Câu 4.59 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các bất phương trình: a. \(2{{ {x}}^2} - 7{ {x}} - 15 \ge 0\) b. \(12{x^2} - 17{ {x - 105 < 0}}\) c. \(x\left( {{ {x}} + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)\) d.\(2{\left( {x + 2} \right)^2} - 3,5 \ge 2{ {x}}\) e. \(\dfrac{1}{3}{x^2} - 3{ {x}} + 6 < 0\) Giải: a. Xét tam thức \(f\left( { {x}} \right) = 2{{ {x}}^2} - 7{ {x}} - 15\) có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta = 49 + 120 = 169 = {13^2}\) nên tam thức có hai nghiệm \({x_1} = - \dfrac{3}{2},{x_2} = 5.\) Do đó bất đẳng thức có tập nghiệm là : \(\left( { - \infty \dfrac{{ - 3}}{2}} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\) b. Nghiệm bất phương trình là \( - \dfrac{7}{3} < x < \dfrac{{15}}{4}.\) c. Tập nghiệm bất phương trình là \(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right).\) d. Bất phương trình được biến đổi thành \({\left( {2{ {x}} + 3} \right)^2} \ge 0\) nên tập nghiệm là số thực R. e. Nghiệm bất phương trình là \(3 < x < 6.\) Câu 4.60 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các bất phương trình : a. \(\dfrac{{2{ {x}} - 5}}{{{x^2} - 6{ {x}} - 7}} < \dfrac{1}{{x - 3}}\) b. \(\dfrac{{{x^2} - 5{ {x + 6}}}}{{{x^2} + 5{ {x}} + 6}} \ge \dfrac{{x + 1}}{x}\) c. \(\dfrac{2}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} \ge \dfrac{{2{ {x}} - 1}}{{{x^3} + 1}}\) d. \(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} \le 0.\) Giải: a. Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình : \(\begin{array}{l}\dfrac{{2{ {x}} - 5}}{{{x^2} - 6{ {x}} - 7}} - \dfrac{1}{{x - 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2{ {x}} - 5} \right)\left( {{ {x}} - 3} \right) - \left( {{{ {x}}^2} - 6{ {x}} - 7} \right)}}{{\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{ {x}}^2} - 5{ {x}} + 22}}{{\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right)}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Tam thức \({x^2} - 5{ {x}} + 22\) có \(a = 1 > 0,\) \(\Delta = - 63 < 0,\) nên \(\,{x^2} - 5{ {x}} + { {22 > 0}}\) với mọi \(x\). Suy ra (*) tương đương với \(\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right) < 0.\) Lập bảng xét dấu : Từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là : \(T = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3;7} \right)\) b. Bất phương trình được biến đổi tương đương thành : \(\dfrac{{11{{ {x}}^2} + 5{ {x}} + 6}}{{x\left( {{{ {x}}^2} + 5{ {x}} + 6} \right)}} \le 0.\) Suy ra tập nghiệm là : \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 2;0} \right).\) c. Bất phương trình được biến đổi tương đương với : \(\dfrac{{\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{{ {x}}^2} - x + 1} \right)}} \ge 0.\) Suy ra tập nghiệm là : \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;2} \right]\) d. Bất phương trình được biến đổi tương đương với : \(\dfrac{{{x^2} + { {x}} - 1}}{{\left( {{ {x}} - 1} \right)\left( {{ {x}} + { {1}}} \right)x}} \le 0.\) Suy ra tập nghiệm là : \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right] \cup \left( { - 1;0} \right) \cup \left[ {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};1} \right)\). Câu 4.61 trang 113 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm các giá trị nguyên không âm của x thỏa mãn bất phương trình: \(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \dfrac{1}{{x + 2}} < \dfrac{{2{ {x}}}}{{2{ {x}} - {x^2}}}.\) Giải: Bất phương trình được biến đổi thành \(\dfrac{{2{ {x}} + 9}}{{\left( {{ {x}} - 2} \right)\left( {{ {x}} + 2} \right)}} < 0\), với \(x ≠ 0\). Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{9}{2}} \right) \cup \left( { - 2;0} \right) \cup \left( {0;2} \right).\) Do đó, giá trị nguyên không âm của x thỏa mãn bất phương trình là \(x = 1\). Câu 4.62 trang 113 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các bất phương trình: a.\(\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - x - 2} \ge 0\) b.\(\dfrac{{\sqrt { - {x^2} + x + 6} }}{{2{ {x + 5}}}} \ge \dfrac{{\sqrt { - {x^2} + x + 6} }}{{x - 4}}.\) Giải: a. Nhận xét \(x = -1\) và \(x = 2\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - x - 2 = 0.\) Nếu \(x ≠ -1\) và \(x ≠ 2\) thì bất phương trình tương đương với hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{{x^2} - x - 2 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x < - 1\,\,\,hoặc\,\,\,x > 2.}\end{array}} \right.\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 1} \right\}.\) b. \(T = \left[ { - 2;3} \right].\) Câu 4.63 trang 113 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trực số: a. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2{ {x}} - 3 > 0\\{x^2} - 11{ {x}} + 28 \ge 0\end{array} \right.\) b. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - \dfrac{1}{4} > 0\\ - 2{{ {x}}^2} + 5{ {x}} - 3 > 0\end{array} \right.\) c.\(\left\{ \begin{array}{l}3{{ {x}}^2} - 4{ {x}} + 1 > 0\\3{{ {x}}^2} - 5{ {x}} + 2 \le 0\end{array} \right.\) d.\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8{ {x}} + 7 < 0\\{x^2} - 8{ {x}} + 20 > 0.\end{array} \right.\) Giải: a. Phương trình \({x^2} - 2{ {x}} - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = - 1;{x_2} = 3.\) Suy ra bất phương trình \({x^2} - 2{ {x}} - 3 > 0\) có tập nghiệm là : \({S_1} = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\) Phương trình \({x^2} - 11{ {x}} + 28 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = 4;{x_2} = 7.\) Suy ra bất phương trình \({x^2} - 11{ {x}} + 28 \ge 0\) có nghiệm là : \({S_2} = \left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right).\) Nghiệm của hệ bất phương trình là giao của hai tập nghiệm \({S_1}\) và \({S_2}\), tức là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3;4} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right).\) Biểu diễn trên trục số : b. \(1 < x < \dfrac{3}{2}.\) c. Bất phương trình vô nghiệm. d. \(1< x < 7.\) Câu 4.64 trang 113 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ bất phương trình và biểu hiện tập nghiệm của chúng trên trục số: a. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{ {x}} - 5 < 0\\{x^2} - 6{ {x}} + 8 > 0\\2{ {x}} - 3 \ge 0\end{array} \right.\) b. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 12{ {x}} - 64 < 0\\{x^2} - 8{ {x + 15 > 0}}\\ - \dfrac{3}{4} \le x \le \dfrac{{13}}{2}.\end{array} \right.\) Giải: a. Phương trình \({x^2} - 4{ {x}} - 5 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = - 1;{x_2} = 5,\) nên bất phương trình \({x^2} - 4{ {x}} - 5 < 0\) có tập nghiệm \({S_1} = \left( { - 1;5} \right).\) Phương trình \({x^2} - 6{ {x}} + 8 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = 4,\) nên bất phương trình \({x^2} - 6{ {x}} + 8 > 0\) có tập nghiệm \({S_2} = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).\) Nghiệm của bất phương trình \(2{ {x}} - 3 \ge 0\) là \({S_3} = \left[ {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\) Suy ra nghiệm của hệ là giao của ba tập \({S_1},{S_2},{S_3},\) tức là \(S = {S_1} \cap {S_2} \cap {S_3} = \left[ {\dfrac{3}{2};2} \right) \cup \left( {4;5} \right).\) Biểu diễn trên trục số : b. \(S = \left[ { - \dfrac{3}{4};3} \right) \cup \left( {5;\dfrac{{13}}{2}} \right].\) Biểu diễn trên trục số : Câu 4.65 trang 113 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm tập xác định của hàm số sau: \(f\left( { {x}} \right) = \sqrt {\dfrac{{3 - 3{ {x}}}}{{ - {x^2} - 2{ {x}} + 15}} - 1} .\) Giải: Tập xác định của hàm số \(y = f(x)\) gồm các giá trị thỏa mãn \(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3 - 3{ {x}}}}{{ - {x^2} - 2{ {x}} + 15}} - 1 \ge 0}\\{ - {x^2} - 2{ {x}} + 15 \ne 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3 - 3{ {x}} - 15 + 2{ {x}} + {{ {x}}^2}}}{{ - \left( {{{ {x}}^2} + 2{ {x}} - 15} \right)}} \ge 0}\\{{x^2} - 2{ {x}} + 15 \ne 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{{ {x}}^2} - x - 12}}{{{x^2} + 2{ {x}} - 15}} \le 0}\\{{x^2} + 2{ {x}} - 15 \ne 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {{ {x}} + 3} \right)\left( {{ {x}} - 4} \right)}}{{\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 5} \right)}} \le 0}\\{{x^2} + 2{ {x}} - 15 \ne 0.}\end{array}} \right.\end{array}\) Đặt \(P\left( { {x}} \right) = \dfrac{{\left( {{ {x}} + 3} \right)\left( {{ {x}} - 4} \right)}}{{\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 5} \right)}}\) Lập bảng xét dấu \(P(x)\) : Từ bảng xét dấu suy ra tập xác định của hàm số \(f(x)\) là : \(\left( { - 5; - 3} \right] \cup \left( {3;4} \right].\) Câu 4.66 trang 113 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình: a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 3{ {x}} - 4 \le 0}\\{\left( {m - 1} \right)x - 2 \ge 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm ; b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 10{ {x}} + 16 \le 0}\\{m{ {x}} \ge 3m + 1}\end{array}} \right.\) vô nghiệm. Giải: a. Phương trình \({x^2} - 3{ {x}} - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = - 1,{x_2} = 4,\) nên bất phương trình \({x^2} - 3{ {x}} - 4 \le 0\) có tập nghiệm là \({S_1} = \left[ { - 1;4} \right].\) Xét bất phương trình \(\left( {m - 1} \right)x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x \ge 2.\) (1) *) Nếu \(m – 1 = 0\) thì bất phương trình trên vô nghiệm. *) Nếu \(m – 1 > 0 ⇔ m > 1\) thì bất phương trình (1) có tập nghiệm là \({S_2} = \left[ {\dfrac{2}{{m - 1}}; + \infty } \right).\) Để hệ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \) tức là \(\dfrac{2}{{m - 1}} \le 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le m - 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2},\) thỏa mãn điều kiện m > 1. Vậy \(m \ge \dfrac{3}{2}.\) *) Nếu \(m – 1 < 0 ⇔ m < 1\) thì bất phương trình (1) có tập nghiệm là \({S_3} = \left( { - \infty ;\dfrac{2}{{m - 1}}} \right].\) Để hệ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là \({S_1} \cap {S_3} \ne \emptyset \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m - 1}} \ge - 1\) \(\Leftrightarrow - \left( {m - 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 1.\) Thỏa mãn điều kiện \(m < 1\). Vậy \(m ≤ -1\). Tóm lại các giá trị của m để hệ có nghiệm là \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\) b. Tập hợp các giá trị m thỏa mãn bài toán là : \(\left( { - \dfrac{1}{{11}}; + \infty } \right).\) Câu 4.67 trang 113 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có nghiệm: a. \(2{{ {x}}^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 3 + 4m + {m^2} = 0;\) b. \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x - m + 2 = 0\) Giải: a. \( - 2 - \sqrt 2 \le m \le - 2 + \sqrt 2 .\) b. Nếu \(m = 1\), phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{8}\) Nếu \(m ≠ 1\), để phương trình có nghiệm điều kiện cần và đủ là : \(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 3m + 11 \ge 0.\end{array}\) Ta thấy tam thức \(f\left( m \right) = 2{m^2} + 3m + 11\) có \(a = 2 > 0\) và \(∆ = -79 < 0\) nên \(f(m) > 0\) với mọi \(m\). Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\). Câu 4.68 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng mọi giá trị x: a. \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3m - 3 \ge 0;\) b. \(\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 < 0;\) c. \(\dfrac{{{{ {x}}^2} - 8{ {x}} + 20}}{{m{{ {x}}^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 9m + 4}} < 0;\) d. \(\dfrac{{3{{ {x}}^2} - 5{ {x}} + 4}}{{\left( {m - 4} \right){x^2} + \left( {1 + m} \right)x + 2m - 1}} > 0.\) Giải: a. \(m ≥ 1.\) b. Không tồn tại m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\). c. Ta thấy tam thức \({x^2} - 8{ {x}} + { {20}}\) có \(a = 1 > 0, ∆’ = 16 – 20 = -4 < 0.\) Suy ra \({x^2} - 8{ {x}} + 20 > 0\) với mọi \(x\). Do đó bài toán trở thành tìm các giá trị m để bất phương trình \(m{{ {x}}^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 9m + 4 < 0\left( * \right)\) đúng với mọi \(x\). Nếu \(m = 0\) bất phương trình (*) trở thành \(2x + 4 < 0\), bất phương trình chỉ nghiệm đúng với \(x < -2\), nên \(m = 0\) không thỏa mãn. Nếu \(m ≠ 0\). Để bất phương trình (*) đúng với mọi x thì điều kiện cần và đủ là : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{\Delta ' = {{\left( {m + 1} \right)}^2} - m\left( {9m + 4} \right) < 0.}\end{array}} \right.\) Ta thấy tam thức \(\Delta ' = - 8{m^2} - 2m + 1\) có hai nghiệm là \({m_1} = - \dfrac{1}{2},{m_2} = \dfrac{1}{4}\) nên \(\,\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\) hoặc \(m > \dfrac{1}{4}.\) Kết hợp với điều kiện m < 0, suy ra các giá trị cần tìm của m là \(m < - \dfrac{1}{2}.\) d. \(m > 5.\) Câu 4.69 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm các giá trị của m để phương trình: a. \({x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 9m - 5 = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt ; b. \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2m{ {x}} + m + 3 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt. Giải: a. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: \(\eqalign{& \left\{ \matrix{\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {9m - 5} \right) > 0 \hfill \cr {S \over 2} = - \left( {m + 1} \right) < 0 \hfill \cr ac = 9m - 5 > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{m^2} - 7m + 6 > 0 \hfill \cr m > - 1 \hfill \cr m > {5 \over 9} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m > - 1 \hfill \cr m > {5 \over 9} \hfill \cr m > 6\,\,\,hoặc\,\,\,m < 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) \(\Leftrightarrow m > 6\) hoặc \({5 \over 9} < m < 1\) Vậy các giá trị cần tìm của m là \(m \in \left( {\dfrac{5}{9};1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right).\) b. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2;6} \right).\) Câu 4.70 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho phương trình: \(\left( {m - 2} \right){x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m - 1 = 0.\) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình trên có : a. Một nghiệm ; b. Hai nghiệm phân biệt ; c. Bốn nghiệm phân biệt. Giải: a. + Với \(m = 2\), phương trình đã cho trở thành : \( - 6{{ {x}}^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {{ {x}}^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow { {x}} = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\) Phương trình có hai nghiệm, nên không thảo mãn yêu cầu đầu bài. + Với m ≠ 2, đặt \(t = {x^2} \ge 0,\) ta được phương trình \(f\left( t \right) = \left( {m - 2} \right){t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m - 1 = 0. \,\,(*)\) Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thì phương trình (*) hoặc có nghiệm kép \(t = 0\) hoặc có một nghiệm âm, còn nghiệm thứ hai bằng 0. Xét \(t = 0\). Khi đó \(f\left( 0 \right) = 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}.\) Thay \(m = \dfrac{1}{2}\) vào (*) ta được : \(f\left( t \right) = t\left( { - \dfrac{3}{2}t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = - 2.}\end{array}} \right.\) Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm (để phương trình đã cho có một nghiệm). b. \(m = \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2},m \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right].\) Hướng dẫn. Rõ ràng với \(m = 2\) phương trình có hai nghiệm \(x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) . Với \(m ≠ 2.\) Để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thì phương trình (*) hoặc có nghiệm kép dương hoặc có một nghiệm âm và một nghiệm dương. - Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(ac < 0\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {2m - 1} \right) < 0\) hay \(\dfrac{1}{2} < m < 2\) - Phương trình (*) có nghiệm kép dương khi và chỉ khi \(∆’ = 0\) và \( - \dfrac{b}{{2{ {a}}}} > 0.\) \(\begin{array}{l}\Delta ' = - {m^2} + 7m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2};\\ - \dfrac{b}{{2{ {a}}}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} > 0 \Leftrightarrow m < - 1\,hoac\,m > 2.\end{array}\) Chỉ có \(m = \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\) thỏa mãn hai điều kiện trên. c. \(2 < m < \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}.\) Hướng dẫn. Tìm \(m\) để phương trình \(f(t) = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt. Điều kiện cần và đủ là \(∆’ > 0, S > 0\) và \(P > 0.\)
