Bài 1.20 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Tìm giá trị của m sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau: a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \) b) \(\overrightarrow a = \overrightarrow { - b} \) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) c) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\) d) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\) e) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \) g) \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \) h) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \) Gợi ý làm bài a) \(\vec a = \vec b \Rightarrow m = 1\) b) \(\vec a = - \vec b \Rightarrow m = - 1\) c) \(\vec a,\vec b\) cùng hướng \( \Rightarrow m > 0\) và \(\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{20} \over 5} = 4\) Vậy m = 4. d) \(\vec a,\vec b\) ngược hướng \( \Rightarrow m < 0\) và \(\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {5 \over {15}} = {1 \over 3}\) Vậy \(m = - {1 \over 3}\) e) \(\eqalign{ & \vec a = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = 0 \cr & \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {0 \over {\left| {\vec b} \right|}} = 0 \Rightarrow m = 0 \cr} \) g) \(\vec b = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = 0 \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{\left| {\vec a} \right|} \over 0}\) => không tồn tại m. h) \(\vec a = \vec b = \vec 0 \Rightarrow \) mọi giá trị của m đều thỏa mãn. Bài 1.21 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Chứng minh rằng: a) Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) và \(m \ne 0\) thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) c) Nếu \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \ne 0\) thì m = n Gợi ý làm bài a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\) và \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. Ta có \(\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {m\overrightarrow b } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\) do đó \(\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right|\) \(m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \) cùng hướng . Vậy \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right| = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\) vì \(m \ne 0\) \(m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \) cùng hướng => \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng. Vậy \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) c) \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow a = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {n\overrightarrow a } \right| = > \left| m \right| = \left| n \right|\) vì \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) \(m\overrightarrow a ,n\overrightarrow a \) cùng hướng => m và n cùng dấu. Vậy m = n. Bài 1.22 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Chứng minh rằng tổng của n véc tơ \(\overrightarrow a \) bằng \(n\overrightarrow a \) (n là số nguyên dương). Gợi ý làm bài \(\overrightarrow a + \overrightarrow a + ... + \overrightarrow a = (1 + 1 + ... + 1)\overrightarrow a = n\overrightarrow a \) Bài 1.23 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm của tam giác ABC. Gợi ý làm bài \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \) (I là trung điểm của BC) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI} \) Từ đó suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng, trong đó GA = 2GI, G nằm giữa A và I. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 1.24 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm. Gợi ý làm bài Gọ G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'. Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \) \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \) \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \) Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} \) Do đó, nếu \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \) hay G = G' Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm thì \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \) Bài 1.25 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Dựng các vec tơ: a) \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b \) b) \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \) c) \( - \overrightarrow a + {1 \over 2}\overrightarrow b\) Gợi ý làm bài (Xem h.1. 45) Hãy vẽ trường hợp \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \) Bài 1.26 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a. a) Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AD} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} \) b) Tính độ dài của vec tơ \({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \) theo a. Gợi ý làm bài (Xem h.1.46) a) \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} = 2(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AF} ) = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AF} \) b) \({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}\) \( = > \left| {{1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} } \right| = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} = {1 \over 2}a\sqrt 3 = {{a\sqrt 3 } \over 2}\) Bài 1.27 trang 33 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC có trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \) (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) Gợi ý làm bài (h.1.47) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có tứ giác AFME là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \) Có thể chứng minh cách khác như sau: Vì M là trung điểm của BC nên \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) Hay \(\overrightarrow {AM} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\) \( = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \) Bài 1.28 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AK} \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) Gợi ý làm bài (h.1.48) \(\overrightarrow {AK} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} )\) \( = {1 \over 2}({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {2 \over 3}\overrightarrow {AC} )\) \( = {1 \over 4}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} \) Bài 1.29 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. Dựng \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {CA} \) a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B'C' b) Chứng minh các đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy Gợi ý làm bài a) \(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {CA} \) => Tứ giác ACBC' là hình bình hành => \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {CB} \) \(\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \) =>A là trung điểm của B'C' b) Vì tứ giác ACBC' là hình bình hành nên CC' chứa trung tuyến của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh C. Tương tự như vậy với AA', BB'. Do đó AA', BB', CC' đồng quy tại trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 1.30 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho $$CI = {1 \over 4}CA$$, J là điểm mà \(\overrightarrow {BJ} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} - {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \) a) Chứng minh \(\overrightarrow {BI} = {3 \over 4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng. c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài. Gợi ý làm bài (Xem h.1.50) a) \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = - \overrightarrow {AB} + {3 \over 4}\overrightarrow {AC} \) b) \({2 \over 3}\overrightarrow {BI} = {2 \over 3}\left( { - \overrightarrow {AB} + {3 \over 4}\overrightarrow {AC} } \right) = - {2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \) Vậy \(\overrightarrow {BJ} = {2 \over 3}\overrightarrow {BI}\) B, J, I thẳng hàng. c) Học sinh tự dựng điểm J. Bài 1.31 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \) Gợi ý làm bài (h.1.51) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \) ( Vì O là trung điểm của AC) \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \) ( Vì O là trung điểm của BD) Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \) Bài 1.32 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ} \) Gợi ý làm bài (h.1.52) \(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ}\) \(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DJ} \) Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được \(\eqalign{ & 2\overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} ) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + (\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} ) \cr & = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \cr} \) Bài 1.33 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Gợi ý làm bài (h.1.53) Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP. Khi đó \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \) Ta có: \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \) \( = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} ) + \overrightarrow {AC} + (\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} )\) \(\overrightarrow { = AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \) (Vì \(\overrightarrow {NM} = {1 \over 2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CA}\) nên \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {CA} \)) Vậy \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0 \) Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ. Bài 1.34 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. a)Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \) b)Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) Gợi ý làm bài (Xem h.1.54) a) \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \) K là trọng tâm của tam giác ABC. b) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow M C = \overrightarrow 0 \) (I là trung điểm của AB) Hay \(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \) M là trung điểm của IC. Bài 1.35 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. b) Chứng minh: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} \); \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \); \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \). c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \) Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G? Gợi ý làm bài (Xem h.1.55) a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên \(BD \bot AB,DC \bot AC\) Ta có \(CH \bot AB,BH \bot AC\) nên suy ra CH // BD và BH // DC. Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành. b) Vì O là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} (1)\) Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \). Vậy từ (1) suy ra: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} (2)\) Theo quy tắc ba điểm, từ (2) suy ra \(\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \) Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} (3)\) c) G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \) Từ (3) suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \) Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng. Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.
