Bài 14 trang 102 SBT Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng sau: a) \(\left\{ \matrix{ x = 1 - 2t \hfill \cr y = 3 + t \hfill \cr} \right.;\) b) \(\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = - 2 - t \hfill \cr} \right.;\) c) \(\left\{ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr y = 6 - 2t \hfill \cr} \right.;\) d) \(\left\{ \matrix{ x = - 2 - 3t \hfill \cr y = 4 \hfill \cr} \right..\) Giải a) \(x+2y-7=0 ;\) b) \(x+y=0 ;\) c) \(x+3=0 ;\) d) \(y-4=0.\) Bài 15 trang 102 SBT Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: a) \(3x-y-2=0 ;\) b) \(-2x+y+3=0;\) c) \(x-1=0;\) d) \(y-6=0.\) Giải a) Cách 1: Lấy hai điểm \(M(0 ; -2) , N(1 ; 1)\) thuộc đường thẳng \(\Delta : 3x - y - 2 = 0\). Khi đó \(\overrightarrow {MN} = (1 ; 3)\) là một vec tơ chỉ phương của \(\Delta \) nên \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\). Cách 2: Cho \(y=t,\) ta được \(x = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}t\). Đường thẳng đã cho có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}t\\y = t\end{array} \right.\). Chú ý: Các phương trình tìm được ở cách 1 và cách 2 tuy khác nhau nhưng đều là các phương trình tham số của cùng một đường thẳng đã cho. b) \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.\) ; c) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\end{array} \right.\) ; d) \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 6\end{array} \right.\). Bài 16 trang 102 SBT Hình học 10 Nâng cao. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau a) \(d\) đi qua \(A( -1 ; 2)\) và song song với đường thẳng \(5x+1=0;\) b) \(d\) đi qua \(B(7 ; -5)\) và vuông góc với đường thẳng \(x+3y-6=0;\) c) \(d\) đi qua \(C(-2 ; 3)\) và có hệ số góc \(k=-3;\) d) \(d\) đi qua hai điểm \(M(3 ; 6)\) và \(N(5 ; -3).\) Giải a) \(d\) song song với đường thẳng \(5x+1=0\) nên nó nhận \(\overrightarrow u (0 ; - 5)\) là một vec tơ chỉ phương. Vậy \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\) và không có phương trình chính tắc. b) \(d\) vuông góc với đường thẳng \(x+3y-6=0\) nên nó nhận vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow u (1 ; 3)\) của đường thẳng này làm vec tơ chỉ phương. Vậy \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = - 5 + 3t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc \( \dfrac{{x - 7}}{1} = \dfrac{{y + 5}}{3}\). c) \(d\) đi qua \(C(-2;3)\) và có hệ số góc \(k=-3\) nên \(d\) có phương trình \(y=-3(x+2)+3\) hay \(3x+y+3=0\). Do đó \(\overrightarrow u ( - 1 ; 3)\) là một vec tơ chỉ phương của \(d.\) Vậy \(d\) có phương trình tham số : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = 3 + 3t\end{array} \right.\) và có phương trình chính tắc \( \dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 3}}{3}\). d) \(\overrightarrow {MN} (2 ; - 9)\) là vec tơ chỉ phương của \(d\) nên \(d\) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 6 - 9t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc : \( \dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 6}}{{ - 9}}\). Bài 17 trang 102 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\left\{ \matrix{ x = {x_1} + at \hfill \cr y = {y_1} + bt \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:\,\left\{ \matrix{ x = {x_2} + ct'. \hfill \cr y = {y_2} + dt'. \hfill \cr} \right.\) (\(x_1, x_2, y_1, y_2\) là các hằng số). Tìm điều kiện của \(a, b, c, d\) để hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) : a) Cắt nhau; b) Song song; c) Trùng nhau; d) Vuông góc với nhau. Giải \(d_1\) đi qua \(M_1(x_1 ; y_1)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (a;b)\), \(d_2\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow v (c;d)\). a) \(d_1\) cắt \(d_2\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \,\,ad - bc \ne 0\). b) \(d_1//d_2\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \)cùng phương và \({M_1}({x_1};{y_1}) \notin {d_2}\) \( \Leftrightarrow ad - bc = 0\) và \(d({x_1} - {x_2}) \ne c({y_1} - {y_2})\). c) \({d_1} \equiv {d_2}\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v \) cùng phương và \({M_1}({x_1}\,;\,{y_1}) \in {d_2}\) \( \Leftrightarrow \,\,ad - bc = 0\) và \(d({x_1} - {x_2}) = c({y_1} - {y_2})\). d) \({d_1} \bot {d_2}\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow ac + bd = 0\). Bài 18 trang 102 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm tọa độ giao điểm của chúng (nếu có): a) \({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 - 3t\end{array} \right. , \) \({\Delta _2}: 2x - y + 1 = 0 ;\) b) \({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.,\) \({\Delta _2}: \dfrac{{x - 2}}{4} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}}.\) c) \({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - t\end{array} \right.,\) \({\Delta _2}: \left\{ \begin{array}{l}x = 4t'\\y = 2 - t'\end{array} \right..\) d) \({\Delta _1}: \dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 3}}{5},\) \({\Delta _2}: \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 18}}{{ - 10}}.\) Giải a)\({\Delta _1}\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (2 ; - 3)\), \({\Delta _2}\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} (1 ; 2)\). \(\overrightarrow {{u_1}} , \overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương nên \({\Delta _1}, {\Delta _2}\) cắt nhau. Tọa độ giao điểm \(M\) của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) ứng với nghiệm \(t\) của phương trình: \(2(1 + 2t) - ( - 3 - 3t) - 1 = 0 \) \( \Leftrightarrow t = - \dfrac{4}{7}\). Suy ra \(M = \left( { - \dfrac{1}{7} ; - \dfrac{9}{7}} \right)\). b) \({\Delta _1}\) // \({\Delta _2}\). c) \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.Tọa độ giao điểm \(N\) của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) ứng với nghiệm \(t , t’\) của hệ phương trình :\(\left\{ \begin{array}{l} - 2 + t = 4t'\\ - t = 2 - t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \dfrac{{10}}{3}\\t' = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\). Thay \(t\) vào phương trình của \({\Delta _1}\) (hoặc thay \(t’\) vào phương trình của \({\Delta _2}\)), ta được tọa độ của \(N\) là \(\left( { - \dfrac{{16}}{3} ; \dfrac{{10}}{3}} \right)\). d) \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\). Bài 19 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\left\{ \matrix{ x = 2 - 3t \hfill \cr y = 1 + t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:\,\left\{ \matrix{ x = - 1 - 2t'. \hfill \cr y = 3 - t'. \hfill \cr} \right.\); a) Tìm tọa độ giao điểm \(M\) của \(d_1\) và \(d_2\). b) Viết phương trinh tham số và phương trình tổng quát của: - Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d_1\); - Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d_2\). Giải a) Tọa độ của \(M\) ứng với nghiệm \(t, t’\) của hệ \(\left\{ \matrix{ 2 - 3t = - 1 - 2t'. \hfill \cr 1 + t = 3 - t'. \hfill \cr} \right.\). Giải hệ ta được \(t = \dfrac{7}{5} , t' = \dfrac{3}{5}\). Từ đó ta tính được \(M = \left( { - \dfrac{{11}}{5} ; \dfrac{{12}}{5}} \right)\). b) \(d_1\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ( - 3 ; 1)\). Đường thẳng \({\Delta _1}\) qua \(M\) và vuông góc với \(d_1\) nên\({\Delta _1}\)có phương trình tổng quát: \( - 3.\left( {x + \dfrac{{11}}{5}} \right) + 1.\left( {y - \dfrac{{12}}{5}} \right) = 0\) hay \(3x-y+9=0.\) Từ phương trình tổng quát, cho \(x=t\), ta được phương trình tham số của \({\Delta _1}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 9 + 3t\end{array} \right.\). Tương tự, đường thẳng \({\Delta _2}\) qua \(M\) và vuông góc với \(d_2\) có phương trình tổng quát : \(2x + y + 2 = 0\) và phương trình tham số : \(\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = - 2 - 2t'\end{array} \right.\). Bài 20 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho đường thẳng \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 2t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) và điểm \(M(3 ; 1).\) a) Tìm điểm \(A\) trên \(\Delta \) sao cho \(A\) cách \(M\) một khoảng bằng \(\sqrt {13} \). b) Tìm điểm \(B\) trên \(\Delta \) sao cho đoạn \(MB\) ngắn nhất. Giải a) Có hai điểm \({A_1}(0 ; - 1), {A_2}(1 ; - 2)\). b) \(MB\) nhỏ nhất khi \(B\) trùng với hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) trên \(\Delta \). \(\Delta \) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u ( - 2 ; 2)\). Vì \(H \in \Delta \) nên \(H=(-2-2t ; 1+2t)\). Ta có \(\overrightarrow {MH} = ( - 5 - 2t ; 2t)\). Do \(MH \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = - 2.( - 5 - 2t) + 2.2t = 0\) hay \(t = - \dfrac{5}{4}\). Vậy \(H = \left( { \dfrac{1}{2} ; - \dfrac{3}{2}} \right)\). Bài 21 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao. Một cạnh tam giác có trung điểm là \(M(-1 ; 1)\). Hai cạnh kia nằm trên các đường thẳng \(2x+6y+3=0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\end{array} \right.\). Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh thứ ba của tam giác. Giải (h.98). Cách 1: Xét tam giác \(ABC\) với phương trình các cạnh \(AB: 2x + 6y + 3 = 0 ,\) \(AC: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\end{array} \right.\) Và \(M(-1 ; 1)\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khi đó, ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{y_B} + {y_C} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\2{x_B} + 6{y_B} + 3 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\{x_C} = 2 - t \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\{y_C} = t \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\end{array} \right.\) Thay \(x_C, y_C\) từ (4), (5) vào (1) (2) và sau đó kết hợp với (3) ta được \(t = \dfrac{7}{4}\). Do đó \(C = \left( { \dfrac{1}{4} ; \dfrac{7}{4}} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {MC} = \left( { \dfrac{5}{4} ; \dfrac{3}{4}} \right) = \dfrac{1}{4}(5 ; 3)\). Phương trình của đường thẳng \(BC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 5t'\\y = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Cách 2: Từ phương trình của \(AB, AC\), ta tìm được tọa độ của \(A\) và suy ra tọa độ của \(D\) (\(D\) đối xứng với \(A\) qua \(M\)). \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AD\) nên \(ABCD\) là hình bình hành, do đó \(DC //AB\). Từ đó viết được phương trình của \(DC\) và tìm được tọa độ của điểm \(C\). Cuối cùng viết được phương trình của \(MC\) (hay phương trình của \(BC\)). Bài 22 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) có phương trình cạnh \(BC\) là \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 3}}{2}\), phương trình các đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) lần lượt là \(3x+y-7=0\) và \(x+y-5=0\). Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh \(AB, AC\). Giải Ta dễ tính được \(B=(2 ; 1),\) \( C=(0 ; 5)\), trọng tâm \(G=(1 ; 4),\) suy ra \(A=(1 ; 6)\). Từ đó viết được phương trình các cạnh \(AB: \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 6 - 5t\end{array} \right. , AC: \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t'\\y = 6 - t'\end{array} \right.\). Bài 23 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao. Lập phương trình các đường thẳng chứa bốn cạnh của hình vuông \(ABCD\) biết đỉnh \(A(-1 ; 2)\) và phương trình của một đường chéo là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2t\end{array} \right.\). Giải (h.99). \(A \in \Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2t\end{array} \right.\). Vậy \(B, D \in \Delta \). \(\Delta \) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (2 ; - 2)\) nên phương trình đường chéo \(AC\) là \(2(x + 1) - 2(y - 2) = 0\) \(\Leftrightarrow x - y + 3 = 0\). Tọa độ giao điểm \(I\) của \(AC\) và \(BD\) ứng với nghiệm t của phương trình: \( - 1 + 2t + 2t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{2}\). Vậy \(I=(-2 ; 1)\). Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(C=(-3 ; 0)\). \(ABCD\) là hình vuông nên \(ID=IA=IB\). Do \(B \in \Delta \) nên \(B = ( - 1 + 2t ; - 2t)\). \(\begin{array}{l}I{B^2} = I{A^2} \\\Leftrightarrow {( - 1 + 2t + 2)^2} + {( - 2t - 1)^2}\\ = {( - 1 + 2)^2} + {(2 - 1)^2}\\\Leftrightarrow {(2t + 1)^2} = 1\end{array}\) \( \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = - 1\). Suy ra \(B=(-1 ; 0)\) hoặc \(B=(-3 ; 2).\) Nếu \(B=(-1 ; 0)\) thì \(D=(-3 ; 2),\) nếu \(B=(-3 ; 2)\) thì \(D=(-1 ; 0).\) Đến đây, biết tọa độ bốn đỉnh của hình vuông \(ABCD\), ta sẽ dễ dàng viết được phương trình bốn cạnh của hình vuông là \(x + 1 = 0 ; y = 0 ; \) \( x + 3 = 0 ; y - 2 = 0 .\) Bài 24 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hai đường thẳng \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 1 + t\end{array} \right. , \Delta ': \left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t'\\y = t'\end{array} \right.\). Viết phương trình đường thẳng đối xứng với \(\Delta \)’ qua \(\Delta \). Giải (h.100). Dễ tìm được giao điểm \(M\) của \(\Delta \) và \(\Delta \)’ có tọa độ là \((-6 ; 4)\). Điểm \(N(-2 ; 0)\) thuộc \(\Delta \)’ và \(N\) khác \(M.\) Đường thẳng \(d\) đi qua \(N\) và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình \( - 2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 4 = 0\). Gọi \(H = d \cap \Delta \), suy ra \(H = \left( { - \dfrac{6}{5} ; \dfrac{8}{5}} \right)\). Do đó tọa độ điểm \(K\) đối xứng với điểm \(N\) qua \(H\) là \(\left( { - \dfrac{2}{5} ; \dfrac{{16}}{5}} \right)\). Đường thẳng cần tìm là đường thẳng \(MK\) và có phương trình \(x+7y-22=0.\) Bài 25 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hai điểm \(A(-1 ; 2), B(3 ; 1)\) và đường thẳng \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t.\end{array} \right.\) Tìm tọa độ điểm \(C\) trên \(\Delta \) sao cho: a) Tam giác \(ABC\) cân. b) Tam giác \(ABC\) đều. Giải a) Phương trình của \(\Delta \) có dạng tổng quát là \(x-y+1=0\). Rõ ràng \(A, B \notin \Delta \). Xét \(C(x ; x + 1) \in \Delta \). \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \( \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2}\) \(\Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(x - 1)^2} = {4^2} + {1^2}\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = 17 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt {30} }}{2}\). Có hai điểm thỏa mãn là \({C_1} = \left( { \dfrac{{\sqrt {30} }}{2} ; \dfrac{{\sqrt {30} + 2}}{2}} \right) ,\) \( {C_2} = \left( { - \dfrac{{\sqrt {30} }}{2} , \dfrac{{2 - \sqrt {30} }}{2}} \right)\). \(\Delta ABC\) cân tại \(B\) \( \Leftrightarrow B{C^2} = B{A^2} \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {x^2} = 17\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x=4.\) Có hai điểm thỏa mãn là \({C_3} = ( - 1 ; 0), {C_4} = (4 ; 5)\). \(\Delta ABC\) cân tại \(C\) \( \Leftrightarrow C{A^2} = C{B^2} \) \( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(x - 1)^2}\) \(= {(x - 3)^2} + {x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{6}\). Có một điểm thỏa mãn là \({C_5} = \left( { \dfrac{7}{6} ; \dfrac{{13}}{6}} \right)\). b) \(\Delta ABC\) đều \(\left\{ \begin{array}{l}CA = CB\\CA = AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{6}\\x = \pm \dfrac{{\sqrt {30} }}{2}\end{array} \right.\) : hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại điểm \(C\) trên \(\Delta \) sao cho tam giác \(ABC\) đều.
