Đề I trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10 Câu 1. (6 điểm) Tam giác ABC có cạnh \(BC = 2\sqrt 3 \), cạnh AC = 2 và \(\widehat C = {30^0}\). a) Tính cạnh AB và sinA; b) Tính diện tích S của tam giác ABC; c) Tính chiều cao \({h_a}\) và trung tuyến \({m_a}\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C \cr & = 12 + 4 - 8\sqrt 3 .cos{30^0} \cr} \) \({c^2} = 4 = > c = 2\) hay AB = 2. \(\sin A = {{a\sin C} \over c} = {{2\sqrt 3 .{1 \over 2}} \over 2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) b) \(S = {1 \over 2}ab\sin C = {1 \over 2}.2\sqrt 3 .2.{1 \over 2} = \sqrt 3 \) c) \({h_a} = {{2S} \over a} = {{2\sqrt 3 } \over {2\sqrt 3 }} = 1,{m_a} = 1\) Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh BC, AC và AB có độ dài lần lượt là a = 3, b = 4, c = 6. a) Tính cô sin của góc lớn nhất của tam giác ABC; b) Tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất. Gợi ý làm bài a)Cạnh c lớn nhất suy ra góc C lớn nhất \(\cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} = {{9 + 16 - 36} \over {24}} = {{ - 11} \over {24}}\) b) \({h_a} = {{2S} \over c} = {{ab\sin C} \over c} = {{3.4.\sqrt {455} } \over {6.24}} = {{\sqrt {455} } \over {12}}\) Đề II trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10Câu 1. (6 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\) b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) với I là trung điểm của BC; c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) \(\eqalign{ & = > B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} \cr & = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = {{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \over 2}\) \(= > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\) b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {IB} \) \( = > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = A{I^2} - I{B^2} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) (I là trung điểm của BC) c) Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\) \( \Leftrightarrow (M{A^2} - G{A^2}) + (M{B^2} - G{B^2}) + (M{C^2} - G{C^2}) = 3M{G^2}\) \( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {GA)} (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {GB} )(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {GC} )(\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{[}}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ){\rm{]}} = 3M{G^2}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow 0 ) = 3M{G^2}\) \(\Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}\) (đúng) Vậy đẳng thức được chứng minh. Câu 2. ( 4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại. Gợi ý làm bài *Gọi \(C({x_C};{y_C})\), ta có: \(\overrightarrow {BC} = ({x_C} - 3;{y_C});\overrightarrow {AB} = (2;1)\) Vì ABCD là hình vuông => \(\left\{ \matrix{ AB \bot BC \hfill \cr AB = BC \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ 2{x_C} - 6 + {y_C} = 0 \hfill \cr {({x_C} - 3)^2} + y_C^2 = 5 \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & = > \left\{ \matrix{ {y_C} = 6 - 2{x_C} \hfill \cr {({x_C} - 3)^2} + 36 - 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 \hfill \cr} \right. \cr & = > \left\{ \matrix{ {y_C} = 2 \hfill \cr {x_C} = 2 \hfill \cr} \right. \vee \left\{ \matrix{ {y_C} = - 2 \hfill \cr {x_C} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \) *Gọi \(D({x_D};{y_D})\) Với C(2;2) => \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} - 2 = - 2 \hfill \cr {y_D} - 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ {x_D} = 0 \hfill \cr {y_D} = 1 \hfill \cr} \right.\) Với C(4;-2) => \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} - 4 = - 2 \hfill \cr {y_D} + 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ {x_D} = 2 \hfill \cr {y_D} = - 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3). Đề III trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10 Câu 1. (8 điểm) Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15. a)Tính diện tích tam giác ABC; b)Tính cosB, góc B nhọn hay tù? c)Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác; d)Tính độ dài trung tuyến \({m_b}\) Gợi ý làm bài a) Dùng công thức Hê – rông để tính diện tích tam giác ABC, ta có \(p = {1 \over 2}(13 + 14 + 15) = 21\) \(\eqalign{ & S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \cr & = \sqrt {21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = 84 \cr} \) b) \(\cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} = {{{{13}^2} + {{15}^2} - {{14}^2}} \over {2.13.15}} = {{33} \over {65}}\) cosB > 0 nên góc B nhọn. c) Ta có \(S = {{abc} \over {4R}} = > R = {{abc} \over {4S}} = {{13.14.15} \over {4.84}} = {{65} \over 8}\) Ta có: \(S = p.r = > r = {S \over p} = {{84} \over {21}} = 4\) d) \(m_b^2 = {{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} \over 4} = {{2({{13}^2} + {{15}^2}) - {{14}^2}} \over 4} = 148\) Vậy \({m_b} = \sqrt {148} = 2\sqrt {37} \) Câu 2. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gợi ý làm bài I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ IA = IB \hfill \cr IA = IC \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = {(x - 2)^2} + {y^2} \hfill \cr {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = {(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 6x - 4y = - 1 \hfill \cr 4x + 2y = - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {{11} \over {14}} \hfill \cr y = - {{13} \over {14}} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(I\left( { - {{11} \over {14}}; - {{13} \over {14}}} \right)\)
