Câu 4.41 trang 109 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét dấu của các biểu thức sau bằng cách lập bảng: a. \(\left( {3{x} - 1} \right)\left( {{x} + 2} \right)\) b. \(\dfrac{{2 - 3{x}}}{{5{x} - 1}}\) c. \(\left( { - x + 1} \right)\left( {{x} + 2} \right)\left( {3{x} + 1} \right)\) d. \(2 - \dfrac{{2 + {x}}}{{3{x} - 2}}\) Giải: a. \(\left( {3{x} - 1} \right)\left( {{x} + 2} \right) > 0\) khi \(x < - 2\) hoặc \(x > \dfrac{1}{3};\) \(\left( {3{x} - 1} \right)\left( {{x} + 2} \right) < 0\) khi \( - 2 < x < \dfrac{1}{3}\). b. \({{2 - 3x} \over {5x - 1}} > 0\) khi \({1 \over 5} < x < {2 \over 3}\) \({{2 - 3x} \over {5x - 1}} < 0\) khi \(x < {1 \over 5}\) hoặc \(x > {2 \over 3}.\) c. Lập bảng sau : Vậy \(\left( { - x + 1} \right)\left( {{x} + 2} \right)\left( {3{x} + 1} \right) < 0\) khi \( - 2 < x < - {1 \over 3}\) hoặc \(x > 1;\) d. Ta có: \(2 - \dfrac{{2 + {x}}}{{3{x} - 2}} = \dfrac{{5{x} - 6}}{{3{x} - 2}}.\) Lập bảng sau : Vậy \(2 - {{2 + x} \over {3x - 2}} < 0\) khi \({2 \over 3} < x < {6 \over 5}\) \(2 - {{2 + x} \over {3x - 2}} > 0\) khi \(x < {2 \over 3}\) hoặc \(x > {6 \over 5}.\) Câu 4.42 trang 109 SBT Đại số 10 Nâng cao. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử rồi xét dấu mỗi đa thức ấy : a. \(9{{x}^2} - 1\) b. \( - {x^3} + 7{x} - 6\) c. \({x^3} + {{x}^2} - 5{x} + 3\) d. \({x^2} - x - 2\sqrt 2 \) Giải: a. \(9{{x}^2} - 1 = \left( {3{x} + 1} \right)\left( {3{x} - 1} \right).\) Lập bảng xét dấu và nhận được \(9{{x}^2} - 1 < 0\) khi \( - \dfrac{1}{3} < x < \dfrac{1}{3};\) \(9{{x}^2} - 1 > 0\) khi \(x < - \dfrac{1}{3}\) hoặc \(x > \dfrac{1}{3}.\) b. \( - {x^3} + 7{x} - 6 = - \left( {{x} - 1} \right)\left( {{x} - 2} \right)\left( {{x} + 3} \right).\) Lập bảng xét dấu và nhận được \(- {x^3} + 7x - 6 < 0\) khi \( - 3 < x < 1\) hoặc \(x > 2;\) \( - {x^3} + 7x - 6 > 0\) khi \(x < - 3\) hoặc \(1 < x < 2.\) c. \({x^3} + {x^2} - 5x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 3} \right)\) \({x^3} + {x^2} - 5x + 3 < 0\) khi \(x < - 3;\) \({x^3} + {x^2} - 5x + 3 > 0\) khi \(x > - 3\) và \(x \ne 1.\) d. \({x^2} - x - 2\sqrt 2 = \left( {x - {{1 - \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2}} \right)\left( {x - {{1 + \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2}} \right)\) \({x^2} - x - 2\sqrt 2 < 0\) khi \({{1 - \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2} < x < {{1 + \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2};\) \({x^2} - x - 2\sqrt 2 > 0\) khi \(x < {{1 - \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2}\) hoặc \(x > {{1 + \sqrt {1 + 8\sqrt 2 } } \over 2}.\) Câu 4.43 trang 109 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét dấu các biểu thức sau : a. \(\dfrac{1}{{3 - x}} - \dfrac{1}{{3 + {x}}}\) b. \(\dfrac{{{{x}^2} - 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} - 9}}\) c. \(\dfrac{{{{x}^2} + 4{x} + 4}}{{{x^4} - 2{{x}^2}}}\) d. \(\dfrac{{\left| {x + 1} \right| - 1}}{{{x^2} + {x} + 1}}\) Giải: a. Biến đổi biểu thức về dạng \(\dfrac{{2{x}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + {x}} \right)}}.\) Học sinh tự lập bảng xét dấu. Kết quả được biểu thức dương khi \(x < -3\) hoặc \(0 < x < 3\) ; biểu thức âm khi \(-3 < x < 0\) hoặc \(x > 3.\) b. \(\dfrac{{{{x}^2} - 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} - 9}} = \dfrac{{\left( {{x} - 2} \right)\left( {{x} - 4} \right)}}{{\left( {{x} - 1} \right)\left( {{x} + 9} \right)}}\). Lập bảng xét dấu sau : Vậy \(\dfrac{{{{x}^2} - 6{\rm{x}} + 8}}{{{x^2} + 8{x} - 9}} < 0\) khi \(x \in \left( { - 9;1} \right) \cup \left( {2;4} \right)\) \(\dfrac{{{{x}^2} - 6{x} + 8}}{{{x^2} + 8{x} - 9}} > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 9} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) c. Biến đổi biểu thức về dạng \(\dfrac{{{{\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}^2}}}{{{x^2}\left( {{{\rm{x}}^2} - 2} \right)}}.\) Từ đó, biểu thức đã cho sẽ dương khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 2; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) và sẽ âm khi \(x \in \left( { - \sqrt 2 ;0} \right) \cup \left( {0;\sqrt 2 } \right).\) d. Ta có \(\dfrac{{\left| {x + 1} \right| - 1}}{{{x^2} + {x} + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x}}{{{x^2} + {x} + 1}}\,khi\,x \ge - 1}\\{\dfrac{{ - x - 2}}{{{x^2} + {x} + 1}}\,khi\,x < - 1}\end{array}} \right.\) Dấu của biểu thức trên hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của tử thức (vì \({x^2} + {x} + 1 > 0\) với mọi x). Vì vậy : \({{\left| {x + 1} \right| - 1} \over {{x^2} + x + 1}} < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;0} \right)\) và \({{\left| {x + 1} \right| - 1} \over {{x^2} + x + 1}} > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).\) Câu 4.44 trang 109 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các bất phương trình sau : a. \(\left( { - \sqrt 2 x + 2} \right)\left( {{x} + 1} \right)\left( {2{x} - 3} \right) > 0\) b. \(\dfrac{{ - 4{x} + 1}}{{3{x} + 1}} \le - 3\) Giải: a. Tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ;\dfrac{3}{2}} \right)\) b. Biến đổi bất phương trình về dạng \(\dfrac{{5{x} + 4}}{{3{x} + 1}} \le 0\) Tập nghiệm \(S = \left[ { - \dfrac{4}{5}; - \dfrac{1}{3}} \right).\) Câu 4.45 trang 109 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các phương trình sau : a. \(\left| {5 + {x}} \right| + \left| {x - 3} \right| = 8\) b. \(\left| {{x^2} - 5{x} + 6} \right| = {x^2} - 5{x} + 6\) c. \(\left| {2{x} - 1} \right| = x + 2\) d. \(\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 1} \right| = 5\) Giải: a. Dựa vào tính chất \(\left| a \right| + \left| b \right| = \left| {a - b} \right| \Leftrightarrow ab \le 0,\) và để ý rằng \(\left( {5 + x} \right) - \left( {x - 3} \right) = 8\) ta có \(\begin{array}{l}\left| {5 + x} \right| + \left| {x - 3} \right| = 8\\ \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {x - 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 5 \le x \le 3.\end{array}\) Chú ý. Học sinh có thể giải bằng cách chia thành các khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối nhưng lời giải sẽ dài hơn. b. Dựa vào tính chất \(\left| a \right| = a \Leftrightarrow a \ge 0,\) ta có \(\eqalign{& \left| {{x^2} - 5x + 6} \right| = {x^2} - 5x + 6 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0 \cr} \) \(\Leftrightarrow x \le 2\) hoặc \(x \ge 3.\) c. Ta có \(\left| {2x - 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1\,\,khi\,\,x \ge \dfrac{1}{2}}\\{1 - 2x\,\,khi\,\,x < \dfrac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Nếu \(x \ge \dfrac{1}{2}\) thì \(\left| {2x - 1} \right| = x + 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 2 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ge \dfrac{1}{2}\)). Nếu \(x < \dfrac{1}{2}\) thì \(\left| {2x - 1} \right| = x + 2 \Leftrightarrow 1 - 2x = x + 2 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện \(x < \dfrac{1}{2}\)). Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{3};3} \right\}\) d. Tập nghiệm \(S = \left\{ { - 3;2} \right\}.\) Câu 4.46 trang 109 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các bất phương trình sau : a. \(\left| {3{x} - 5} \right| < 2\) b. \(\left| {\dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right| \ge 2\) c. \(\left| {x - 2} \right| > 2{x} - 3\) d. \(\left| {x + 1} \right| \le \left| x \right| - x + 2\) Giải: a. \(\left| {3x - 5} \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < 3x - 5 < 2 \Leftrightarrow 1 < x < \dfrac{7}{3}.\) b. \(\left| {\dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right| \ge 2 \Leftrightarrow \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}} \ge 2\) hoặc \(\dfrac{{2 - x}}{{x + 1}} \le - 2\) • Trường hợp \(\dfrac{{2 - x}}{{x + 1}} \ge 2 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3x}}{{x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 < x \le 0.\) • Trường hợp \(\dfrac{{2 - x}}{{x + 1}} \le - 2 \Leftrightarrow \dfrac{{4 + x}}{{x + 1}} \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le x < - 1.\) Vậy tập nghiệm \(S = \left( { - 4; - 1} \right) \cup \left( { - 1;0} \right].\) c. Phân chia hai trường hợp \(x \ge 2\) và \(x < 2.\) Tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{5}{3}} \right).\) d. Ta có \(\left| {x + 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1\,\,khi\,\,x \ge - 1}\\{ - x - 1\,\,khi\,\,x < - 1;}\end{array}} \right.\) \(\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\,\,khi\,\,x \ge 0}\\{ - x\,\,khi\,\,x < 0.}\end{array}} \right.\) Gọi bất phương trình đã cho là (1). • Nếu \(x < -1\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - x - 1 \le - x - x + 2 \Leftrightarrow x \le 3.\) Kết hợp với điều kiện \(x < -1\), ta được \( x < -1.\) • Nếu \(-1 ≤ x < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 1 \le - x - x + 2 \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{3}\) Kết hợp với điều kiện \(-1 ≤ x < 0\), ta được \(-1 ≤ x ≤ 0.\) • Nếu \(x ≥ 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 1 \le x - x + 2 \Leftrightarrow x \le 1.\) Kết hợp điều kiện \(x ≥ 0\), ta được \(0 ≤ x ≤ 1.\) Vậy tập nghiệm của (1) là \(S = \left( { - \infty ;1} \right]\)
