Sách bài tập Toán 10 - Đại số 10 nâng cao - Chương IV - Bài 8. Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 4.71 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các phương trình:
    a. \(9{ {x}} + \sqrt {3{ {x}} - 2} = 10\)
    b. \(\sqrt { - {x^2} + 2{ {x}} + 4} = x - 2\)
    c. \(\sqrt {{{ {x}}^2} - 2{ {x}} - 3} = 2{ {x}} + 3\)
    d. \(\sqrt {9 - 5{ {x}}} = \sqrt {3 - x} + \dfrac{6}{{\sqrt {3 - x} }}\)
    Giải:
    a. Phương trình được biến đổi thành
    \(3\left( {3{ {x}} - 2} \right) + \sqrt {3{ {x}} - 2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
    Đặt \(t = \sqrt {3{ {x}} - 2} \ge 0,\) khi đó (*) trở thành \(3{t^2} + t - 4 = 0\) Giải ra có hai nghiệm \({t_1} = 1,{t_2} = - \dfrac{4}{3}.\)
    Do \(t ≥ 0,\) nên chỉ lấy \(t = 1.\) Vậy (*) \( \Leftrightarrow \sqrt {3{ {x}} - 2} = 1 \Leftrightarrow { {x}} = 1.\) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)
    b. \(x = 3\).
    Hướng dẫn. Phương trình tương đương với hệ:
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x^2} + 2{ {x}} + 4 = {{\left( {{ {x}} - 2} \right)}^2}}\\{x - 2 \ge 0}\end{array}} \right.\)
    c. \(x = \dfrac{{ - 7 + \sqrt {13} }}{3}.\) Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với hệ
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2{ {x}} - 3 = {{\left( {2{ {x}} + 3} \right)}^2}}\\{2{ {x}} + 3 \ge 0}\end{array}} \right.\)
    d. \(x = -3\).
    Hướng dẫn. Phương trình tương đương với
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\left( {9 - 5{ {x}}} \right)\left( {3 - x} \right)} = 9 - x}\\{x \le \dfrac{9}{5}.}\end{array}} \right.\)

    Câu 4.72 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các phương trình sau:
    a. \(\left( {{ {x}} + 1} \right)\sqrt {16{ {x}} + 17} = \left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {8{ {x}} - 23} \right)\)
    b. \(\dfrac{{21}}{{{x^2} - 4{ {x}} + 10}} - {x^2} + 4{ {x}} - 6 = 0\)
    c. \(\dfrac{{2{ {x}}}}{{2{{ {x}}^2} - 5{ {x}} + 3}} + \dfrac{{13{ {x}}}}{{2{{ {x}}^2} + { {x}} + 3}} = 6\)
    d. \({x^2} + {\left( {\dfrac{{ {x}}}{{x - 1}}} \right)^2} = 1\)
    Giải:
    a. \(x = -1, x = 4.\)
    b. \(x \in \left\{ {1;3} \right\}.\)
    Hướng dẫn. Đặt \({x^2} - 4{ {x}} + 10 = t,t \ne 0.\)
    c. \(x \in \left\{ {\dfrac{3}{4};2} \right\}.\)
    Hướng dẫn. Nhận xét \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình, nên ta chia cả tử và mẫu của vế trái của phương trình cho x ta được phương trình tương đương :
    \(\dfrac{2}{{2{ {x}} + \dfrac{3}{x} - 5}} + \dfrac{{13}}{{2{ {x}} + \dfrac{3}{x} + 1}} = 6.\)
    Phương trình này có dạng \(\dfrac{2}{{y - 5}} + \dfrac{{13}}{{y + 1}} = 6,\)
    Trong đó \(2{ {x}} + \dfrac{3}{x} = y.\) Từ đó giải được \(y = 1\) và \(y = 5,5\)
    d. \(x = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \sqrt 2 \pm \sqrt {2\sqrt 2 - 1} } \right).\)
    Hướng dẫn. Cộng vào hai vế của phương trình biểu thức \(2{ {x}}{ {.}}\dfrac{x}{{x - 1}}.\)
    Từ đó đi đến : \({\left( {\dfrac{{{{ {x}}^2}}}{{x - 1}}} \right)^2} - 2\dfrac{{{{ {x}}^2}}}{{x - 1}} = 1.\)
    Đặt \(t = \dfrac{{{{ {x}}^2}}}{{x - 1}}\) được phương trình \({t^2} - 2t - 1 = 0.\)

    Câu 4.73 trang 115 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các phương trình sau :
    a. \(2{{ {x}}^2} - 3 - 5\sqrt {2{{ {x}}^2} + 3} = 0\)
    b. \(2{{ {x}}^2} + 3{ {x}} + 3 = 5\sqrt {2{{ {x}}^2} + 3{ {x}} + 9} \)
    c. \(9 - \sqrt {81 - 7{{ {x}}^3}} = \dfrac{{{{ {x}}^3}}}{2}\)
    d. \({x^2} + 3 - \sqrt {2{{ {x}}^2} - 3{ {x}} + 2} = \dfrac{3}{2}\left( {{ {x}} + 1} \right).\)
    Giải:
    a. \({x_1} = \sqrt {\dfrac{{33}}{2}} ,{x_2} = - \sqrt {\dfrac{{33}}{2}} .\).
    Hướng dẫn. Phương trình được biến đổi thành
    \(2{{ {x}}^2} + 3 - 5\sqrt {2{{ {x}}^2} + 3} - 6 = 0\) (*)
    Đặt \(t = \sqrt {2{{ {x}}^2} + 3} \ge 0.\) Khi đó (*) trở thành \({t^2} - 5t - 6 = 0\) và có hai nghiệm \({t_1} = - 1,{t_2} = 6.\) Do \(t ≥ 0\), nên chỉ lấy \(t = 6\).
    b. \(x = 3;x = - \dfrac{9}{2}.\)
    Hướng dẫn. Đặt \(t = \sqrt {2{{ {x}}^2} + 3{ {x}} + 9} .\)
    c. \(x = 0 ; x = 2\). Hướng dẫn. Đặt \(t = \sqrt {81 - 7{{ {x}}^3}} \)
    d. \(x = 1;x = \dfrac{1}{2}.\) Hướng dẫn. Đặt \(t = \sqrt {2{{ {x}}^2} - 3{ {x}} + 2} .\)

    Câu 4.74 trang 115 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm tất cả các giá trị x thỏa mãn :
    a. \(\left| {{x^2} + { {x}} - 1} \right| = 2{ {x}} - 1\) và \(x < \dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\)
    b. \(\left| {{x^2} + 2{ {x}} - 4} \right| + 2{ {x}} + 6 = 0\) và \(x + \sqrt {18} < 1\)
    c. \(\left| {x + 3} \right| + {{ {x}}^2} + 3{ {x}} = 0\)
    d. \(\left| {{x^2} - 20{ {x}} - 9} \right| = \left| {3{{ {x}}^2} + 10{ {x}} + 21} \right|\)
    Giải:
    a. \(x = \dfrac{{\sqrt {17} - 3}}{2}.\)
    b. \(x = - 2 - \sqrt 2 \)
    c. \(x \in \left\{ { - 1, - 3} \right\};\)
    d. \(x = \dfrac{{ - 15 \pm \sqrt {165} }}{2}.\)

    Câu 4.75 trang 115 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các phương trình sau :
    a. \({x^2} - \left| {2{ {x}} - 1} \right| = 0\)
    b. \(\left| {{x^2} - 2{ {x}} - 3} \right| = {x^2} - 2{ {x}} + 5\)
    c. \(\left| {2{ {x}} - 3} \right| = \left| {x - 1} \right|\)
    d. \(\left| {{x^2} - 2{ {x}} - 3} \right| = 2\)
    Giải:
    a. Phương trình tương đương với :
    \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - \left( {2{ {x}} - 1} \right) = 0}\\{2{ {x}} - 1 \ge 0}\end{array}} \right.\)
    hoặc \(\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + \left( {2{ {x}} - 1} \right) = 0}\\{2{ {x}} - 1 < 0.}\end{array}} \right.\)
    Giải hệ \(\left( I \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow { {x}} = 1\)
    Giải hệ \(\left( {II} \right)\left\{ \matrix{{x_1} = - 1 - \sqrt 2 ;{x_2} = 1 - + \sqrt 2 \hfill \cr x < {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
    \(\Leftrightarrow x = - 1 - \sqrt 2\) hoặc \(x = - 1 + \sqrt 2 \).
    Vậy phương trình có các nghiệm : x = 1, \(x = - 1 \pm \sqrt 2 .\)
    b. \(x = 1.\)
    Hướng dẫn. Phương trình tương đương với :
    \(\left\{ \matrix{{x^2} - 2x - 3 = {x^2} - 2x + 5 \hfill \cr {x^2} - 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
    hoặc \(\left\{ \matrix{- \left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = {x^2} - 2x + 5 \hfill \cr {x^2} - 2x - 3 < 0. \hfill \cr} \right.\)
    c. \(x = \dfrac{4}{3};x = 2.\) Hướng dẫn. Phương trình tương đương với :
    \({\left( {2{ {x}} - 3} \right)^2} = {\left( {{ {x}} - 1} \right)^2}.\)
    d. \(x = 1 \pm \sqrt 6 ,x = 1 \pm \sqrt 2 .\)
    Hướng dẫn. Phương trình tương đương với :
    \({x^2} - 2{ {x}} - 3 = 2\) hoặc \({x^2} - 2{ {x}} - 3 = - 2.\)

    Câu 4.76 trang 115 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các phương trình sau:
    a. \(\sqrt {{ {x}} + 3 - 4\sqrt {{ {x}} - 1} } + \sqrt {{ {x}} + 8 - 6\sqrt {{ {x}} - 1} } = 1\)
    b. \(\sqrt {{ {x}} + \sqrt {14{ {x}} - 49} } + \sqrt {{ {x}} - \sqrt {14{ {x}} - 49} } = \sqrt {14} \)
    c. \(\left| {2\sqrt {2\left| x \right| - 1} - 1} \right| = 3\)
    d. \(\left| {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right| = - \sqrt 2 \left( {2{{ {x}}^2} - 1} \right)\)
    Giải:
    a. \(5 \le x \le 10.\)
    Hướng dẫn. Đưa phương trình về dạng :
    \(\left| {\sqrt {{ {x}} - 1} - 2} \right| + \left| {\sqrt {{ {x}} - 1} - 3} \right| = 1.\)
    b. \(\dfrac{7}{2} \le x \le 7.\) Hướng dẫn. Phương trình được đưa về dạng :
    \(\left| {\sqrt {14{ {x}} - 49} + 7} \right| + \left| {\sqrt {14{ {x}} - 49} - 7} \right| = 14.\)
    c. \(\left| x \right| = \dfrac{5}{2}.\)
    d. \(x \in \left\{ { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\dfrac{1}{4}\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)} \right\}\).
    Hướng dẫn. Nếu \(x\) nghiệm đúng phương trình thì \( - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \le x \le \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên \(\sqrt {1 - {x^2}} \ge \left| x \right|,\) nghĩa là \(x + \sqrt {1 - {x^2}} \ge 0.\)
    Vậy ta có thể giả thiết \(x \le \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) và phương trình trở thành :
    \(x + \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 2 \left( {1 - 2{{ {x}}^2}} \right).\)
    Mặt khác \(1 - 2{{ {x}}^2} = \left( {\sqrt {1 - {x^2}} + { {x}}} \right)\left( {\sqrt {1 - {x^2}} - x} \right),\) nên ta có thể đưa phương trình đã cho về :
    \(\left( {{ {x}} + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {1 - {x^2}} - x - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 0.\)

    Câu 4.77 trang 115 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các bất phương trình sau:
    a. \(\sqrt { - {x^2} - 8{ {x}} - 12} > x + 4\)
    b. \(\sqrt {5{{ {x}}^2} + 61{ {x}}} < 4{ {x}} + 2\)
    c. \(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {2 - x} + 4{ {x}} - 3}}{x} \ge 2\\\end{array}\)
    d. \(\dfrac{{3\left( {4{{ {x}}^2} - 9} \right)}}{{\sqrt {3{{ {x}}^2} - 3} }} \le 2{ {x}} + 3\)
    Giải:
    a. \( - 6 \le x \le - 4 + \sqrt 2 .\)
    Hướng dẫn. Bất phương trình tương đươngvới hệ :
    \(\left\{ {\matrix{{ - {x^2} - 8x - 12 \ge 0} \cr {x + 4 < 0} \cr} } \right.\)
    hoặc \(\left\{ {\matrix{{ - {x^2} - 8x - 12 > {{\left( {x + 4} \right)}^2}} \cr {x + 4 \ge 0.} \cr} } \right.\)
    b. \(x \in \left[ {0;\dfrac{1}{{11}}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).\)
    Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{ {x}} + 2 > 0}\\{5{{ {x}}^2} + 61{ {x}} \ge 0}\\{5{{ {x}}^2} + 61{ {x}} < {{\left( {4{ {x}} + 2} \right)}^2}.}\end{array}} \right.\)
    c. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left[ {1;2} \right].\)
    Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\{x\left( {\sqrt {2 - x} + 2{ {x}} - 3} \right) \ge 0.}\end{array}} \right.\)
    d. \(x \in \left[ { - \dfrac{3}{2}; - 1} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right].\)
    Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{{ {x}}^2} - 3 > 0}\\{\left( {2{ {x}} + 3} \right)\left[ {3\left( {2{ {x}} - 3} \right) - \sqrt {3{{ {x}}^2} - 3} } \right] \le 0.}\end{array}} \right.\)

    Câu 4.78 trang 115 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các bất phương trình sau:
    a. \(\sqrt {{ {x}} + 3} < 1 - x\)
    b. \(\sqrt { - {x^2} + 6{ {x}} - 5} > 8 - 2{ {x}}\)
    c. \(4\left( {{ {x}} + \dfrac{1}{2}} \right) > \sqrt {5{{ {x}}^2} + 61{ {x}}} \)
    d. \(\sqrt {{{\left( {{{ {x}}^2} - x} \right)}^2}} > x - 2\)
    Giải:
    a. Bất phương trình tương đương với hệ :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 \ge 0}\\{1 - x > 0}\\{x + 3 < {{\left( {1 - x} \right)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 \ge 0}\\{x < 1}\\{{x^2} - 3x - 2 > 0.}\end{array}} \right.\)
    Từ đó suy ra tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ { - 3;\dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2}} \right).\)
    b. \(3 < x < 5\). Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với hệ :
    \(\left\{ {\matrix{{ - {x^2} + 6x - 5 > {{\left( {8 - 2x} \right)}^2}} \cr {8 - 2x \ge 0} \cr} } \right.\)
    hoặc \(\left\{ {\matrix{{ - {x^2} + 6x - 5 \ge 0} \cr {8 - 2x < 0.} \cr} } \right.\)
    c. \(S = \left[ {0;\dfrac{1}{{11}}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).\) Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với hệ :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {4x + 2} \right)}^2} > 5{x^2} + 61x}\\{5{x^2} + 61x \ge 0}\\{4x + 2 > 0.}\end{array}} \right.\)
    d. \(S = R.\)
    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với :
    \(\left| {{x^2} - x} \right| > x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - x > x - 2}\\{{x^2} - x \ge 0}\end{array}} \right.\)
    hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - {x^2} > x - 2}\\{{x^2} - x < 0.}\end{array}} \right.\)

    Câu 4.79 trang 116 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các bất phương trình :
    a. \(\left| {3 - \sqrt {{ {x}} + 5} } \right| > x\)
    b. \(7\left| {4 - \sqrt {{ {x}} + 9} } \right| > x - 9\)
    c. \(x + 13 + \left| {24 - 6\sqrt {6 - x} } \right| > 0\)
    d. \(\sqrt {{ {x}}\left( {{ {x}} + 6} \right) + 9} - \sqrt {{{ {x}}^2} - 6{ {x}} + 9} > 1\)
    Giải:
    a. * Nếu \(-5 ≤ x < 0\) bất phương trình luôn luôn đúng.
    * Xét \(x ≥ 0.\)
    Nếu \(3 < \sqrt {x + 5} \) tức là \(x > 4\), bất phương trình đã cho tương đương với \(\sqrt {x + 5} > x + 3.\) Không có x thỏa mãn bất phương trình này.
    Nếu \(3 \ge \sqrt {x + 5} \) tức là x ≤ 4, bất phương trình đã cho tương đương với \(3 - x > \sqrt {x + 5} \)
    \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 3}\\{9 - 6x + {x^2} > x + 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 3}\\{{x^2} - 7x + 4 > 0}\end{array}} \right.\)
    \(\Leftrightarrow x < \dfrac{{7 - \sqrt {33} }}{2}.\)
    Kết hợp ta có : \( - 5 \le x < \dfrac{{7 - \sqrt {33} }}{2}.\)
    b. \(x \in \left[ { - 9;16} \right).\)
    c. Bất phương trình đã cho tương đương với
    \(\left| {24 - 6\sqrt {6 - x} } \right| > - x - 13.\) (1)
    Điều kiện của bất phương trình là \(x ≤ 6.\)
    * Nếu \(– x – 13 < 0\) tức là \(x > -13\), bất phương trình luôn luôn nghiệm đúng.
    Vậy mọi \(x \in \left( { - 13;6} \right]\) là nghiệm của bất phương trình.
    * Với \(x ≤ -13,\) ta có \(\sqrt {6 - x} > \sqrt {16} = 4\) nên \(24 - 6\sqrt {6 - x} < 0.\)
    Do đó
    \(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 6\sqrt {6 - x} - 24 > - x - 13\\ \Leftrightarrow 6\sqrt {6 - x} > - x + 11\\ \Leftrightarrow 36\left( {6 - x} \right) > {x^2} - 22x + 121\\ \Leftrightarrow {x^2} + 14x - 95 < 0\\ \Leftrightarrow - 19 < x < 5.\end{array}\)
    Vậy trong trường hợp đang xét, mọi \(x \in \left( { - 19; - 13} \right]\) là nghiệm của bất phương trình.
    Kết luận :
    Tập nghiệm là \(S = \left( { - 13;6} \right] \cup \left( { - 19; - 13} \right] = \left( { - 19;6} \right].\)
    d. \(x > \dfrac{1}{2}.\) Hướng dẫn. Bất phương trình được viết thành:
    \(\left| {x + 3} \right| - \left| {x - 3} \right| > 1.\)

    Câu 4.80 trang 116 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các bất phương trình sau :
    a. \(\left( {{{ {x}}^2} + { {x}} + 1} \right)\left( {{{ {x}}^2} + { {x}} + 3} \right) \ge 15\)
    b. \(\left( {{ {x}} + 4} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right) - 3\sqrt {{{ {x}}^2} + 5{ {x}} + 2} < 6\)
    c. \({x^2} - 4{ {x}} - 6 \ge \sqrt {2{{ {x}}^2} - 8{ {x}} + 12} \)
    Giải:
    a. Đặt \(t = {x^2} + x + 2,t > 0.\) Khi đó bất phương trình trở thành :
    \(\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) \ge 15 \Leftrightarrow {t^2} \ge 16.\) (*)
    Do \(t > 0\) nên nghiệm của bất phương trình (*) là \(t ≥ 4\). Suy ra
    \(\eqalign{& {x^2} + x + 2 \ge 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 \ge 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x \ge 1\) hoặc \(x \le - 2\)
    Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
    \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).\)
    b. \(S = \left( { - 7; - \dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{2}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt {17} - 5}}{2};2} \right)\)
    Hướng dẫn. đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 8x + 12} \ge 0.\)

    Câu 4.81 trang 116 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các bất phương trình sau :
    a. \(\left( {{ {x}} - 3} \right)\sqrt {{{ {x}}^2} + 4} \le {x^2} - 9\)
    b. \(\dfrac{{9{{ {x}}^2} - 4}}{{\sqrt {5{{ {x}}^2} - 1} }} \le 3{ {x}} + 2\)
    Giải:
    a. Bất phương trình tương đương với \(\left( {x - 3} \right)\left[ {\sqrt {{x^2} + 4} - \left( {x + 3} \right)} \right] \le 0.\) Từ đó tập nghiệm cần tìm là hợp các tập nghiệm của hai hệ bất phương trình sau :
    \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \ge 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4} \le x + 3}\end{array}} \right.\)
    \(\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \le 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4} \ge x + 3.\left( * \right)}\end{array}} \right.\)
    Giải hệ (I) : \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{{x^2} + 4 \le {x^2} + 6x + 9}\end{array}} \right.\)
    \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{x \ge - \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 3.\) (1)
    Giải hệ (II) : Ta xét hai trường hợp :
    - Trường hợp \(x ≤ -3\) : Dễ thấy mọi \(x ≤ -3\) là nghiệm.
    - Trường hợp \(x > -3\) : Ta có
    \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4 \ge {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow x \le - \dfrac{5}{6}.\) Vậy trong trường hợp này, hệ (II) có nghiệm là \( - 3 < x \le - \dfrac{5}{6}.\)
    Do đó (II) \( \Leftrightarrow x \le - \dfrac{5}{6}.\) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :
    \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right).\)
    b. \(S = \left[ { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\dfrac{5}{2}} \right).\)
    Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với hệ
    \(\left\{ \begin{array}{l}9{{ {x}}^2} - 4 \le \left( {3{ {x}} + 2} \right)\sqrt {5{{ {x}}^2} - 1} \\5{{ {x}}^2} - 1 > 0\end{array} \right.\)

    Câu 4.82 trang 116 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Đối với mỗi giá trị của tham số m, hãy xác định số nghiệm của phương trình:
    \(\sqrt {2\left| x \right| - {x^2}} = m\)
    Giải:
    Với \(m < 0\) : Phương trình vô nghiệm
    Với \(m = 0\) : Phương trình có ba nghiệm \(x = 0 ; x = ±2.\)
    Với \(m > 0\) : Phương trình tương đương với
    \(\left| {{x^2}} \right| - 2\left| x \right| + {m^2} = 0.\) (1)
    Xét phương trình \({y^2} - 2y + {m^2} = 0\) (2)
    Có \(\Delta ' = 1 - {m^2}.\)
    - Nếu \(m > 1\) thì (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm.
    - Nếu \(m = 1\) thì (2) có nghiệm \(y = 1\) nên (1) có hai nghiệm \(x = ±1.\)
    - Nếu \(0 < m < 1\) thì (2) có hai nghiệm dương
    \({y_1} = 1 + \sqrt {1 - {m^2}} ,{y_2} = 1 - \sqrt {1 - {m^2}} \)
    Suy ra (1) có bốn nghiệm phân biệt
    \(\begin{array}{l}{x_{1,2}} = \pm \left( {1 + \sqrt {1 - {m^2}} } \right)\\{x_{3,4}} = \pm \left( {1 - \sqrt {1 - {m^2}} } \right).\end{array}\)