Sách bài tập Toán 10 - Hình học 10 cơ bản - Chương II - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 2.1 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Với giá trị nào của góc \(\alpha ({0^0} \le \alpha \le {180^0})\) thì:
    a) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) cùng dấu?
    b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) khác dấu?
    c) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu?
    d) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) khác dấu?
    Gợi ý làm bài
    a) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) cùng dấu khi: \({0^0} < \alpha < {90^0}\)
    b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) khác dấu khi: \({90^0} < \alpha < {180^0}\)
    c) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) cùng dấu khi: \({0^0} < \alpha < {90^0}\)
    d) \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \) khác dấu khi: \({90^0} < \alpha < {180^0}\)

    Bài 2.2 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Tính giá trị lượng giác của các góc sau đây:
    a) \({120^0}\)
    b) \({150^0}\)
    c) \({135^0}\)
    Gợi ý làm bài
    a)
    \(\eqalign{
    & \sin {120^0} = {{\sqrt 3 } \over 2};cos{120^0} = - {1 \over 2}; \cr
    & \tan {120^0} = - \sqrt 3 ;\cot {120^0} = - {1 \over {\sqrt 3 }} \cr}\)
    b)
    \(\eqalign{
    & \sin {150^0} = {1 \over 2};\cos {150^0} = - {{\sqrt 3 } \over 2}; \cr
    & \tan {150^0} = - {{\sqrt 3 } \over 3};cot{150^0} = - \sqrt 3 \cr} \)
    c)
    $\(\eqalign{
    & \sin {135^0} = {{\sqrt 2 } \over 2};\cos {135^0} = - {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr
    & \tan {135^0} = - 1;\cot {135^0} = - 1 \cr} \)

    Bài 2.3 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Tính giá trị của biểu thức:
    a) \(2\sin {30^0} + 3\cos {45^0} - \sin {60^0}\)
    b) \(2\cos {30^0} + 3\sin {45^0} - \cos {60^0}\)
    Gợi ý làm bài
    a) \(2.{1 \over 2} + 3.{{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 3} = 1 + {{3\sqrt 2 - \sqrt 3 } \over 3}\)
    b) \(2.{{\sqrt 3 } \over 2} + 3.{{\sqrt 2 } \over 2} - {1 \over 2} = {{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 - 1} \over 2}\)

    Bài 2.4 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Rút gọn biểu thức:
    a) \(4{a^2}{\cos ^2}{60^0} + 2ab.{\cos ^2}{180^0} + {4 \over 3}{b^2}\cos {60^0}\)
    b) \((a\sin {90^0} + b\tan {45^0})(a\cos {0^0} + b\cos {180^0})\)
    Gợi ý làm bài
    a) \(\eqalign{
    & 4{a^2}.{1 \over 4} + 2ab.1 + {4 \over 3}{b^2}.{3 \over 4} \cr
    & = {a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2} \cr} \)
    b) \(\eqalign{
    & (a.1 + b.1)(a.1 + b.( - 1)) \cr
    & = (a + b)(a - b) = {a^2} - {b^2} \cr} \)

    Bài 2.5 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Hãy tính và so sánh giá trị của từng cặp biểu thức sau đây:
    a) \(A = {\cos ^2}{30^0} - {\sin ^2}{30^0}\) và \(B = \cos {60^0} + \sin {45^0}\)
    b) \(C = {{2\tan {{30}^0}} \over {1 - {{\tan }^2}{{30}^0}}}\) và \(D = ( - \tan {135^0}).tan{60^0}\)
    Gợi ý làm bài
    a) \(A = \cos _{}^230_{}^ \circ - \sin _{}^230_{}^ \circ = {1 \over 2}\)
    và \(B = \cos 60_{}^ \circ + \sin 45_{}^ \circ = {{1 + \sqrt 2 } \over 2}\)
    Vậy A<B.
    b) \(C = {{2\tan 30_{}^o} \over {1 - \tan _{}^230_{}^o}} = \tan (30_{}^o + 30_{}^o) = \tan 60_{}^o = \sqrt 3 \)
    \(D = ( - \tan 135_{}^o).tan60_{}^o = \tan 45_{}^o.\tan 60_{}^o = \sqrt 3 \)
    Vậy C = D

    Bài 2.6 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Cho \(\sin \alpha = {1 \over 4}\) với \({90^0} < \alpha < {180^0}\). Tính \(\cos \alpha \) và \(\tan \alpha \)
    Gợi ý làm bài
    Ta có: \(\left| {\cos \alpha } \right| = \sqrt {1 - \sin _{}^2\alpha } = \sqrt {1 - \left( {{1 \over 4}} \right)_{}^2} = {{\sqrt {15} } \over 4}\)
    Do
    \(\eqalign{
    & 90_{}^o < \alpha < 180_{}^o \Rightarrow \cos \alpha < 0 \cr
    & \Rightarrow \cos \alpha = - {{\sqrt {15} } \over 4} \cr
    & \Rightarrow \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - {{\sqrt {15} } \over {15}} \cr} \)

    Bài 2.7 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Cho \(\cos \alpha = - {{\sqrt 2 } \over 4}\). Tính \(\sin \alpha \) và \(\tan \alpha \)
    Gợi ý làm bài
    Vì \(\cos \alpha < 0\) nên \(90_{}^o < \alpha < 180_{}^o \Rightarrow \sin \alpha > 0\)
    \(\eqalign{
    & \sin \alpha = \sqrt {1 - \cos _{}^2\alpha } = \sqrt {1 - \left( { - {{\sqrt 2 } \over 4}} \right)_{}^2} = {{\sqrt {14} } \over 4} \cr
    & \Rightarrow \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - \sqrt 7 \cr} \)

    Bài 2.8 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Cho \(\tan \alpha = \sqrt 2 \) với \({0^0} < \alpha < {90^0}\). Tính \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \)
    Gợi ý làm bài
    Do \(0_{}^o < \alpha < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha > 0\)
    \(\eqalign{
    & \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + \tan _{}^2\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + (2\sqrt 2 )_{}^2} }} = {1 \over 3} \cr
    & \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{2\sqrt 2 } \over 3} \cr} \)

    Bài 2.9 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Biết \(\tan \alpha = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {{3\sin \alpha - \cos \alpha } \over {\sin \alpha + \cos \alpha }}\)
    Gợi ý làm bài
    Do \(\tan \alpha = \sqrt 2 > 0 \Rightarrow 0_{}^o < \alpha < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha > 0\)
    \(\eqalign{
    & \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + 2} }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
    & \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)
    \(A = {{3\sin \alpha - \cos \alpha } \over {\sin \alpha + \cos \alpha }} = 7 - 4\sqrt 2 \)

    Bài 2.10 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Biết \(\sin \alpha = {2 \over 3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {{3\cot \alpha - \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }}\)
    Gợi ý làm bài
    \({\cot ^2}\alpha = {1 \over {\sin _{}^2\alpha }} - 1 = {1 \over {\left( {{2 \over 3}} \right)_{}^2}} - 1 = {5 \over 4}\)
    \(\eqalign{
    & B = {{\cot \alpha - \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }} = {{\cot \alpha - {1 \over {\cot \alpha }}} \over {\cot \alpha + {1 \over {\cot \alpha }}}} \cr
    & = {{\cot _{}^2\alpha - 1} \over {\cot _{}^2\alpha + 1}} = {{{5 \over 4} - 1} \over {{5 \over 4} + 1}} = {1 \over 9} \cr} \)

    Bài 2.11 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Chứng minh rằng với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) ta có:
    a) \({(\sin x + \cos x)^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)
    b) \({(\sin x - \cos x)^2} = 1 - 2\sin x\cos x\)
    c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
    Gợi ý làm bài
    a)
    \(\eqalign{
    & {(\sin x + \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \cr
    & = 1 + 2\sin x\cos x \cr} \)
    b)
    \(\eqalign{
    & {(\sin x - \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x \cr
    & = 1 - 2\sin x\cos x \cr} \)
    \(\eqalign{
    & c){\sin ^4}x + {\cos ^4}x \cr
    & = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
    & = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
    & = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr} \)

    Bài 2.12 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10.
    Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào \(\alpha \)
    a) \(A = {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha - \cos \alpha )^2}\)
    b) \(B = {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
    Gợi ý làm bài
    a) \(A = {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha - \cos \alpha )^2}\)
    \(= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \)
    = 2
    b) \(B = {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
    \( = ({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha ) - 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
    \( = 1[{\sin ^2}\alpha (1 - {\sin ^2}\alpha ){\rm{]}} - 2{\sin ^2}\alpha + 1 = 0\)