Bài 1 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, biết đỉnh A(1 ; 1) và tọa độ trọng tâm G(1 ; 2). Cạnh AC và đường trung trực của nó lần lượt có phương trình là x + y - 2 = 0 và - x + y - 2 = 0. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. a) Hãy tìm tọa độ các điểm M và N. b) Viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và BC. Gợi ý làm bài (h.3.28) a) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AM} = {3 \over 2}\overrightarrow {AG} \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_M} - 1 = {3 \over 2}(1 - 1) \hfill \cr {y_M} - 1 = {3 \over 2}(2 - 1) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_M} = 1 \hfill \cr {y_M} = {5 \over 2}. \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy M có tọa độ là \(\left( {1;{5 \over 2}} \right)\) Điểm N(x ; y) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ x + y = 2 \hfill \cr - x + y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = 2. \hfill \cr} \right.\) b) \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {NM} \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_B} - 1 = 2(1 - 0) \hfill \cr {y_B} - 1 = 2\left( {{5 \over 2} - 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_B} = 3 \hfill \cr {y_B} = 2. \hfill \cr} \right. \cr} \) Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua hai điểm A(1 ;1) và B(3 ; 2) nên có phương trình : x - 2y + 1=0. Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua hai điểm B(3 ; 2) và $M\left( {1;{5 \over 2}} \right)$ nên có phương trình: x + 4y - 11 = 0. Bài 2 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có \(AB = AC,\,\widehat {BAC} = {90^ \circ }\). Biết M(1 ; -1) là trung điểm cạnh BC và \(G\left( {{2 \over 3};0} \right)\) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Gợi ý làm bài (h.3.29) \(\eqalign{ & \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_A} - 1 = 3\left( {{2 \over 3} - 1} \right) \hfill \cr {y_A} + 1 = 3(0 + 1) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_A} = 0 \hfill \cr {y_A} = 2. \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy A có tọa độ (0 ; 2). Đặt B(x ; y) ta có : \(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {MA} \hfill \cr M{B^2} = M{A^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {x - 1} \right)\left( {0 - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {2 + 1} \right) = 0 \hfill \cr {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1 + 9 \hfill \cr} \right. \cr} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3y + 4 \hfill \cr {(3y + 3)^2} + {(y + 1)^2} = 10 \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3y + 4 \hfill \cr {(3y + 3)^2} + {(y + 1)^2} = 10 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3y + 4 \hfill \cr 10{y^2} + 20y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ y = 0,x = 4 \hfill \cr y = - 2,x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy ta có tọa độ của điểm B và C như sau : B(4 ; 0), C(-2 ; -2) hoặc B(-2 ; -2), C(4 ; 0). Bài 3 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho ba điểm A(1 ; 2), B(-3 ; 1), C(4 ; -2). a) Chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x;y) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\) là một đường tròn. b) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn nói trên. Gợi ý làm bài a) \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 12x - 10y - 5 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 66.\) Vậy tập hợp các điểm M là một đường tròn. b) Tâm là điểm (-6 ; 5) bán kính bằng \(\sqrt {66} \) Bài 4 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hai điểm A(3 ; -1), B(-1 ; -2) và đường thẳng d có phương trình x + 2y + 1 = 0 a) Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC là tam giác cân tại C. b) Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác AMB vuông tại M. Gợi ý làm bài a) Đặt C(x ; y), ta có : \(C \in d \Leftrightarrow x = - 2y - 1\). Vậy C( - 2y - 1;y). Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi CA = CB \( \Leftrightarrow C{A^2} = C{B^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {3 + 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} = {\left( { - 1 + 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - y} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {4 + 2y} \right)^2} + {\left( {1 + y} \right)^2} = 4{y^2} + {\left( {2 + y} \right)^2}\) Giải ra ta được \(y = - {{13} \over {14}}.\) \(x = - 2\left( {{{ - 13} \over {14}}} \right) - 1 = {{13} \over 7} - 1 = {6 \over 7}.\) Vậy C có tọa độ là \(\left( {{6 \over 7}; - {{13} \over {14}}} \right)\) b) Xét điểm M( - 2t - 1;t) trên d, ta có : \(\widehat {AMB} = {90^ \circ } \Leftrightarrow A{M^2} + B{M^2} = A{B^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {4 + 2t} \right)^2} + {\left( {1 + t} \right)^2} + 4{t^2} + {\left( {2 + t} \right)^2} = 17\) \( \Leftrightarrow 10{t^2} + 22t + 4 = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} + 11t + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - {1 \over 5} \hfill \cr t = - 2. \hfill \cr} \right.\) Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là \({M_1}\left( { - {3 \over 5}; - {1 \over 5}} \right)\) và \({M_2}\left( {3; - 2} \right)\) Bài 5 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (T) có phương trình: \({x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 3 = 0\) a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (T). b) Tìm m để đường thẳng y = x + m có điểm chung với đường tròn (T). c) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với đường tròn (T) biết rằng \(\Delta \) vuông góc vơi đường thẳng d có phương trình \x - y + 2006 = 0. Gợi ý làm bài a) Đường tròn (T) có tâm là điểm (2 ; 1) và có bán kính bằng \(\sqrt 2 \) b) Đường thẳng \(l:x - y + m = 0\). Ta có : \(l\) có điểm chung với (T) \( \Leftrightarrow d(I,l) \le R\) \( \Leftrightarrow {{\left| {2 - 1 + m} \right|} \over {\sqrt 2 }} \le \sqrt 2 \) \(\eqalign{ & \left| {m + 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow - 2 \le m + 1 \le 2 \cr & \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1. \cr} \) c) \(\Delta \bot d\) nên \(\Delta \) có phương trình x + y + c = 0. Ta có : \(\Delta \) tiếp xúc với (T) khi và chỉ khi: \(d(I,\Delta ) = R\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left| {2 + 1 + c} \right|} \over {\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {c + 3} \right| = 2 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c + 3 = 2 \hfill \cr c + 3 = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = - 1 \hfill \cr c = - 5 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy có hai tiếp tuyến với (T) thỏa mãn đề bài là : \({\Delta _1}:x + y - 1 = 0\) \({\Delta _2}:x + y - 5 = 0.\) Bài 6 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\) a) Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E). b) Viết phương trình chính tắc của (E). c) Đường thẳng đi qua tiêu điểm thứ hai của elip (E) và vuông góc với trục Ox và cắt (E) tại hai điểm C và D. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Gợi ý làm bài a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) nên \(c = \sqrt 3 .\) Phương trình chính tăc của (E) có dạng \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\) Ta có : \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\) \( \Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\) Thay vào (1) ta được : \(\eqalign{ & {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr} \) \( \Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\) Suy ra \({a^2} = 4.\) Ta có a = 2 ; b = 1. Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0) (0 ; -1) và (0 ; 1). b) Phương trình chính tắc của (E) là : \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\) c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3 .\) Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta \) và (E) là : \({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \pm {1 \over 2}.\) Suy ra tọa độ của C và D là : \(C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\) Vậy CD = 1. Bài 7 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} - 6x - 6y + 14 = 0\). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng \({60^ \circ }\). Gợi ý làm bài (Xem hình 3.30) Đường tròn (C) có tâm I(3 ; 3) và có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {9 + 9 - 14} = 2\) Điểm M(x;0) thuộc Ox. Từ M kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại A và B. Ta có: \(\widehat {AMB} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {IMB} = {30^ \circ }\) \( \Rightarrow IM = {R \over {\sin {{30}^ \circ }}} = 2R = 4\) \(IM = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9} = 4\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7 \) Vậy có hai điểm M thỏa mãn đề bài, chúng có tọa độ là : \({M_1}\left( {3 + \sqrt 7 ;0} \right)\) và \({M_2}\left( {3 - \sqrt 7 ;0} \right)\) Bài 8 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho đường tròn (C) tâm I(1 ; -2), bán kính R và điểm K(1 ; 3). a) Cho R = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua K; b) Xác định R để từ K vẽ được đến (C) hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) lần lượt tại hai điểm \({M_1},{M_2}\) sao cho diện tích tứ giác \(K{M_1}I{M_2}\) bằng \(2\sqrt 6 \). Gợi ý làm bài (Xem hình 3.31) a) R = 1. Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm K(1 ; 3) và có hệ số góc m. \(\Delta \) có phương trình y = m(x - 1) + 3 \( \Leftrightarrow mx - y + (3 - m) = 0.\) Ta có \(\Delta \) tiếp xúc vơi (C) \( \Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\) \( \Leftrightarrow {{\left| {m + 2 + 3 - m} \right|} \over {\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {5 \over {\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 25\) \( \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 6 \) Vậy qua điểm K có hai tiếp tuyến với (C). Đó là : \({\Delta _1}:y = 2\sqrt 6 \left( {x - 1} \right) + 3\) và \({\Delta _2}:y = - 2\sqrt 6 \left( {x - 1} \right) + 3.\) b) Ta có: \(KI = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 2} \right)}^2}} = 5\) \(K{M_2} = \sqrt {K{I^2} - {R^2}} = \sqrt {25 - {R^2}} .\) Ta có : \({S_{K{M_1}I{M_2}}} = 2\sqrt 6 \) \( \Leftrightarrow 2{S_{I{M_2}K}} = 2\sqrt 6 \) \( \Leftrightarrow I{M_2}.K{M_2} = 2\sqrt 6 \) \( \Leftrightarrow R\sqrt {25 - {R^2}} = 2\sqrt 6 \) \( \Leftrightarrow {R^2}\left( {25 - {R^2}} \right) = 24\) \(\Leftrightarrow {R^4} - 25{R^2} + 24 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {R^2} = 1 \hfill \cr {R^2} = 24 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ R = 1 \hfill \cr R = 2\sqrt 6 \hfill \cr} \right.\) Vậy bán kính đường tròn bằng 1 hoặc \(2\sqrt 6 .\) Bài 9 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({(x - 5)^2} + {(y - 3)^2} = 4\). Và điểm A(1 ; 2), một đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài bằng \(2\sqrt 3 \). Viết phương trình của d. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.32) Đường tròn (C) có tâm I(5 ; 3) và có bán kính R = 2. Gọi H là trung điểm của MN. Ta có \(IH \bot MN\) và \(MH = {{MN} \over 2} = \sqrt 3 \) \(IH = \sqrt {I{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {4 - 3} = 1.\) Phương trình đường thẳng d có dạng : \(y - 2 = k(x - 1) \Leftrightarrow kx - y + 2 - k = 0.\) Ta có IH = 1 \( \Leftrightarrow {{\left| {5k - 3 + 2 - k} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left| {4k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \cr & \Leftrightarrow {\left( {4k - 1} \right)^2} = {k^2} + 1 \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 15{k^2} - 8k = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ k = 0 \hfill \cr k = {8 \over {15}} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy có hai điểm d thỏa mãn đề bài. Đó là \({d_1}:y - 2 = 0\) \(\eqalign{ & {d_2}:y - 2 = {8 \over {15}}\left( {x - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 8x - 15y + 22 = 0. \cr} \) Bài 10 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\). Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là \({F_1},{F_2}\) và M thuộc (E) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^ \circ }\) . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) Gợi ý làm bài (Xem hình 3.33) Elip (E) có phương trình chính tắc: \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\) Ta có : a = 5, b = 3. Suy ra \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16.\) Vậy c = 4. Xét điểm M(x;y) thuộc elip, ta có: \(\left\{ \matrix{ {F_1}M = a + {c \over a}x = 5 + {4 \over 5}x \hfill \cr {F_2}M = a - {c \over a}x = 5 - {4 \over 5}x \hfill \cr} \right.\) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \({F_1}M{F_2}\) ta có: \({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^ \circ }\) \( \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {5 + {4 \over 5}x} \right)^2} + {\left( {5 - {4 \over 5}x} \right)^2} - 2\left( {25 - {{16} \over {25}}{x^2}} \right).{1 \over 2}\) \(\Leftrightarrow 64 = 25 + {{48} \over {25}}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{25} \over {16}}.13 \Leftrightarrow x = \pm {5 \over 4}\sqrt {13} \,\,(1)\) Ta lại có: \(M \in \left( E \right) \Rightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\,\,\,\,\,(2)\) Thay (1) vào phương trình (2) ta được: \({{{y^2}} \over 9} = 1 - {{13} \over {16}} \Leftrightarrow {y^2} = {9 \over {16}}.3 \Leftrightarrow y = \pm {3 \over 4}\sqrt 3 .\) Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài. Chúng có tọa độ là \(\left( { \pm {5 \over 4}\sqrt {13} ; \pm {3 \over 4}\sqrt 3 } \right).\) Bài 11 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm I(2 ; 4), B(1 ; 1), C(5 ; 5). Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.34) Ta có : \(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {10} \) \(\eqalign{ & IC = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{(5 - 4)}^2}} = \sqrt {10} \cr & IB = IC \Rightarrow AB = AC. \cr} \) Gọi M là trung điểm của BC, ta có M(3 ; 3). Phương trình đường thẳng \(IM:x + y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Phương trình đường thẳng \(IB:3x - y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng IB. Đặt N(x;y), ta có tọa độ trung điểm H của MN là \(\left( {{{x + 3} \over 2};{{y + 3} \over 2}} \right).\) \(\overrightarrow {MN} = (x - 3;y - 3)\) \(\overrightarrow {BI} = (1;3)\) Ta có: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BI} = 0 \hfill \cr H \in IB \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 3 + 3(y - 3) = 0 \hfill \cr 3\left( {{{x + 3} \over 2}} \right) - \left( {{{y + 3} \over 2}} \right) - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 3y - 12 = 0 \hfill \cr 3x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 5} \hfill \cr y = {{19} \over 5}. \hfill \cr} \right.\) Vậy \(N\left( {{3 \over 5};{{19} \over 5}} \right).\) Ta có B(1 ; 1). Phương trình đường thẳng BN: 7x + y - 8 = 0. Điểm A là giao của hai đường thẳng BN và IM nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 7x + y - 8 = 0 \hfill \cr x + y - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {1 \over 3} \hfill \cr y = {{17} \over 3} \hfill \cr} \right.\) Vậy tọa độ điểm A là \(\left( {{1 \over 3};{{17} \over 3}} \right).\) Bài 12 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {a > b > 1} \right).\) Một góc vuông uOv (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng \({1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}}\) không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.35) Gọi y = kx và \(y = - {1 \over k}x\) là phương trình của Ou và Ov. Phương trình hoành độ giao điểm của Ou và elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{k^2}{x^2}} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow x_M^2 = {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {k^2}{a^2}}}.\) Ta có : \(\eqalign{ & O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 \cr & = x_M^2 + {k^2}x_M^2 = x_M^2({k^2} + 1) \cr & = {{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})} \over {{b^2} + {k^2}{a^2}}} \cr} \) ............. Suy ra : \({1 \over {O{M^2}}} = {{{b^2} + {k^2}{a^2}} \over {{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}.\) Tương tự: \(\eqalign{ & {1 \over {O{N^2}}} = {{{b^2} + {1 \over {{k^2}}}{a^2}} \over {{a^2}{b^2}\left( {1 + {1 \over {{k^2}}}} \right)}} \cr & = {{{a^2} + {k^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}. \cr} \) Suy ra: \(\eqalign{ & {1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}} \cr & = {{{a^2} + {b^2} + {k^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \over {{a^2}{b^2}\left( {1 + {k^2}} \right)}} \cr & = {{{a^2} + {b^2}} \over {{a^2}{b^2}}}. \cr} \) Vậy \({1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}}\) không đổi. Vẽ đường cao OH của tam giác vuông OMN. Ta có : \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{M^2}}} + {1 \over {O{N^2}}} = {{{a^2} + {b^2}} \over {{a^2}{b^2}}}.\) Suy ra: \(OH = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = R\) không đổi Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâ O bán kính \(R = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) Bài 13 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \((x - 1) + {(y - 2)^2} = 4\) và hai điểm A(1 ; 4), . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.36) Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2. Ta có \({x_A} = {x_1} = {x_B} = 1\) Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1. Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 2 = R\) \(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2} - 2} \right)}^2}} = {3 \over 2} < R.\) Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn. Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d. Ta có: \({{{S_{AMN}}} \over {{S_{IMN}}}} = {{AK} \over {IH}} = {{AB} \over {IB}} = {{{7 \over 2}} \over {{3 \over 2}}} = {7 \over 3}.\) Suy ra \({S_{AMN}} = {7 \over 3}{S_{IMN}}\) \( = {7 \over 3}.{1 \over 2}.I{\rm{I}}\sin MIN\) \( = {{14} \over 3}\sin MIN \le {{14} \over 3}.\) \({S_{AMN}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin MIN = 1 \Leftrightarrow \widehat {MIN} = {90^ \circ }\) \(\Leftrightarrow IH = {{R\sqrt 2 } \over 2} \Leftrightarrow d(I,MN) = \sqrt 2 \) Phương trình đường thẳng MN là : \(y - {1 \over 2} = k(x - 1) \Leftrightarrow 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0.\) Ta có: \(\eqalign{ & d(I,MN) = \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow {{\left| {2k - 4 + 1 - 2k} \right|} \over {\sqrt {4{k^2} + 4} }} = \sqrt 2 \cr} \) \( \Leftrightarrow 3 = \sqrt {8({k^2} + 1)} \Leftrightarrow k = \pm {{\sqrt 2 } \over 4}.\) Vậy phương trình đường thẳng d là : \(y = \pm {{\sqrt 2 } \over 4}\left( {x - 1} \right) + {1 \over 2}\). Bài 14 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật biết tọa độ hai đỉnh đối diện là (1 ; -5) và (6 ; 2), phương trình của một đường chéo là 5x + 7y - 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.37) Đặt A(1 ; -5), C(6 ; 2) và BD có phương trình: 5x + 7y - 7 = 0. Đặt \({x_B} = 7t\) ta có \({y_B} = 1 - 5t.\) Vậy B(7t;1 - 5t). Suy ra: \(\overrightarrow {BA} = \left( {1 - 7t; - 6 + 5t} \right)\) \(\overrightarrow {BC} = (6 - 7t;1 + 5t).\) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - 7t} \right)\left( {6 - 7t} \right) + \left( {1 + 5t} \right)\left( { - 6 + 5t} \right) = 0 \cr} \) \(\Leftrightarrow 74{t^2} - 74t = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 0 \hfill \cr t = 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy B(0 ; 1); D(7 ; -4) hoặc B(7 ; -4); D(0 ; 1). Bài 15 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB: 3x + 5y - 33 = 0; đường cao AH: 7x + y - 13 = 0; trung tuyến BM: x + 6y - 24 = 0 (M là trung điểm của AC). Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.38) Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,(AB) \hfill \cr 7x + y - 13 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(AH). \hfill \cr} \right.\) Vậy A(1 ; 6) Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 3x + 5y - 33 = 0\,\,\,\,\,\,\,(AB) \hfill \cr x + 6y - 24 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(BM) \hfill \cr} \right.\) Vậy B(6 ; 3). Đặt C(x;y) ta suy ra trung điểm M của AC có tọa độ \(M\left( {{{x + 1} \over 2};{{y + 6} \over 2}} \right).\) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {x - 6;y - 3} \right)\) \({\overrightarrow u _{AH}} = (1; - 7)\) Ta có: \(\left\{ \matrix{ M \in BM \hfill \cr \overrightarrow {BC} .{\overrightarrow u _{AH}} = 0 \hfill \cr} \right.\) Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ \left( {{{x + 1} \over 2}} \right) + 6\left( {{{y + 6} \over 2}} \right) \hfill \cr x - 6 - 7(y - 3) = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 6y - 11 = 0 \hfill \cr x - 7y + 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr y = 2. \hfill \cr} \right.\) Vậy C(-1 ; 2). Phương trình cạnh BC: x - 7y + 15 = 0 Phương trình cạnh AC: 2x - y + 4 = 0. Bài 16 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có một đỉnh là O, diện tích bằng 12 và đường tròn ngoại tiếp (T) của có có phương trình là \({\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {y^2} = {{25} \over 4}\). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.39) Đường tròn (T) có tâm \(I\left( {{5 \over 2};0} \right)\) và bán kính \(R = {5 \over 2}\). \(\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} = \left( {5;0} \right)\) suy ra B(5 ; 0). Đặt A(x ; y) ta có hệ phương trình: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {y^2} = {{25} \over 4} \hfill \cr \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + {y^2}} = 12 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {y^2} = {{25} \over 4} - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \hfill \cr \left[ {{x^2} + 5x - {x^2}} \right]\left[ {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + 5x - {x^2}} \right] = 144 \hfill \cr} \right. \cr} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {y^2} = 5x - {x^2} \hfill \cr \left[ \matrix{ x = {9 \over 5} \hfill \cr y = {{16} \over 5} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) Vậy ta được \(A\left( {{9 \over 5};{{12} \over 5}} \right)\), \(C\left( {{6 \over 5};{{ - 12} \over 5}} \right)\) Hoặc \(A\left( {{9 \over 5};{{ - 12} \over 5}} \right)\), \(C\left( {{6 \over 5};{{12} \over 5}} \right)\) Bài 17 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C1) : \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) và (C2) : \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\) a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) , (C2) cắt nhau ; b) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Gợi ý làm bài (Xem hình 3.40) a) (C1) có tâm I(2 ; 2) và bán kính \({R_1} = 2\) (C2) có tâm J(5 ; 3) và bán kính \({R_2} = 4\) Ta có: \(IJ = \sqrt {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\) Do: \({R_2} - {R_1} < IJ < {R_2} + {R_1}\) Nên (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Gọi \(\Delta \) và \(\Delta' \) là hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) . \(\Delta \) tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A, B. \(\Delta' \) tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A', B'. Ta có: \(\left\{ \matrix{ d(I,\Delta ) = d(I,{\Delta'}) = {R_1} = 2 \hfill \cr d(J,\Delta ) = d(J,{\Delta'}) = {R_2} = 4 \hfill \cr} \right. \Rightarrow IJ,\Delta \) và \(\Delta' \) đồng quy tại M. \(\eqalign{ & {{JM} \over {IM}} = {{JB} \over {IA}} = {{{R_2}} \over {{R_1}}} = 2 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {JM} = 2\overrightarrow {JI} \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_M} - 5 = 2.\left( {2 - 5} \right) \hfill \cr {y_M} - 3 = 2.(2 - 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_M} = - 1 \hfill \cr {y_M} = 1. \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy ta được M(-1 ; 1). Bài 18 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): \({{{x^2}} \over 4} + {y^2} = 1\) và điểm \(A\left( { - 1;{1 \over 2}} \right)\). Gọi d là đưởng thẳng đi qua A có hệ số góc là m. Xác định m để d cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho A là trung điểm của MN. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.41) Phương trình đường thẳng d có dạng \(y - {1 \over 2} = m(x + 1)\) \( \Leftrightarrow y = m(x + 1) + {1 \over 2}.\) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (E) là : \(\eqalign{ & {{{x^2}} \over 4} + {\left( {mx + m + {1 \over 2}} \right)^2} = 1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4{\left[ {mx + \left( {m + {1 \over 2}} \right)} \right]^2} = 4 \cr} \) \(\Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 1} \right){x^2} + 4\left[ {\left( {2m + 1} \right)m} \right]x + 4{\left( {m + {1 \over 2}} \right)^2} - 4 = 0.\) A là trung điểm của MN \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x_M} + {x_N}} \over 2} = {x_A} \cr & \Leftrightarrow {{ - 4(2{m^2} + m)} \over {2(4{m^2} + 1)}} = - 1 \cr} \) \( \Leftrightarrow 4{m^2} + 2m = 4{m^2} + 1 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}.\) Bài 19 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(2;-1), phương trình một đường chéo là x - 7y + 15 = 0 và độ dài cạnh AB = \(3\sqrt 2 \). Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D biết ${y_B}$ là số nguyên Gợi ý làm bài (Xem hình 3.42) Do tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường thẳng x - 7y + 15 = 0 nên phương trình đường chéo BD là : x - 7y + 15 = 0, tọa độ điểm B là B(7t - 15;t). Ta có : \(AB = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {7t - 17} \right)^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} = 18\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 50{t^2} - 236t + 272 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t = {{68} \over {25}}\,\,\,(*) \hfill \cr} \right. \cr} \) ( (*) loại) Vậy B(-1 ; 2) Ta có \({\overrightarrow n _{AD}} = \overrightarrow {AB} = ( - 3;3) = - 3(1; - 1)\) Phương trình đường thẳng AD là : \(\eqalign{ & 1.(x - 2) - 1.(y + 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow x - y - 3 = 0. \cr} \) Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x - y - 3 = 0 \hfill \cr x - 7y + 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 6 \hfill \cr y = 3. \hfill \cr} \right.\) Vậy D(6 ; 3). Ta có AC và BD cắt nhau tại trung điểm I. Suy ra: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {{{x_C} + {x_A}} \over 2} = {{{x_B} + {x_D}} \over 2} = {5 \over 2} \hfill \cr {{{y_C} + {y_A}} \over 2} = {{{y_B} + {y_D}} \over 2} = {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} = 3 \hfill \cr {y_C} = 6. \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy C(3 ; 6). Bài 20 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C1) : \({x^2} + {y^2} + 10x = 4\) và (C2) : \({x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\) có tâm lần lượt là I, J. a) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C1) , (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng d: x - 6y + 6 = 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Gọi \({T_1},{T_2}\) lần lượt là tiếp điểm của (C1) , (C2) với một tiếp tuyến chung, hãy viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua trung điểm của \({T_1},{T_2}\) và vuông góc với IJ. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.43) a) (C1) có tâm I(-5 ; 0), bán kính \({R_1} = 5\). (C2) có tâm I(2 ; 1), bán kính \({R_2} = 5\) Tọa độ của giao điểm A, B của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + 10x = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 14x + 2y + 20 = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} + 10x = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) Ta được A(-1 ; -3), B(-2 ; 4). Gọi K là tâm của (C) ta có \(KA = KB = R \Rightarrow K \in IJ.\) Phương trình IJ là : x - 7y + 5 = 0. Tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ x - 7y + 5 = 0 \hfill \cr x - 6y + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 12 \hfill \cr y = - 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy K(-12 ; -1). Ta có \({R^2} = K{A^2} = 125.\) Vậy phương trình của đường tròn (C) là : \({\left( {x + 12} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 125.\) b) \({R_1} = {R_2} = 5\) => tiếp tuyến chung \(l\) của (C1) và (C2) song song với IJ. Phương trình \(l\) có dạng : x - 7y + c = 0. Ta có: \(d(I,l) = {R_1}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left| { - 5 + c} \right|} \over {\sqrt {1 + 49} }} = 5 \cr & \Leftrightarrow \left| {c - 5} \right| = 25\sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow c = 5 \pm 25\sqrt 2 . \cr} \) Vậy phương trình của hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) là : \(x - 7y + 5 \pm 25\sqrt 2 = 0.\) Đường thẳng AB đi qua trung điểm M của \({T_1}{T_2}\) và vuông góc với IJ. Phương trình của AB là : 7x + y + 10 = 0. Bài 21 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - 2;0} \right)\) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \(12\sqrt 5 \) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ và (C) cắt (E) tại bốn điểm tạo thành hình vuông. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.44) Phương trình elip có dạng: \((E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\) Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { - 2;0} \right)\). Suy ra c = 2. Diện tích hình chữ nhật cơ sở ABCD là 4ab. Suy ra \(4ab = 12\sqrt 5 \) Ta có : \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 4.\) Giải hệ phương trình : \(\left\{ \matrix{ ab = 3\sqrt 5 \hfill \cr {a^2} = {b^2} + 4 \hfill \cr} \right.\) Ta được: \(\left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr b = \sqrt 5 . \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình elip là : \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 5} = 1.\) Đường tròn (C) tâm O, bán kính R cắt elip tại bốn điểm M, N, P, Q. Ta có MNPQ là hình vuông suy ra phương trình đường thẳng OM là : y = x. Thay y = x vào phương trình elip ta được: \({R^2} = O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 = {{45} \over 7}.\) Vậy phương trình đường tròn (C) là : \({x^2} + {y^2} = {{45} \over 7}\) Bài 22 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có \({x_A} = 2\), điểm C và trung điểm K của AD cùng thuộc trục Oy, tâm I thuộc trục Ox, AD = 2AB. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết rằng K có tung độ âm. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.45) Đặt A(2 ; a); K(0 ; k); C(0 ; c); I(1 ; 0) là tọa độ các điểm đã cho ta có: \({{a + c} \over 2} = 0 \Rightarrow c = - a.\) \(AD = 2AB \Rightarrow AK = 2KI.\) Ta có: \(\overrightarrow {AK} = ( - 2;k - 1),\,\overrightarrow {IK} = ( - 1;k)\) \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {IK} = o \hfill \cr \left| {\overrightarrow {AK} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {IK} } \right| \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 + k(k - a) = 0 \hfill \cr {\overrightarrow {AK} ^2} = 4{\overrightarrow {IK} ^2} \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k - a = - {k \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr 4 + {(k - a)^2} = 4(1 + {k^2})\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\) Thay (1) vào (2) ta được: \(\eqalign{ & 4 + {4 \over {{k^2}}} = 4\left( {1 + {k^2}} \right) \cr & \Leftrightarrow 4{k^2} + 4 = 4{k^2} + 4{k^4} \cr & \Leftrightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow k = - 1\,\,(k < 0). \cr} \) Suy ra a = -3. Vậy A(2 ; -3), C(0 ; 3) và K(0 ; -1). Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AK} \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} - 2 = 2.(0 - 2) \hfill \cr {y_D} + 3 = 2.( - 1 + 3) \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = 2 \hfill \cr {y_D} = 1. \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy D(-2 ; 1) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DI} \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_B} + 2 = 2.(1 + 2) \hfill \cr {y_B} - 1 = 2.(0 - 1) \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_B} = 4 \hfill \cr {y_B} = - 1. \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy B(4 ; -1).
Đề 1 (45 phút)Câu 1 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (6 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi OABC có tâm đối xứng là I(-1;1) và có cạnh bằng \(\sqrt {10} \). a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C và tính diện tích hình thoi, biết \({x_A} > {x_C}\); b) Tìm tọa độ điểm D (khác B) là giao điểm của đường thẳng OB với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gợi ý làm bài a) Ta có \(\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \) suy ra B(-2 ; 2). Đường thẳng AC đi qua I(-1 ; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {OI} = ( - 1;1)\) nên có phương trình : x - y + 2 = 0 Tọa độ A và C có dạng \(\left( {t;t + 2} \right)\) Ta có : \(O{A^2} = O{C^2} = 10\) suy ra t = 1 hay t = -3. Suy ra A(1 ; 3) và C(-3 ; -1). b) Tam giác ABC cân tại B, suy ra điểm D thuộc đường thẳng OB có phương trình : x + y = 0 Đặt D(t;-t) ta có: \(\overrightarrow {BA} = (3;1),\,\overrightarrow {AD} = (t - 1; - t - 3)\) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow 3\left( {t - 1} \right) - t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3.\) Vậy D(3 ; -3) Câu 2 trang 200 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (4 điểm) Cho elip (E) đi qua điểm \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M (\({F_1};{F_2}\) là hai tiêu điểm của elip). a) Viết phương tình chính tắc của (E). b) Tìm tiêu cự và tỉ số \({c \over a}\) của (E). Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & M \in (E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {5{a^2}}} + {6 \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \) \(\eqalign{ & \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Leftrightarrow O{M^2} = {c^2} \cr & \Leftrightarrow {c^2} = 5 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 5\,\,\,(2) \cr} \) Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được \({a^2} = 9;{b^2} = 4\) Vậy (E) có phương trình \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\) b) \(2c = 2\sqrt 5 \,\,;\,{c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}.\) Đề 2 (45 phút)Câu 1 trang 200 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (4 điểm) Cho elip (E) có phương trình : \(9{x^2} + 25{y^2} = 225\) a) Tìm tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của (E) ; b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc (E) sao cho M nhìn hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) của (E) dưới một góc vuông. Gợi ý làm bài a) \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\) \(\eqalign{ & {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16 \cr & \Rightarrow c = 4. \cr} \) (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 4;0)\,\,;\,\,{F_2}(4;0)\) và có bốn đỉnh là \({A_1}( - 5;0)\,;\,{A_2}(5;0)\,;\,{B_1}(0; - 3)\,;\,{B_2}(0;3).\) b) Gọi tọa độ M là (x;y) ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ M \in (E) \hfill \cr \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 9{x^2} + 25{y^2} = 225 \hfill \cr {x^2} + {y^2} = 16 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} = {{175} \over {16}} \hfill \cr {y^2} = {{81} \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy có bôn điểm thỏa mãn đề bài, chúng có tọa độ là \(\left( { \pm {{5\sqrt 7 } \over 4}; \pm {9 \over 4}} \right).\) Câu 2 trang 200 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (6 điểm) Cho điểm M(1 ; -2) và đường thẳng \(\Delta \) có phương trình: 3x - 4y - 1 = 0. a) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \); b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta' \) đối xứng với \(\Delta \) qua điểm M ; c) Viết phương trình đường tròn tâm M và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \). Gợi ý làm bài a) \(M'\left( { - {7 \over 5};{6 \over 5}} \right)\) b) \(\Delta ':3x - 4y - 21 = 0\) c) (C) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\) Đề 3 (45 phút)Câu 1 trang 200 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (6 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB = AC, \(\widehat {BAC} = {90^ \circ }\), trung điểm của BC là điểm M(1 ; -1) và trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( {{2 \over 3};0} \right)\) a) Tìm tọa độ điểm A ; b) Tìm tọa độ điểm B và C ; c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gợi ý làm bài a) \(\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \) suy ra A(0 ; 2). b) \(\left\{ \matrix{ BC \bot MA \hfill \cr MB = MC = MA. \hfill \cr} \right.\) Suy ra B(-2 ; -2); C(4 ; 0) hay B(4 ; 0); C(-2 ; -2). c) \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10.\) Câu 2 trang 200 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. (4 điểm) Cho elip (E) có phương trình \({{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và điểm A(1 ; 2). a) Tìm độ dài trục lớn, trục nhỏ và tiêu cự của (E); b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và cắt (E) tại \({M_1}\) và \({M_2}\) sao cho \(A{M_1} = A{M_2}\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & 2a = 8\,;\, \cr & 2b = 6\,;\, \cr & 2c = 2\sqrt 7 . \cr} \) b) Phương trình \(\Delta \) có dạng : y = k(x - 1) + 2. Phương trình hoành độ giao điểm của \(\Delta \) và (E) : \(9{x^2} + 16{\left[ {k\left( {x - 1} \right) + 2} \right]^2} - 144 = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {9 + 16{k^2}} \right){x^2} + 32k\left( {2 - k} \right)x + 16{\left( {2 - k} \right)^2} - 144 = 0.\) A là trung điểm \(\eqalign{ & {M_1}{M_2} \Leftrightarrow {{{x_1} + {x_2}} \over 2} = {x_A} \cr & \Leftrightarrow {{16k(k - 2)} \over {9 + 16{k^2}}} = 1 \Leftrightarrow k = {{ - 9} \over {32}}. \cr} \) Vậy phương trình của \(\Delta \) là: 9x + 32y - 73 = 0.
