Bài 1 trang 5 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Có hay không một vec tơ cùng phương với hai vec tơ đó? Giải Có. Đó là véc tơ không. Bài 2 trang 5 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Trong trường hợp nào hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng? Trong trường hợp nào hai vec tơ đó ngược hướng? Giải \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng khi A không nằm giữa B và C, ngược lại khi A nằm giữa B và C. Bài 3 trang 5 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho ba vec tơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \,,\,\overrightarrow c \) cùng phương. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vec tơ trong chúng có cùng hướng. Giải Nếu \(\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \) cùng hướng. Vậy có ít nhất một cặp vec tơ cùng hướng. Bài 4 trang 5 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O. Hãy so sánh các vec tơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {B'C} \), \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {HC} \). Giải: Chứng tỏ rằng AHCB’ là hình bình hành. Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AH} \) = \(\overrightarrow {B'C} \), \(\overrightarrow {AB'} \) = \(\overrightarrow {HC} \). Bài 5 trang 6 SBT Hình học 10 Nâng cao. Chứng minh rằng với hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), ta có \(|\overrightarrow a | - |\overrightarrow b |\,\,\, < \,\,\,|\overrightarrow a + \overrightarrow b |\,\,\, < \,\,\,|\overrightarrow a | + |\overrightarrow b |\) Giải Từ điểm O bất kì, ta vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b \), vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương nên ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Khi đó, trong tam giác OAB ta có: OA-AB<OB<OA+AB hay là \(|\overrightarrow a | - |\overrightarrow b |\,\,\, < \,\,\,|\overrightarrow a + \overrightarrow b |\,\,\, < \,\,\,|\overrightarrow a | + |\overrightarrow b |\). Bài 6 trang 6 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác OAB. Giả sử \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} ,\) \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {ON} \). Khi nào điểm \(M\) nằm trên đường phân giác của góc \(AOB\)? Khi nào điểm \(N\) nằm trên đường phân giác ngoài của góc \(AOB\)? Giải Theo quy tắc hình bình hành, vec tơ \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \) nằm trên đường chéo của hình bình hành \(OABM\). Vậy \(OM\) nằm trên đường phân giác góc \(AOB\) khi và chỉ khi hình bình hành đó là hình thoi, tức là \(OA=OB\). Ta có \(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \), N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB khi và chỉ khi \(OM \bot ON\), tức \(OM \bot BA\). Vậy OABM là hình thoi, hay \(OA=OB.\) Bài 7 trang 6 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hình ngũ giác đều \(ABCDE\) tâm \(O\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow 0 \). Hãy phát biểu bài toán trong trường hợp n-giác đều. Giải Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} \). Ta có thể viết: \(\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} + (\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} ) + (\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} )\). Vì \(OA\) là phân giác của góc \(BOE\) và \(OE = OB\) nên tổng \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} \) là một vec tơ nằm trên đường thẳng \(OA\). Tương tự, vec tơ tổng \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \) là một vec tơ cũng nằm trên đường thẳng \(OA\). Vậy \(\overrightarrow u \) là một vec tơ nằm trên đường thẳng \(OA\). Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có \(\overrightarrow u \) cũng là một vec tơ nằm trên đường thẳng \(OB\). Từ đó suy ra \(\overrightarrow u \) phải là vec tơ –không: \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \). Bài toán trong trường hợp n-giác đều: Nếu \(A_1A_2…A_n\) là n-giác đều tâm \(O\) thì \(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} = \overrightarrow 0 \). Bài 8 trang 6 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(A’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(A, B’\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(B, C’\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(C\). Chứng minh rằng với một điểm \(O\) bất kì, ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} \). Giải Ta có \(\eqalign{ & \,\,\,\,\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \cr & = \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {C'C} \cr & = \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \cr & = \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} \cr} \) Bài 9 trang 6 SBT Hình học 10 Nâng cao. Một giá đỡ được gắn vào tường như hình 1. Tam giác \(ABC\) vuông cân ở đỉnh \(C\). Người ta treo vào điểm \(A\) một vật nặng 5N. Hỏi có những lực nào tác động vào bức tường tại hai điểm \(B\) và \(C\)? Giải Tại điểm \(A\) có lực kéo \(\overrightarrow F \) hướng thẳng đứng xuống dưới với cường độ 5N. Ta có thể xem \(\overrightarrow F \) là tổng của hai vec tơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) lần lượt nằm trên hai đường thẳng \(AC\) và \(AB\). Dễ dàng thấy rằng \(|\overrightarrow {{F_1}} | = |\overrightarrow F |\) và \(|\overrightarrow {{F_2}} | = |\overrightarrow F |\sqrt 2 \). Vậy có một lực ép vuông góc với bức tường tại điểm \(C\) với cường độ 5N và một lực kéo bức tường tại điểm \(B\) theo hướng \(\overrightarrow {BA} \) với cường độ \(5\sqrt 2 \). Bài 10 trang 6 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho \(n\) điểm trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là \(A_1, A_2,…,A_n\). Bạn Bình kí hiệu chúng là \(B_1, B_2,…, B_n\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \). Giải Lấy một điểm \(O\) bất kì ta có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} \\ = \overrightarrow {O{B_1}} - \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} - \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}} - \overrightarrow {O{A_n}} \\ = (\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}} ) - (\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} )\end{array}\) Vì \(n\) điểm \(B_1,B_2,...B_n\) cũng là \(n\) điểm \(A_1, A_2,…,A_n\) nhưng kí hiệu một cách khác, cho nên ta có \(\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + ... + \overrightarrow {O{B_n}}\) \( = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} \) Suy ra \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \).
