Câu 4.26 trang 106 SBT Đại số 10 Nâng cao. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai, vì sao ? a. 2 là một nghiệm của bất phương trình \({x^2} + {x} + 1 > 0\) b. -3 không là nghiệm của bất phương trình \({x^3} - 3{x} - 1 < 0\) c. a là một nghiệm của bất phương trình \({x^2} + \left( {1 + a} \right)x - a + 2 < 0\) Giải: a. Đúng, vì \({2^2} + 2 + 1 > 0\) b. Sai, vì \({\left( { - 3} \right)^3} - 3.\left( { - 3} \right) - 1 < 0\) nên -3 là nghiệm của bất phương trình đã cho. c. Sai, vì \({a^2} + \left( {1 + a} \right)a - a + 2 = 2{{a}^2} + 2 > 0.\) Câu 4.27 trang 106 SBT Đại số 10 Nâng cao. Các cặp bất phương trình sau có tương đương không, vì sao ? a. \(2{x} - 1 > 0\) và \(2{x} - 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} > \dfrac{1}{{x - 2}}\) b. \(2{x} - 1 > 0\) và \(2{x} - 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} > \dfrac{1}{{x + 2}}\) c. \(x - 3 < 0\) và \({x^2}\left( {{x} - 3} \right) < 0\) d. \(x - 3 > 0\) và \({x^2}\left( {{x} - 3} \right) > 0\) e. \(x - 2 > 0\) và \({\left( {{x} - 2} \right)^2} > 0\) g. \(x - 5 > 0\) và \(\left( {{x} - 5} \right)\left( {{{x}^2} - 2{x} + 2} \right) > 0\) Giải: a. Không tương đương, vì \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình thứ nhất nhưng không thuộc tập xác định của bất phương trình thứ hai. b. Tương đương. c. Không tương đương, vì \(x = 0\) là nghiệm của bất phương trình thứ nhất nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ hai. d. Tương đương, vì khi \(x – 3 > 0\) thì \({x^2} > 0\) nên \(x - 3 > 0 \Leftrightarrow {{x}^2}\left( {{x} - 3} \right) > 0\) e. Không tương đương vì \(x = -1\) là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất. g. Tương đương, vì \({x^2} - 2{x} + {\rm{2 = }}{\left( {{x} - 1} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi \(x\). Câu 4.28 trang 106 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau : a. \(\sqrt {{\rm{x}} - 2} \ge \sqrt {2 - x} \) b. \(\sqrt {2{\rm{x}} - 3} < 1 + \sqrt {2{\rm{x}} - 3} \) c. \(\dfrac{{\rm{x}}}{{\sqrt {{\rm{x}} - 3} }} < \dfrac{3}{{\sqrt {{\rm{x}} - 3} }}\) d. \(3{\rm{x}} + \dfrac{1}{{x - 2}} \ge 2 + \dfrac{1}{{x - 2}}\) Giải: a. Điều kiện : \(x = 2\), tập nghiệm \(S = \left\{ 2 \right\}.\) b. Điều kiện : \(x \ge \dfrac{3}{2},\) tập nghiệm \(S = \left[ {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\) c. Điều kiện : \(x > 3\), tập nghiệm \(S = ∅.\) d. Điều kiện : \(x ≠ 2\), tập nghiệm \(S = \left[ {\dfrac{2}{3};2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) . Câu 4.29 trang 106 SBT Đại số 10 Nâng cao. Không giải các bất phương trình hãy giải thích tại sao các bất phương trình sau vô nghiệm: a. \(\sqrt {{\rm{x}} - 2} + 1 < 0\) b. \({\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} + {{\rm{x}}^2} \le - 3\) c. \({x^2} + {\left( {{\rm{x}} - 3} \right)^2} + 2 > {\left( {{\rm{x}} - 3} \right)^2} + {{\rm{x}}^2} + 5\) d. \(\sqrt {1 + 2{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {10 - 6{\rm{x}} + {{\rm{x}}^2}} < 2\) Giải: a. Vế trái luôn dương với mọi \(x ≥ 2.\) b. Vế trái không âm với mọi \(x\). c. Giản ước cả hai vế cho \({x^2}{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)^2}\) dẫn đến 2 > 5. Điều này vô lí. d. Do \(\sqrt {1 + 2{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} \ge 1\) và \(\sqrt {10 - 6{\rm{x}} + {{\rm{x}}^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)}^2}} \ge 1.\) Câu 4.30 trang 106 SBT Đại số 10 Nâng cao. Không giải bất phương trình, hãy giải thích tại sao các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x : a. \({x^4} + {{\rm{x}}^2} + 1 > 0\) b. \(\dfrac{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 0\) c. \({x^2} + {\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} > {x^2}\) Giải: a. Vế trái luôn dương với mọi \(x\). b. Vế trái không âm với mọi \(x\). c. Giản ước cả hai vế cho \({x^2}.\) Vế trái của bất đẳng thức mới nhận được luôn dương. Câu 4.31 trang 107 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm điều kiện xác định của các bất phương trình sau : a. \(\dfrac{1}{{{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{x - 3}} > 2\) b. \(\dfrac{{\sqrt {{\rm{x}} + 1} }}{{\sqrt {{\rm{x}} - 1} }} + \dfrac{1}{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} - 3} \right)}} > \dfrac{1}{{x - 4}}\) Giải: a. \(x ≠ -1 ; x ≠ 3.\) b. \(x > 1 ; x ≠ 2 ; x ≠ 3 ; x ≠ 4.\) Câu 4.32 trang 107 SBT Đại số 10 Nâng cao. Để giải bất phương trình \(\sqrt {{x} - 2} > \sqrt {2{x} - 3} \,\left( 1 \right),\) bạn Nam đã làm như sau: Do hai vế của bất phương trình (1) luôn không âm nên (1) tương đương với \({\left( {\sqrt {{x} - 2} } \right)^2} > {\left( {\sqrt {2{x} - 3} } \right)^2}\) hay \(x - 2 > 2{x} - 3.\) Do đó \(x < 1\). Vậy tập nghiệm của (1) là \(\left( { - \infty ,1} \right)\) Theo em, bạn Nam giải đã đúng chưa, vì sao ? Giải: Sai lầm của bạn Nam là không để ý đến điều kiện xác định của phương trình \(D = \left[ {2; + \infty } \right).\) Hai vế của (1) chỉ không âm khi \(x ∈ D\) chứ không phải với mọi \(x ∈ R\). Vì vậy, khi tìm ra \(x < 1\) cần phải đối chiếu với điều kiện \(x \in \left[ {2; + \infty } \right)\) để kết luận bất phương trình (1) vô nghiệm. Câu 4.33 trang 107 SBT Đại số 10 Nâng cao. Bạn Minh giải bất phương trình \(\dfrac{1}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3} }} < \dfrac{1}{{x + 5}}\,\left( 1 \right)\) như sau: \(\eqalign{& \left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 5 < \sqrt {{x^2} - 2x - 3} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} < {x^2} - 2x - 3 \cr & \Leftrightarrow 12x + 28 < 0 \Leftrightarrow x < - {7 \over 3}. \cr} \) Theo em, bạn Minh giải đúng hay sai, vì sao ? Giải: Sai lầm của bạn Minh là nghĩ rằng \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow b < a.\) Nhớ rằng \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \Leftrightarrow \dfrac{{a - b}}{{ab}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab > 0}\\{a > b}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab < 0}\\{a < b}\end{array}} \right.\) Nhận thấy nếu x + 5 < 0 thì (1) vô nghiệm, ngược lại ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 < \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3} }\\{x + 5 > 0}\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < - \dfrac{7}{3}}\\{x > - 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 5 < x < - \dfrac{7}{3}\)
