Bài 43 trang 12 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho các điểm \(A, B, C\) trên trục \(Ox\) như hình: a) Tìm tọa độ của các điểm \(A, B, C.\) b) Tính \(\overline {AB} ,\overline {BC} ,\,\overline {CA} ,\,\overline {AB} + \)\(\overline {CB} ,\,\overline {BA} - \)\(\overline {BC} ,\,\overline {AB} .\overline {BA} .\,\) Giải a) \(A, B, C\) có tọa độ lần lượt là \(2 ; 4; -3.\) b) Ta có \(\begin{array}{l}\overline {AB} = \overline {OB} - \overline {OA} = 4 - 2 = 2;\\\overline {BC} = \overline {OC} - \overline {OB} = - 7\\\overline {CA} = \overline {OA} - \overline {OC} = 5;\\\overline {AB} + \overline {CB} = \overline {AB} - \overline {BC} = 2 + 7 = 9;\\\overline {BA} - \overline {BC} = - \overline {AB} - \overline {BC} \\ = - 2 + 7 = 5\,;\\\overline {AB} .\overline {BA} = - {\overline {AB} ^2} = - 4.\end{array}\) Bài 44 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao. Trên trục \((O\,;\,\overrightarrow i )\) cho hai điểm \(M\) và \(N\) có tọa độ lần lượt là \(-5\) và \(3\). Tìm tọa độ điểm \(P\) trên trục sao cho \(\dfrac{{\overline {PM} }}{{\overline {PN} }} = - \dfrac{1}{2}\). Giải \(\begin{array}{l}\dfrac{{\overline {PM} }}{{\overline {PN} }} = - \dfrac{1}{2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2\overline {PM} = - \overline {PN}\\ \Leftrightarrow \,\,\,2(\overline {OM} - \overline {OP} ) = - (\overline {ON} - \overline {OP} )\\\Leftrightarrow \,\,\overline {OP} = \dfrac{1}{3}(2\overline {OM} + \overline {ON} ) \\= \dfrac{1}{3}[2.( - 5) + 3] = - \dfrac{7}{3}.\end{array}\) Vậy điểm \(P\) có tọa độ là \( - \dfrac{7}{3}\). Bài 45 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao. Trên trục \((O\,;\,\overrightarrow i )\) cho ba điểm \(A, B, C\) có tọa độ lần lượt \(-4, -5, 3\). Tìm tọa độ điểm \(M\) trên trục sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Sau đó tính \(\dfrac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }}\), \(\dfrac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}\). Giải \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\\Leftrightarrow \,\,3\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} )\\\Leftrightarrow \,\overline {OM} = \dfrac{1}{3}(\overline {OA} + \overline {OB} + \overline {OC} )\\ = \dfrac{1}{3}( - 4 - 5 + 3) = - 2\end{array}\) Vậy điểm \(M\) có tọa độ là \(-2\). Khi đó \(\overline {MA} = \overline {OA} - \overline {OM} = - 4 + 2 = - 2;\)\(\overline {MB} = - 3;\) \(\overline {MC} = 5.\) Suy ra \(\dfrac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }} = \dfrac{2}{3}\,;\,\,\,\dfrac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }} = - \dfrac{3}{5}.\) Bài 46 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho \(a, b, c, d\) theo thứ tự là tọa độ của các điểm \(A, B, C, D\) trên trục \(Ox\). a) Chứng minh rằng khi \(a + b \ne c + d\) thì luôn tìm được điểm \(M\) sao cho \(\overline {MA} .\overline {MB} = \overline {MC} .\overline {MD} \). b) Khi \(AB\) và \(CD\) có cùng trung điểm thì điểm \(M\) ở câu a) có xác định không? Áp dụng. Xác định tọa độ điểm M nếu biết: \(a=-2 ; b=5 ;\) \( c=3, d=-1.\) Giải: a) Ta có \(\begin{array}{l}\overline {MA} .\overline {MB} = \overline {MC} .\overline {MD} \\ \Leftrightarrow (\overline {OA} - \overline {OM} )(\overline {OB} - \overline {OM} )\\ = (\overline {OC} - \overline {OM} )(\overline {OD} - \overline {OM} )\\ \Leftrightarrow \overline {OM} (\overline {OD} + \overline {OC} - \overline {OA} - \overline {OB} )\\ = \overline {OC} .\overline {OD} - \overline {OA} .\overline {OB} \\ \Leftrightarrow \,\,\overline {OM} .(d + c - a - b) \\= cd - ab\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array}\) Do \(a + b \ne c + d\) nên \(\overline {OM} = \dfrac{{cd - ab}}{{d + c - a - b}}.\) b) Giả sử \(AB\) và \(CD\) có cùng trung điểm \(I\). Khi đó \(\dfrac{{\overline {OA} + \overline {OB} }}{2} = \dfrac{{\overline {OC} + \overline {OD} }}{2}( = \overline {OI} ),\) Hay \(a+b=c+d\). Khi đó, \(ab \ne cd\) (vì nếu \(ab=cd\) và \(a+b=c+d\) thì dễ dàng suy ra bốn điểm \(A, B, C, D\) không phân biệt). Vậy từ (*) ta suy ra điểm \(M\) không xác định. Áp dụng: Vói \(a=-2, b=5, c=3, d=-1\), ta thấy \(a + b \ne c + d\) . Theo câu a), điểm \(M\) được xác định và ta có \(\overline {OM} = \dfrac{{cd - ab}}{{d + c - a - b}}\) \(= \dfrac{{3.( - 1) - ( - 2).5}}{{ - 1 + 3 + 2 - 5}} = - 7.\) Suy ra điểm \(M\) có tọa độ là \(-7.\) Bài 47 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Cho các vec tơ \(\overrightarrow a (1\,;\,2)\,,\,\,\overrightarrow b ( - 3\,;\,1)\,,\,\,\overrightarrow c ( - 4\,;\, - 2)\). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c;\) \(\overrightarrow v = - \overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b - {1 \over 2}\overrightarrow c ;\) \(\overrightarrow w = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 4\overrightarrow c; \) và xem vec tơ nào trong các vec tơ đó cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow i \), cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow j \). b) Tìm các số \(m, n\) sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b + n\overrightarrow c \). Giải a) Ta có \(\begin{array}{l}\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \\ = (2.1 - 3.( - 3) + ( - 4);\\2.2 - 3.1 + ( - 2)) = (7\,;\, - 1).\\\overrightarrow v = - \overrightarrow a + \dfrac{1}{3}\overrightarrow b - \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \\ = ( - 1 + \dfrac{1}{3}.( - 3) - \dfrac{1}{2}.( - 4);\\ - 2 + \dfrac{1}{3}.1 - \dfrac{1}{2}.( - 2)) = \left( {0\,; - \dfrac{2}{3}\,} \right).\\\overrightarrow w = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 4\overrightarrow c = ( - 19\,;\,0).\end{array}\) Hai vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow j \) cùng phương, hai vectơ \(\overrightarrow w \) và \(\overrightarrow i \)cùng phương. b) Ta có \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b + n\overrightarrow c \\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} - 3m - 4n = 1\\m - 2n = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{5}\\n = - \dfrac{7}{{10}}\end{array} \right.\) Bài 48 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Cho ba điểm \(A(2;5), B(1;1), C(3;3).\) a) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \). b) Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó. Giải a) Giả sử \(D=(x ; y)\). Khi đó \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = ( - 1\,;\, - 4)\,;\,\,\overrightarrow {AC} = (1\,;\, - 2)\,;\\\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3.( - 1) - 2.1\\y - 5 = 3.( - 4) - 2.( - 2)\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 3\end{array} \right.\\\end{array}\) Vậy \(D=(-3 ; -3).\) b) Giả sử \(E=(x ; y)\). Từ \(ABCE\) là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {BC} \), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 2\\y - 5 = 2\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\end{array} \right.\) Vậy \(E=(4 ; 7).\) Tâm \(I\) của hình bình hành cũng là trung điểm của \(AC\) nên:\(I = \left( {\dfrac{{2 + 3}}{2}\,;\,\dfrac{{5 + 3}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{5}{2}\,;\,4} \right).\) Bài 49 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Biết \(M(x_1;y_1),\) \(N(x_2;y_2),\) \(P(x_3;y_3)\) là các trung điểm ba cạnh của một tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. Giải (h.22). Giả sử tam giác ABC nhận \(M, N, P\) làm trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CA\). Ta có \(\,\,\,\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {NP} \\ \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{ {x_A} - {x_M} = {x_P} - {x_N} \hfill \cr {y_A} - {y_M} = {y_P} - {y_N} \hfill \cr} \right.\\\Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{ {x_A} = {x_1} - {x_2} + {x_3} \hfill \cr {y_A} = {y_1} - {y_2} + {y_3} \hfill \cr} \right.\) Suy ra \(A = ({x_1} - {x_2} + {x_3}\,;\,{y_1} - {y_2} + {y_3}).\) Tương tự ta tính được \(B = ({x_1} + {x_2} - {x_3}\,;\,{y_1} + {y_2} - {y_3});\) \(C = ({x_2} + {x_3} - {x_1}\,;\,{y_2} + {y_3} - {y_1}).\) Bài 50 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Cho ba điểm \(A(0;-4), B(-5;6), C(3;2).\) a) Chứng minh rằng ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng; b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC.\) Giải a) \(\overrightarrow {AB} = ( - 5\,;\,10)\,;\,\,\overrightarrow {AC} = (3\,;\,6).\)Do \(\dfrac{{ - 5}}{3} \ne \dfrac{{10}}{6}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương, suy ra \(A, B, C\) không thẳng hàng. b) Tọa độ trong tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(G = \left( {\dfrac{{0 - 5 + 3}}{3}\,;\,\dfrac{{ - 4 + 6 + 2}}{3}} \right) \) \(= \left( { - \dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}} \right).\) Bài 51 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Cho tam giác \(ABC\) có \(A(-1;1), B(5;-3)\), đỉnh \(C\) nằm trên trục \(Oy\) và trọng tâm \(G\) nằm trên trục \(Ox\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\). Giải \(G({x_G}\,;\,0)\, \in \,Ox,\) \(C(0\,;\,{y_C})\, \in \,Oy\) \(\Rightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{ - 1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \dfrac{{1 - 3 + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{4}{3}\\{y_C} = 2\end{array} \right.\) Vậy \(G = \left( {\dfrac{4}{3}\,;\,0} \right)\,\,;\,\,\,C = (0\,;\,2).\) Bài 52 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Cho hai điểm phân biệt \(A(x_A;y_A)\) và \(B(x_B;y_B)\). Ta nói điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\) nếu \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \,\,(k \ne 1)\). Chứng minh rằng \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} - k{x_B}}}{{1 - k}}\\{y_M} = \dfrac{{{y_M} - k{y_B}}}{{1 - k}}\end{array} \right.\) Giải \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} = k({x_B} - {x_M})\\{y_A} - {y_M} = k({y_B} - {y_M})\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} - k{x_B}}}{{1 - k}}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} - k{y_B}}}{{1 - k}}\end{array} \right.\,\,\,\,(k \ne 1)\) Khi \(k=-1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\), \(M\) là trung điểm của \(AB\).
