Câu 4.53 trang 111 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét dấu của các tam thức bậc hai: a. \(2{{ {x}}^2} + 2{ {x}} + 5\) b. \( - {x^2} + 5{ {x}} - 6\) c. \(2{{{x}}^2} + 2{ {x}}\sqrt 2 + 1\) d. \( - 4{{ {x}}^2} - 4{ {x}} + 1\) e. \(\sqrt 3 {x^2} + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)x + 1\) f. \({x^2} + \left( {\sqrt 5 - 1} \right)x - \sqrt 5 \) g. \( - 0,3{{ {x}}^2} + { {x}} - 1,5\) h. \({x^2} - \left( {\sqrt 7 - 1} \right)x + \sqrt 3 \). Giải: a. Tam thức đã cho có \(a = 2 > 0\) và biệt thức \(∆’ = 1 – 10 = -9 < 0,\) nên tam thức luôn dương. b. Tam thức đã cho có \(a = -1\) và biệt thức \(∆ = 1 > 0,\) và có hai nghiệm \({x_1} = 2,{x_2} = 3.\) Suy ra tam thức dương trong khoảng \((2 ; 3)\) và âm trong các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\,\left( {3; + \infty } \right).\) c. Tam thức đã cho có \(a = 2\), biệt thức \(∆ = 0\) nên tam thức dương với mọi \(x \ne - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) d. Tam thức đã cho có \(a = -4;\) biệt thức \(∆’ = 8 > 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2},{x_2} = \dfrac{{\sqrt 2 - 1}}{2},\) nên tam thức dương trong khoảng \(\left( { - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2 - 1}}{2}} \right)\) và âm trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right)\) và \(\,\left( {\dfrac{{\sqrt 2 - 1}}{2}; + \infty } \right)\) e. Tam thức đã cho có \(a = \sqrt 3 \) và biệt thức \(\Delta = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2} - 4\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} > 0,\) tam thức có hai nghiệm \({x_1} = - 1,{x_2} = - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\) Suy ra tam thức dương trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\) và âm trong khoảng \(\left( { - 1;\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right).\) Chú ý. Nhận xét \(a – b + c = 0\) nên tam thức có hai nghiệm \({x_1} = - 1,{x_2} = - \dfrac{c}{a} = - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\) Từ đó áp dụng định lí về dấu tam thức. f. Tam thức có \(a = 1\) và \(a + b + c = 0\), nên tam thức có hai nghiệm \({x_1} = - \sqrt 5 ,{x_2} = 1.\) Suy ra tam thức luôn dương trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right),\left( {1; + \infty } \right)\) và âm trong khoảng \(\left( { - \sqrt 5 ;1} \right).\) g. Tam thức đã cho có \(a = -0,3 < 0\), biệt thức \(∆ = -0,8 < 0,\) nên tam thức luôn âm với mọi \(x\). h. Tam thức đã cho có \(a = 1,\) \(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {\sqrt 7 - 1} \right)^2} - 4\sqrt 3 = 8 - 2\sqrt 7 - 4\sqrt 3 \\ = 2\left( {2 - \sqrt 7 } \right) + 4\left( {1 - \sqrt 3 } \right) < 0.\end{array}\) Nên tam thức luôn dương với mọi \(x\). Câu 4.54 trang 111 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét dấu của các biểu thức: a. \(\dfrac{{x - 7}}{{4{{ {x}}^2} - 19{ {x + 12}}}}\) b. \(\dfrac{{11{ {x}} + 3}}{{ - {x^2} + 5{ {x}} + 7}}\) c. \(\dfrac{{3{ {x}} - 2}}{{{x^3} - 3{{ {x}}^2} + 2}}\) d. \(\dfrac{{{x^2} + 4{ {x}} - 12}}{{\sqrt {6{{ {x}}^2}} + 3{ {x}} + \sqrt 2 }}\) e. \(\dfrac{{{x^2} - 3{ {x}} - 2}}{{ - {x^2} + x - 1}}\) f. \(\dfrac{{{x^3} - 5{ {x}} + 4}}{{{x^4} - 4{x^3} + 8{ {x}} - 5}}\) Giải: a. Đặt \(A\left( x \right) = \dfrac{{x - 7}}{{4{x^2} - 19x + 12}}.\) Tam thức \(4{x^2} - 19x + 12\) có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{3}{4},{x^2} = 4.\) Lập bảng xét dấu \(A(x)\) : Từ bảng xét dấu ta thu được \(A(x) > 0\) trong các khoảng \(\left( {\dfrac{3}{4};4} \right)\) và \(\left( {7; + \infty } \right)\) và \(A(x) < 0\) trong các khoảng \(\left( { - \infty ;\dfrac{3}{4}} \right)\) và \(\,\left( {4;7} \right).\) b. Đặt \(B\left( x \right) = \dfrac{{11x + 3}}{{ - {x^2} + 5x - 7}}.\) Tam thức \( - {x^2} + 5x - 7\) có a = -1 < 0 và biệt thức \(∆ = -3 < 0\) nên tam thức luôn luôn âm với mọi \(x\). Suy ra \(B(x) > 0\) \( \Leftrightarrow 11x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < - \dfrac{3}{{11}}\) và \(B\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 11x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{3}{{11}}.\) c. Đặt \(C\left( x \right) = \dfrac{{3x - 2}}{{{x^3} - 3{x^2} + 2}} = \dfrac{{3x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)}}.\) Lập bảng xét dấu (HS tự lập), ta thu được : \(C(x) > 0\) trong các khoảng \(\left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } \right),\left( {\dfrac{2}{3};1} \right)\) và \(\,\left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right).\) \(C(x) < 0\) trong các khoảng \(\left( {1 - \sqrt 3 ;\dfrac{2}{3}} \right)\) và \(\,\left( {1;1 + \sqrt 3 } \right).\) d. Đặt \(D\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 4x - 12}}{{\sqrt 6 {x^2} + 3x + \sqrt 2 }}.\) Ta thấy tam thức \(\sqrt 6 {x^2} + 3x + \sqrt 2 > 0\) với mọi \(x\), nên dấu của \(D(x)\) cùng dấu với dấu của tam thức \({x^2} + 4x - 12.\) Suy ra \(D(x) > 0\) trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 6} \right)\) và \(\,\left( {2; + \infty } \right),\) \(D(x) < 0\) trong khoảng \((-6 ; 2)\). e. Đặt \(E\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 3x - 2}}{{ - {x^2} + x - 1}}.\) Ta thấy \( - {x^2} + x - 1 < 0\) với mọi \(x\), nên \(E(x)\) trái dấu với dấu tam thức \({x^2} - 3x - 2.\) Suy ra : \(E(x) > 0\) trong khoảng \(\left( {\dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2};\dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \right).\) \(E(x) < 0\) trong các khoảng \(\left( { - \infty ;\dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2}} \right)\) và \(\,\left( {\dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}; + \infty } \right).\) f. Đặt \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} - 5x + 4}}{{{x^4} - 4{x^3} + 8x - 5}}\) \(= \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - 2x - 5} \right)}}.\) Lập bảng xét dấu (Học sinh tự lập) ta thu được : \(F(x) > 0\) trong các khoảng \(\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2};1 - \sqrt 6 } \right),\left( {1;\dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)\) và \(\,\left( {1 + \sqrt 6 ; + \infty } \right).\) \(F(x) < 0\) trong các khoảng \(\left( { - \infty ;\dfrac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2}} \right),\) \(\left( {1 - \sqrt 6 ;1} \right),\) \(\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2};1 + \sqrt 6 } \right).\) Câu 4.55. trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: a. \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - \dfrac{1}{3} = 0;\) b. \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0;\) c. \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2} = 0;\) d. \(\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 3 - 2m = 0.\) Giải: a. Ta có biệt thức \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3}.\) Xét tam thức \(f\left( m \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3},\) có \(a = 1\) và biệt thức \(\Delta ' = - \dfrac{4}{3} < 0\) nên \(f(m) > 0\) với mọi m. Vậy phương trình luôn có nghiệm. Chú ý: Ta có thể xét \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) \) \(= {\left( {m - 1} \right)^2} + \dfrac{4}{3} \ge \dfrac{4}{3}.\) b. Ta có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right)\) \(= {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình luôn luôn có nghiệm. Chú ý : Ta có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai để làm bài tập này, học sinh tự làm. c. Ta có \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {\dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2}} \right)\) \(= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình này luôn có nghiệm. d. *) Nếu \(m = 1\) phương trình có nghiệm \(x = -1.\) *) Nếu \(m ≠ 1\) ta có \(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {3 - 2m} \right)\\ = 17{m^2} - 32m + 16\\ = {m^2} + 16{\left( {m - 1} \right)^2} > 0,\end{array}\) Nên phương trình luôn có nghiệm. Tóm lại với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm. Câu 4.56. trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào: a.\(\left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2 = 0\) b. \(\dfrac{1}{2}{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0\) c. \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 2{m^2} - 7m + 10 = 0\) d. \({x^2} - \left( {\sqrt 3 m - 1} \right)x + {m^2} - \sqrt 3 m + 2 = 0\). Giải: a. Ta có \(\Delta ' = 4{m^2} - 2\left( {2{m^2} + 1} \right) = - 2 < 0,\) nên phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m. b. Ta có \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + m + 1} \right)\) \(= - {m^2} - 1 < 0,\) nên phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m. c. Ta có \(\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {2{m^2} - 7m + 10} \right)\) \(= - {m^2} + m - 1.\) Xét tam thức \(f\left( m \right) = - {m^2} + m - 1,\) có \(a = -1\) và \(∆ = -3\) nên \(f(m) < 0\) với mọi m. Suy ra phương trình luôn vô nghiệm. d. Ta có \(\Delta = {\left( {\sqrt 3 m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - \sqrt 3 m + 2} \right)\) \(= - {m^2} + 2\sqrt 3 m - 7 = - {\left( {m - \sqrt 3 } \right)^2} - 4 < 0\) nên phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m. Câu 4.57 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương: a.\({x^2} - 4{ {x + }}m - 5\) b.\({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8\,m + 1\) c. \({x^2} + 4{ {x}} + {\left( {m - 2} \right)^2}\) d. \(\left( {3m + 1} \right){x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + m + 4.\) Giải: a. Ta có \(\Delta ' = 4 - \left( {m - 5} \right) = 9 - m\) và tam thức có \(a = 1 > 0\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta ' = 9 - m < 0 \Leftrightarrow m > 9.\) b. Tam thức đã cho có biệt thức \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) \) \(= {m^2} - 28m= m\left( {m - 28} \right)\) và \(a = 1\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi: \(\Delta = m\left( {m - 28} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28.\) c. Ta có \(\Delta ' = 4 - {\left( {m - 2} \right)^2} = - {m^2} + 4m\) và hệ số \(a = 1\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta = - {m^2} + 4m < 0 \Leftrightarrow m > 4\) hoặc \(m < 0\). d. *) Nếu \(3m + 1 = 0\) thì \(m = - \dfrac{1}{3}.\) Khi đó biểu thức luôn dương với mọi \(x\). *) Nếu \(m \ne - \dfrac{1}{3}\) thì tam thức đã cho có biệt thức \(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m + 1} \right)^2} - 4\left( {m + 4} \right)\left( {3m + 1} \right)\\ = \left( {3m + 1} \right)\left( { - m - 15} \right)\\ = - 3{m^2} - 46m - 15\\ = - \left( {3{m^2} + 46m + 15} \right).\end{array}\) Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\eqalign{& \left\{ \matrix{a = 3m + 1 > 0 \hfill \cr \Delta < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > {{ - 1} \over 3} \hfill \cr \left( {3m + 1} \right)\left( {m + 15} \right) > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( * \right) \cr} \) \(\Leftrightarrow m > - {1 \over 3}\) hoặc \(m < - 15\) Kết hợp với (*) suy ra \(m > - \dfrac{1}{3}.\) Tóm lại với \(m \ge - \dfrac{1}{3}\) thì biểu thức luôn dương với mọi \(x\). Câu 4.58 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm: a.\(\left( {m - 4} \right){x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m - 1\) b.\(\left( {m + 2} \right){x^2} + 5{ {x}} - 4\) c. \(m{x^2} - 12{ {x}} - 5\) d. \( - {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1 - {m^{2.}}\) Giải: a. *) Khi \(m = 4\) dễ thấy biểu thức không luôn luôn âm với mọi \(x\). *) Khi \(m ≠ 4\), để tam thức luôn âm vứoi mọi x, điều kiện cần và đủ là : \(\left\{ \matrix{m - 4 < 0 \hfill \cr \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\left( {2m - 1} \right) < 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\left( * \right)\) Ta có \(\Delta = - 7{m^2} + 38m - 15,\Delta < 0\) khi và chỉ khi \(m < \dfrac{3}{7}\) hoặc \(m > 5\). Kết hợp với (*), suy ra \(m < \dfrac{3}{7}.\) b. *) Khi \(m = -2\), biểu thức đã cho trở thành \(5x – 4\). Biểu thức này không thể luôn luôn âm với mọi \(x\). Vậy \(m = -2\) không thỏa mãn. *) Khi \(m ≠ -2\) thì tam thức luôn âm khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{m + 2 < 0 \hfill \cr \Delta = 25 + 16\left( {m + 2} \right) < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - {{57} \over {16}}.\) c. Biểu thức luôn âm khi và chỉ khi \(m < - \dfrac{{36}}{5}.\) d. Biểu thức luôn âm khi và chỉ khi \( - \dfrac{5}{3} < m < - 1.\)
