệ phương trình đã cho có một nghiệm. 3. thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. 4. thì hệ phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi giá trị của hai ẩn.Giải: (a) ⟷ (1) ; (b) ⟷ (3) ; (c) ⟷ (2).
