Bài 53 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao. Tam giác \(ABC\) là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây? a) \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} |\) b) Vec tơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} \). Giải a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì từ giả thiết suy ra \(2AM=BC\). Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). b) Từ giả thiết, ta có \(\begin{array}{l}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ).(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} ) = 0\\\Leftrightarrow \,\,(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ).(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ) = 0\\\Leftrightarrow \,\,A{B^2} - A{C^2} = 0.\end{array}\) Vậy tam giác \(ABC\) là tam giác cân, đáy \(BC\). Bài 54 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao. Tứ giác \(ABCD\) là hình gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây? a) \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC} \). b) \(\overrightarrow {DB} = m\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} \). Giải a) Ta có \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC}\\\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} .\) Vậy \(ABCD\) là hình bình hành. b) \(\overrightarrow {DB} = m\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA}\\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} = m\overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = m\overrightarrow {DC} .\) Vậy \(ABCD\) là hình thang. Bài 55 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM=MN=NB\). a) Chứng tỏ rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC\). b) Đặt \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {GB} = \overrightarrow b \). Hãy biểu thị các vec tơ sau đây qua \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \): \(\overrightarrow {GC} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {GM} ,\,\overrightarrow {CN} \). Giải a) Gọi \(I\) là trung điểm \(MN\) thì \(I\) cũng là trung điểm \(AB\), do đó \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GI} .\) Suy ra \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GC} \) \(= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). Vậy \(G\) cũng là trọng tâm của tam giác \(MNC.\) b) Ta có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {GC} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b ;\\\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow a - \overrightarrow b .\\\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} \\= \overrightarrow a + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a ) \\= \dfrac{{2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3}.\\\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} \\ = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a )\\ = \dfrac{{4\overrightarrow a + 5\overrightarrow b }}{3}.\end{array}\) Bài 56 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\). Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho: a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \); b) \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 2\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \); c) \(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \). Giải: a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(2(\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {MC} ) = \overrightarrow 0 \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {CI} = \overrightarrow 0 \). Không có điểm \(M\) nào như thế. b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) như trên thì \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 2\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,2(\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {NC} ) = \overrightarrow 0. \) Vậy \(N\) là trung điểm của \(CI\). c) Ta có \(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0\\ \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0\\\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {PC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}. \) Vậy nếu lấy \(D\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành thì \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Bài 57 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\), với mỗi số \(k\) ta xác định các điểm \(A’, B’\), sao cho \(\overrightarrow {AA'} = k\overrightarrow {BC} \,;\,\,\overrightarrow {BB'} = k\overrightarrow {CA} \). Tìm quỹ tích trọng tâm \(G’\) của tam giác \(A’B’C\). Giải Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có \(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC} \\ = k\overrightarrow {BC} + k\overrightarrow {CA} + \overrightarrow 0 \\ = k(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} ) = k\overrightarrow {BA} .\) Từ đó suy ra quỹ tích các điểm \(G’\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với đường thẳng \(AB\). Bài 58 trang 15 SBT Hình học 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(4;0), B(2;-2)\). Đường thẳng \(AB\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(M\). Trong ba điểm \(A, B, M\) điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại. Giải Giả sử \(M=(0 ; y)\), ta có \(\overrightarrow {AB} = ( - 2\,;\, - 2)\,,\,\,\overrightarrow {AM} = ( - 4\,;\,y).\) Vì ba điểm \(A, B, M\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AM} \) cùng phương, suy ra \(y=-4\). Vậy \(M=(0 ; -4)\), khi đó \(\overrightarrow {AB} = ( - 2\,;\, - 2)\,,\,\overrightarrow {AM} = ( - 4\,;\, - 4)\), suy ra \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} \). Vậy điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(M\).
Bài 1 trang 15 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(a\). Độ dài của tổng hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng bao nhiêu? A. \(2a;\) B. \(a;\) C. \(a\sqrt 3;\) D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Giải Chọn (C). Bài 2 trang 15 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB=AC=a\). Độ dài của tổng hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng bao nhiêu? A. \(a\sqrt 2;\) B. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};\) C. \(2a;\) D. \(a.\) Giải Chọn (A). Bài 3 trang 15 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(AB=3, AC=4\). Vec tơ \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \) có độ dài bằng bao nhiêu? A. \(2;\) B. \(2\sqrt {13};\) C. \(4;\) D. \(\sqrt {13}.\) Giải Chọn (B). Bài 4 trang 15 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a, H\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Vec tơ \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} \) có độ dài bằng bao nhiêu? A. \(\dfrac{a}{2};\) B. \(\dfrac{{3a\,}}{2};\) C. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3};\) D. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\) Giải Chọn (D). Bài 5 trang 15 SBT Hình học 10 Nâng cao Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC\) với cạnh huyền \(BC=12\). Tổng hai vec tơ \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} \) có độ dài bằng bao nhiêu? A. \(2;\) B. \(2\sqrt 3\) C. \(8\) D. \(4.\) Giải Chọn (D). Bài 6 trang 15 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\). Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào sai? A. \(2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} ;\) B. \(2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} ;\) C. \(2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} ;\) D. \(2\overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 .\) Giải Chọn (A). Bài 7 trang 15 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho sáu điểm \(A, B, C, D, E, F.\) Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào sai? A. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CF} ;\) B. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CE} ;\) C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} ;\) D. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CD} .\) Giải Chọn (B). Bài 8 trang 16 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \). Biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {CI} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {CB} \) như sau: A. \(\overrightarrow {CI} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} - 2\overrightarrow {CB} }}{3};\) B. \(\overrightarrow {CI} = - \overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} ;\) C. \(\overrightarrow {CI} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} }}{3};\) D. \(\overrightarrow {CI} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} }}{{ - 3}}.\) Giải Chọn (B). Bài 9 trang 16 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho tam giác \(ABC\) và \(I\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). Biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {CI} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {CB} \) như sau: A. \(\overrightarrow {CI} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} - 2\overrightarrow {CB} }}{3};\) B. \(\overrightarrow {CI} = - \overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} ;\) C. \(\overrightarrow {CI} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} }}{3};\) D. \(\overrightarrow {CI} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} }}{{ - 3}}.\) Giải Chọn (C). Bài 10 trang 16 SBT Hình học 10 Nâng cao Cho tam giác \(ABC\) với trọng tâm \(G\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \). Biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) như sau: A. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{{2\overrightarrow a - \overrightarrow b }}{3};\) B. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{{2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3};\) C. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{{\overrightarrow a - 2\overrightarrow b }}{3};\) D. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{{ - 2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3}.\) Giải Chọn (D). Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \). Biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) như sau: A. \(\overrightarrow {CG} = \dfrac{{\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3};\) B. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{{2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3};\) C. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{{\overrightarrow a - 2\overrightarrow b }}{3};\) d. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{{ - 2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3}.\) Giải Chọn (A). Bài 12 trang 16 SBT Hình học 10 Nâng cao Trong hệ tọa độ \(Oxy\) cho các điểm \(A(1;-2), B(0;3), C(-3;4), D(-1;8)\). Ba điểm nào trong bốn điểm là ba điểm thẳng hàng? A. \(A, B, C;\) B. \(B, C, D;\) C. \(A, B, D;\) D. \( A, C, D.\) Giải Chọn (C). Bài 13 trang 17 SBT Hình học 10 Nâng cao Trong hệ tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(1;3), B(-3;4)\) và \(G(0;3)\). Tìm tọa độ điểm \(C\) sao cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\) A. \((2;2);\) B. \((-2;2);\) C. \((2;0);\) D. \((0;2).\) Giải Chọn (A). Bài 14 trang 17 SBT Hình học 10 Nâng cao Trong hệ tọa độ \(Oxy\) cho hình bình hành \(ABCD\), biết \(A(1;3), B(-2;0), C(2;-1)\). Hãy tìm tọa độ điểm \(D\). A. \((2;2);\) B. \((5;2);\) C. \((4;-1);\) D. \((2;5).\) Giải Chọn (B).
