Sách bài tập Toán 10 - Đại số 10 nâng cao - Chương IV - Bài 3. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 4.34 trang 107 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :
    a. \(2\left( {{x} - 1} \right) + {x} > \dfrac{{{x} + 3}}{3} + 3;\)
    b. \({\left( {{x} + \sqrt 2 } \right)^2} \le {\left( {{x} - \sqrt 2 } \right)^2} + 2\)
    c. \(x\left( {7 - x} \right) + 6\left( {{x} - 1} \right) < x\left( {2 - x} \right)\)
    d. \(\dfrac{{{x} + 2}}{2} + \dfrac{{{x} - 2}}{3} + \dfrac{{{x} - 1}}{4} \ge 3 + \dfrac{{x}}{2}\)
    Giải:
    a. \(S = \left( {\dfrac{9}{4}; + \infty } \right)\)
    01.jpg
    b. \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}} \right]\)
    02.jpg
    c. \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{6}{{11}}} \right)\)
    03.jpg
    d. \(S = \left[ {5; + \infty } \right)\)
    04.jpg

    Câu 4.35 trang 107 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các bất phương trình
    a. \(\left( {{x} + 2} \right)\sqrt {{x} + 3} \sqrt {{x} + 4} \le 0\)
    b. \(\left( {{x} + 2} \right)\sqrt {\left( {{x} + 3} \right)\left( {{x} + 4} \right)} < 0\)
    c. \(\sqrt {{{\left( {{x} - 1} \right)}^2}\left( {{x} - 2} \right)} \ge 0\)
    d. \(\sqrt {2{x} - 8} - \sqrt {4{x} - 21} > 0\)
    Giải:
    a. \(S = \left[ { - 3; - 2} \right].\) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 \ge 0}\\{x + 4 \ge 0}\\{x + 2 \le 0}\end{array}} \right.\) tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 3}\\{x \ge - 4}\\{x \le - 2}\end{array}} \right.\) hay \( - 3 \le x \le - 2\)
    b. \(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right)\)
    c. \(\sqrt {{{\left( {{x} - 1} \right)}^2}\left( {{x} - 2} \right)} \ge 0.\) (1)
    Nếu \(x = 1\) thì bất phương trình (1) được nghiệm đúng.
    Nếu \(x ≠ 1\) thì (1) tương đương với \(x – 2 ≥ 0\), tức là \(x ≥ 2.\)
    Vậy tập nghiệm của (1) là \(S = \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
    d. \(\sqrt {2{x} - 8} - \sqrt {4{x} - 21} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {2{x} - 8} > \sqrt {4{x} - 21} .\)
    Điều kiện : \(x \ge \dfrac{{21}}{4},\) khi đó ta có \(2x – 8 > 4x – 21\), tức là \(x < \dfrac{{13}}{2}\)
    Kết hợp với điều kiện trên dẫn đến \(\dfrac{{21}}{4} \le x < \dfrac{{13}}{2}.\) Vậy tập nghiệm \(S = \left[ {\dfrac{{21}}{4};\dfrac{{13}}{2}} \right)\)

    Câu 4.36 trang 108 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các hệ bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :
    a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x} + \dfrac{3}{5} < x + 2}\\{\dfrac{{6{x} - 3}}{2} < 2{x} + 1}\end{array}} \right.\)
    b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{4{x} + 5}}{6} < x - 3}\\{2{x} + 3 > \dfrac{{7{x} - 4}}{3}}\end{array}} \right.\)
    Giải:
    a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x} + \dfrac{3}{5} < x + 2}\\{\dfrac{{6{x} - 3}}{2} < 2{x} + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x} < \dfrac{7}{5}}\\{x < 1 + \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.\)
    \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \dfrac{7}{{10}}}\\{x < \dfrac{5}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x} < \dfrac{7}{{10}}\)
    Biểu diễn tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{7}{{10}}} \right)\) trên trục số (phần không bị gạch)
    05.jpg
    b. \(S = \left( {\dfrac{{23}}{2};13} \right)\)
    06.jpg

    Câu 4.37 trang 108 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải và biện luận các bất phương trình (ẩn x):
    a. \(m\left( {{x} - m} \right) \ge 0\)
    b. \(\left( {{x} - 1} \right)m > x + 2\)
    c. \(\dfrac{{x - ab}}{{a + b}} + \dfrac{{{x} - ac}}{{a + c}} + \dfrac{{{x} - bc}}{{b + c}} \le a + b + c\)
    d. \(b{x} + b < a - ax\)
    Giải:
    a. Ta có \(m{x} \ge {m^2}\) (1)
    Nếu \(m > 0\) thì \((1) ⇔ x ≥ m\) ; tập nghiệm \(S = \left[ {m; + \infty } \right)\)
    Nếu \(m = 0\) thì \((1) ⇔ 0.x ≥ 0\) ; tập nghiệm \(S = R.\)
    Nếu \(m < 0\) thì \((1) ⇔ x ≤ m\) ; tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;m} \right]\)
    b. Biến đổi về dạng \(\left( {m + 1} \right)x > m + 2\) (2)
    Nếu \(m > 1\) thì \((2) ⇔ x > \dfrac{{m + 2}}{{m - 1}},\) tập nghiệm \(S = \left( {\dfrac{{m + 2}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\)
    Nếu \(m = 1\) thì \((2) ⇔ 0.x > 3,\) tập nghiệm \(S = ∅.\)
    Nếu \(m < 1\) thì \((2) ⇔ x < \dfrac{{m + 2}}{{m - 1}},\) tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 2}}{{m - 1}}} \right)\)
    c. Biến đổi về dạng
    \(\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right).x \le \left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right)\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right).\)
    Nếu \(\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} > 0\) thì tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;ab + bc + ca} \right].\)
    Nếu \(\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} = 0\) thì tập nghiệm \(S = R.\)
    Nếu \(\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} < 0\) thì tập nghiệm \(S\left[ {ab + bc + ca; + \infty } \right)\)
    d. Biến đổi về dạng \(x\left( {{\rm{a}} + b} \right) < a - b\)
    Nếu \(a + b > 0\) thì \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{a - b}}{{a + b}}} \right)\)
    Nếu \(a + b < 0\) thì \(S = \left( {\dfrac{{a - b}}{{a + b}}; + \infty } \right)\)
    Nếu \(a + b = 0\) và \(a > b\) thì \(S = R\)
    Nếu \(a + b = 0\) và \(a ≤ b\) thì \(S = ∅.\)

    Câu 4.38 trang 108 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Bạn Nam đã giải bất phương trình
    \(\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\) (1)
    Như sau :
    Điều kiện :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right) \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \)
    \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge 1.\)
    Khi đó bất phương trình (1) có dạng
    \(\sqrt {\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\)
    Chia hai vế cho \(\sqrt {{\rm{x}} + 1} > 0,\) ta có
    \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 \ge \sqrt {{\rm{x}} + {\rm{1}}} \)
    Vì x ≥ 1 nên \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} < \sqrt {{\rm{x}} + 1} ,\) do đó \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 < \sqrt {{\rm{x}} + 1} \)
    Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm.
    Theo em, bạn Nam giải đúng hay sai, vì sao ?
    Giải:
    Nhận thấy rằng \(x = -1\) là nghiệm của bất phương trình (1). Do đó bạn Nam giải sai. Sai lầm của bạn Nam ở chỗ :
    Từ \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\)
    (thấy ngay \(x = -1\) là nghiệm của (I) nhưng không là nghiệm của (II)).
    Suy luận đúng là
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \ge 0}\\{A \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{A}} = 0\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A > 0}\end{array}} \right.\)

    Câu 4.39 trang 108 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2mx + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.\)
    Giải:
    Ta có:
    \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2m{x} + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.\)
    \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {1 - 2m} \right)x \le 1 - 4{m^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x > - 3.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
    Nếu \(m < \dfrac{1}{2}\) thì \(\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \le 1 + 2m,\) nên hệ (I) có nghiệm khi \( - 3 < 1 + 2m,\) hay \(m > -2\). Kết hợp với điều kiện \(m < \dfrac{1}{2},\) ta có \( - 2 < m < \dfrac{1}{2}.\)
    Nếu \(m = \dfrac{1}{2}\) thì (1) có dạng \(0.x ≤ 0\) (luôn đúng với mọi x ∈ R), nên hệ (I) luôn có nghiệm \(x > -3.\)
    Nếu \(m > \dfrac{1}{2}\) thì \((1) ⇔ x ≥ 1 + 2m\), nên hệ (I) luôn có nghiệm \(x ≥ 1 + 2m.\)
    Vậy khi \(m > -2\) thì hệ (I) luôn có nghiệm.

    Câu 4.40 trang 108 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{mx + 9 < 3{\rm{x}} + {m^2}}\\{4{x} + 1 < - x + 6}\end{array}} \right.\)
    Giải:
    Hệ vô nghiệm khi \(-2 ≤ m ≤ 3.\)