Bài 1 trang 38 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\cos a + 4\sin a}}{{\cos a + \sin a}}.\) a) Với góc \(a\) nào thì biểu thức không xác định ? b) Tìm giá trị của \(P\) biết \(\tan a = - 2\). Giải a) Biểu thức không xác định khi \({\cos a + \sin a}=0\) hay \(a=135^0\). b) Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \(\cos a \ne 0\), ta tính được \(P=5.\) Bài 2 trang 38 SBT Hình học 10 Nâng cao. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: a) \(\cos {0^0} + \cos {20^0} + \cos {40^0} + \cos {60^0}\) \(+ \ldots + \cos {140^0} + \cos {160^0} + \cos {180^0}\) b) \(\tan {5^0}\tan {10^0}\tan {15^0} \ldots \tan {80^0}\tan {85^0}\) Giải a) Lưu ý \(\cos {0^0} + \cos {180^0} \) \(= \cos {20^0} + \cos {160^0} \) \(= \ldots = \cos {80^0} + \cos {100^0} = 0\) Ta có \(\cos {0^0} + \cos {20^0} + \cos {40^0} + \cos {60^0}\) \(+ \ldots + \cos {140^0} + \cos {160^0} + \cos {180^0}\) \(= 0.\) b) Lưu ý \(\tan {5^0}.\tan {85^0} = \tan {10^0}.\tan {80^0}\) \(= \ldots = \tan {45^0}.\tan {45^0} = 1.\) Ta có \(\tan {5^0}\tan {10^0}\tan {15^0}\) \(\ldots \tan {80^0}\tan {85^0} = 1.\) Bài 3 trang 38 SBT Hình học 10 Nâng cao. a) Chứng minh rằng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\,\,({0^0} \le x \le {180^0}).\) b) Tìm \(\sin x\) khi \(\cos x = - \dfrac{1}{3}.\) c) Tìm \(\cos x\) khi \(\sin x=0,3.\) c) Tìm \(\cos x\) và \(\sin x\) khi \(\sin x - \cos x = \dfrac{2}{3}.\) Giải (h.26). a) \(\sin x = \overline {OQ}, \cos x = \overline {OP},\) \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = O{Q^2} + O{P^2} = 1.\) b) \(\sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) c) \(\cos x = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = \pm \sqrt {0,91} .\) d) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x - \cos x = \dfrac{2}{3}\\{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\end{array} \right.\) Ta có \(\sin x = \dfrac{{\sqrt {14} + 2}}{6}, \cos x = \dfrac{{\sqrt {14} - 2}}{6}.\) Bài 4 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao. a) Chứng minh rằng với mọi góc a khác \(90^0\), ta có \(1 + {\tan ^2}a = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}}.\) b) Cho \(\tan x=-5\), hãy tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc \(x\). Giải a) \(1 + {\tan ^2}a = 1 + \dfrac{{{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} \) \(= \dfrac{{{{\cos }^2}a + {{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}}.\) b) Áp dụng \(\tan x.\cot x = 1\) để tính \(\cot x\). Áp dụng câu a), ta có \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {( - 5)^2}\) \(\Rightarrow \,\,{\cos ^2}x = \dfrac{1}{{26}}.\) Vì \(\tan x <0\) nên \(\cos x<0,\) suy ra \(\cos x = - \dfrac{1}{{\sqrt {26} }}\). Từ \(\sin x=\cos x.\tan x\), ta tính được: \(\cot x = - \dfrac{1}{5}\,;\,\,\sin x = \dfrac{5}{{\sqrt {26} }}\). Bài 5 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao. a) Chứng minh rằng \(1 + {\cot ^2}a = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}a}}\) với \(a \ne {0^0}\) và \(a \ne {180^0}\). b) Cho \(\cot b=3\), hãy tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc \(b\). Giải a) \(1 + {\cot ^2}a = 1 + \dfrac{{{{\cos }^2}a}}{{{{\sin }^2}a}} \) \(= \dfrac{{{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a}}{{{{\sin }^2}a}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}a}}.\) b) Ta có \(\tan b = \dfrac{1}{3}; \sin b = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }};\) \(\cos b = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}.\) Bài 6 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho biết \(\sin {15^0} = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}.\) a) Tính \(\tan15^0\). b) Chứng minh \(2\sin 15^0\cos 15^0=\sin 30^0\). Giải a) \({\cos ^2}{15^0} = 1 - {\left( {\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}} \right)^2}\) \(= \dfrac{{8 + 2\sqrt {12} }}{{16}}\) \(= \dfrac{{{{(\sqrt 6 )}^2} + 2\sqrt 6 \sqrt 2 + {{(\sqrt 2 )}^2}}}{{16}}\) \(= \dfrac{{{{(\sqrt 6 + \sqrt 2 )}^2}}}{{16}}.\) Do \(15^0<90^0\) nên \(\cos 15^0>0\), suy ra \(\cos {15^0} = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\) \(\tan {15^0} = \dfrac{{\sin {{15}^0}}}{{\cos {{15}^0}}}\) \(= \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}\) \(= \dfrac{{{{(\sqrt 6 - \sqrt 2 )}^2}}}{{6 - 2}} = 2 - \sqrt 3 .\) b) \(2\sin {15^0}\cos {15^0} \) \(= 2.\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}.\dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{{42}} \) \(= \dfrac{1}{2} = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{0^0}\). Bài 7 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao. Biết \(\sin x+\cos x=m.\) a) Tìm \(\sin x.\cos x.\) b) Tìm \(\sin^4x+\cos^4x.\) c) Tìm \(\sin^6x+\cos^6 x.\) d) Chứng minh rằng \( - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 \) Giải a) Bình phương hai vế và áp dụng bài 3a) ta có \(\sin x\cos x = \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}\). b) Ta có \(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2}\\ = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\= 1 - \dfrac{{{{({m^2} - 1)}^2}}}{2} = \dfrac{{1 + 2{m^2} - {m^4}}}{2}.\end{array}\) c) Viết lại \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {({\sin ^2}x)^3} + {({\cos ^2}x)^3}\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b).\) Ta có \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {({\sin ^2}x)^3} + {({\cos ^2}x)^3}\) \(= \dfrac{{ - 3{m^4} + 6{m^2} + 1}}{4}.\) d) Từ giả thiết suy ra \(\sin x=m-\cos x.\) Lại có \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\). Từ đó dẫn đến \(\cos x\) là nghiệm của phương trình \(2{t^2} - 2mt + {m^2} - 1 = 0\) nên \(\Delta ' \ge 0\), từ đó suy ra \({m^2} \le 2\) hay \( - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 \). Bài 8 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao. Biết \(\tan a + \cot a = k.\) a) Tìm \(\tan^2a + \cot^2a.\) b) Tìm \(\tan^4a + \cot^4a.\) c) Tìm \(\tan^6a + \cot^6a.\) d) Chứng minh : \(|k|\,\, \ge 2\). Giải a) \({\tan ^2}a + {\cot ^2}a\) \(= {(\tan a + \cot a)^2} - 2\tan a\cot a = {k^2} - 2\) b) \({\tan ^4}a + {\cot ^4}a \) \(= {({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)^2} - 2{\tan ^2}a.{\cot ^2}a\) \(= {({k^2} - 2)^2} - 2 = {k^4} - 4{k^2} + 2.\) c) Ta có \(\begin{array}{l}{\tan ^6}a + {\cot ^6}a \\= {({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)^3} - 3{\tan ^2}a.{\cot ^2}a({\tan ^2}a + {\cot ^2}a)\\= {({k^2} - 2)^3} - 3({k^2} - 2)\\= ({k^2} - 2)({k^4} - 4{k^2} + 1).\end{array}\) d) Thay \(\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}}\) dẫn đến \({\tan ^2}a - k\tan a + 1 = 0\). Vậy \(\tan a\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - kx + 1 = 0\) nên \(\Delta = {k^2} - 4 \ge 0\) hay \(|k| \ge 2\).
