Bài 84 trang 117 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho đường tròn \((C)\) có tâm \(O\) bán kính \(R\) và đường thẳng \(\Delta \) không cắt \((C)\). Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với \(\Delta \) và tiếp xúc ngoài với \((C)\) nằm trên một parabol. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol đó. Giải (h.119). Kẻ \(OH\) vuông góc với \(\Delta \) và kéo dài \(OH\) (về phía \(H\)) một đoạn \(HK=R.\) Dựng đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(K\) và song song với \(\Delta \). Khi đó \(\Delta '\) cố định và không đi qua \(O\). Xét đường tròn \((C’)\) tâm \(I\) tiếp xúc ngoài với \((C)\) tại \(T\) và tiếp xúc với \(\Delta \) tại \(M\). Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(IM\) và \(\Delta '\). Ta có: \(IO = OT + TI \) \(= R + IM = IN = d(I;\Delta ')\). Vậy \(I\) nằm trên paprbol nhận \(O\) làm tiêu điểm và \(\Delta '\) làm đường chuẩn. Bài 85 trang 117 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình chuẩn của các parabol sau: a)\({y^2} = 4x;\) b) \(2{y^2} - x = 0;\) c) \(5{y^2} = 12x;\) d) \({y^2} = \alpha x (\alpha > 0).\) Vẽ các parabol có phương trình ở câu a). Giải a) Phương trình có dạng: \(y^2=2px\) với \(2p=4\). Suy ra \(p=2\). Vậy parabol có : tham số tiêu \(p=2\), đỉnh \(O(0 ; 0),\) tiêu điểm \(F(1 ; 0),\) đường chuẩn \(\Delta : x = - 1\). Parabol được vẽ như hình 120. b) \(2{y^2} - x = 0 \Leftrightarrow {y^2} = \dfrac{1}{2}x , \) \( 2p = \dfrac{1}{2} \Rightarrow p = \dfrac{1}{4}\). Parabol có đỉnh \(O(0 ; 0),\) tiêu điểm \(F\left( { \dfrac{1}{8} ; 0} \right)\), đường chuẩn \(\Delta : x = - \dfrac{1}{8}\). c) \(5{y^2} = 12x \Leftrightarrow {y^2} = \dfrac{{12}}{5}x , \) \( 2p = \dfrac{{12}}{5} \Rightarrow p = \dfrac{6}{5}\). Parabol có đỉnh \(O(0 ; 0),\) tiêu điểm \(F\left( { \dfrac{3}{5} ; 0} \right)\), đường chuẩn \(\Delta : x = - \dfrac{3}{5}\). d) \(2p = \alpha \Rightarrow p = \dfrac{\alpha }{2}\)2. Parabol có đỉnh: \(O(0 ; 0),\) tiêu điểm \(F\left( { \dfrac{\alpha }{4} ; 0} \right)\), đường chuẩn \(\Delta : x = - \dfrac{\alpha }{4} (\alpha > 0)\). Bài 86 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao. Lập phương trình chính tắc của parabol \((P)\) biết a) \((P)\) có tiêu điểm \(F(1 ; 0);\) b) \((P)\) có tham số tiêu \(p=5;\) c) \((P)\) nhận đường thẳng \(d: x=-2\) là đường chuẩn; d) Một dây cung của \((P)\) vuông góc với trục \(Ox\) có độ dài bằng \(8\) và khoảng cách từ đỉnh \(O\) của \((P)\) đến dây cung này bằng \(1.\) Giải Phương trình chính tắc của Parabol có dạng: \({y^2} = 2px\,\,\,\,\, (p > 0)\). a) \(F(1 ; 0)\) là tiêu điểm \( \Rightarrow \dfrac{p}{2} = 1 \Rightarrow p = 2\). Phương trình của (P): \({y^2} = 4x\). b) \({y^2} = 10x\). c) \({y^2} = 8x\). d) Từ giả thiết và do \((P)\) nhận \(Ox\) là trục đối xứng nên \((P)\) đi qua điểm \((1 ; 4)\). Suy ra \(p=8.\) Phương trình của\( (P) : {y^2} = 16x\). Bài 87 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao. a) Dùng định nghĩa parabol để lập phương trình của parabol có tiêu điểm \(F(2 ; 1)\) và đường chuẩn \(\Delta : x+y+1=0.\) b) Chứng minh rằng parabol \((P)\) có tiêu điểm \(F\left( { - \dfrac{b}{{2a}} ; \dfrac{{1 - {b^2} + 4ac}}{{4a}}} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta : y + \dfrac{{1 + {b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0\) có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\). Giải a) Kí hiệu \((P)\) là parabol có tiêu điểm \(F\) và đường chuẩn \(\Delta \). \(\begin{array}{l}M(x ; y) \in (P) \\ \Leftrightarrow MF = d(M ; \Delta ) \\ \Leftrightarrow M{F^2} = {d^2}(M ; \Delta )\\ \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2}\\ = \dfrac{{{{(x + y + 1)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy - 10x - 6y + 9 = 0.\end{array}\) Vậy \((P)\) có phương trình : \({x^2} + {y^2} - 2xy - 10x - 6y + 9 = 0\). b) Xét điểm tùy ý \(M(x ; y) \in (P)\), hãy biến đổi điều kiện \(MF = d(M ; \Delta )\) qua tọa độ, dẫn đến phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\). Bài 88 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho parabol \((P): {y^2} = 4x\). Lập phương trình các cạnh của một tam giác nội tiếp \((P)\) (tam giác có ba đỉnh nằm trên \((P)\)), biết một đỉnh của tam giác trùng với đỉnh của \((P)\) và trực tâm tam giác trùng với tiêu điểm của \((P)\). Giải Phương trình các cạnh của tam giác là: \(y = \pm \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}x , x - 5 = 0\). Bài 89 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho parabol \((P): {y^2} = 2px (p > 0)\) và đường thẳng \(\Delta \) đi qua tiêu điểm \(F\) của \((P)\) và cắt \((P)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\). Gọi \(\alpha = \left( {\overrightarrow i , \overrightarrow {FM} } \right) (0 < \alpha < \pi )\). a) Tính \(FM, FN\) theo \(p\) và \(\alpha \). b) Chứng minh rằng khi \(\Delta \) quay quanh \(F\) thì \( \dfrac{1}{{FM}} + \dfrac{1}{{FN}}\) không đổi. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích \(FM.FN\) khi \(\alpha \) thay đổi. Giải (h.121). Gọi \(H, M’\) thứ tự là hình chiếu của \(M\) trên \(Ox\) và đường chuẩn \(d\) cả parabol \((P)\), còn \(I\) là giao điểm của \(Ox\) và \(d\). Ta có \(\begin{array}{l}MF = MM' = IH.\\\overline {IH} = \overline {IF} + \overline {FH}\\ \Rightarrow IH = p + \overrightarrow {FM} .\overrightarrow i \\= p + MF\cos \alpha \\ \Rightarrow MF = \dfrac{p}{{1 - \cos \alpha }}.\end{array}\) Do \(\left( {\overrightarrow {FN} , \overrightarrow i } \right) = {180^0} - \alpha \) nên tương tự như trên ta cũng có \(NF = \dfrac{p}{{1 - \cos ({{180}^0} - \alpha )}}\) \(= \dfrac{p}{{1 + \cos \alpha }}\) b) \( \dfrac{1}{{FM}} + \dfrac{1}{{FN}} \) \(= \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{p} + \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{p}\) \(= \dfrac{2}{p}\) không đổi. c) \(FM.FN \) \(= \dfrac{p}{{1 - \cos \alpha }}. \dfrac{p}{{1 + \cos \alpha }}\) \(= \dfrac{{{p^2}}}{{1 - {{\cos }^2}\alpha }} \) \(= \dfrac{{{p^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) \(FM.FN\) có giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha \) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \alpha = 1 \Leftrightarrow \Delta \bot Ox\). Bài 90 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho parabol \((P)\) có đường chuẩn \(\Delta \) và tiêu điểm \(F\). Gọi \(M, N\) là hai điểm trên \((P)\) sao cho đường tròn đường kính \(MN\) tiếp xúc với \(\Delta \). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) đi qua \(F.\) Giải (h.122). Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\) còn \(M’, I’, N’\) theo tứ tự là hình chiếu cuông góc của \(M, I, N\) trên \(\Delta \). Khi đó \(II' = \dfrac{1}{2}(MM' + NN')\) \(= \dfrac{1}{2}(MF + NF)\) (1) (do \(M, N \in (P)\)). Vì đường tròn đường kính \(MN\) (tâm là \(I\)) tiếp xúc với \(\Delta \) nên \(II' = \dfrac{1}{2}MN\). (2) Từ (1) và (2) suy ra \9MN=MF+NF.\) Vậy \(M, F, N\) thẳng hàng. Bài 91 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho parabol \((P): {y^2} = x\) và hai điểm \(A(1 ; -1), B(9 ; 3)\) nằm trên \((P)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cung \(AB\) của \((P)\) (phần của \((P)\) bị chắn bởi dây \(AB\)). Xác định vị trí của \(M\) trên cung \(AB\) sao cho tam giác \(MAB\) có diện tích lớn nhất. Giải (h.123). Phương trình đường thẳng \(AB: x-2y-3=0.\) Vì \(M(x ; y)\) nằm trên cung \(AB\) của \((P)\) nên \( - 1 \le y \le 3\).Ta có: \(\begin{array}{l}{S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d(M ; AB)\\ = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{{(9 - 1)}^2} + {{(3 + 1)}^2}} . \dfrac{{|x - 2y - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\\ = 2.|x - 2y - 3| = 2|{y^2} - 2y - 3|\end{array}\) Ta có \(f(y) = {y^2} - 2y - 3 \) \(= {(y - 1)^2} - 4 \ge - 4\). Suy ra \(f(y)\) nhỏ nhất bằng \(-4\) khi và chỉ khi \(y=1\). Mặt khác, \(f(-1)=f(3)=0\). Do đó trên đoạn \([-1 ; 3],\) hàm số \(|{y^2} - 2y - 3|\) lớn nhất bằng \(4\) khi và chỉ khi \(y=1\). Vậy \(S_MAB\) lớn nhất bằng \(8\) khi và chỉ khi \(M=(1 ; 1).\) Bài 92 trang 119 SBT Hình học 10 Nâng cao. Qua một điểm \(A\) cố định trên trục đối xứng của parabol \((P)\), ta vẽ một đường thẳng cắt \((P)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ \(M\) và \(N\) tới trục đối xứng của \((P)\) là hằng số. Giải (h.124). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) thích hợp sao cho parabol \((P)\) có phương trình : \({y^2} = 2px (p > 0)\) và \(A(a ; 0)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có phương trình : \(\alpha (x - a) + \beta y = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\). Khi đó tung độ các giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và (P) là nghiệm của phương trình: \(\begin{array}{l}\alpha . \dfrac{{{y^2}}}{{2p}} + \beta y - \alpha a = 0\\ \Leftrightarrow \alpha {y^2} + 2p\beta y - 2p\alpha a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\) Rõ ràng \(\alpha \ne 0\), vì nếu \(\alpha = 0\) thì đường thẳng \(\Delta \) trùng với trục hoành và chỉ cắt \((P)\) tại một điểm. Do đó \(|{y_M}|.|{y_N}| = |{y_M}.{y_N}|\) \(= \left| { - \dfrac{{2p\alpha a}}{\alpha }} \right| = 2p|a|\). Bài 93 trang 119 SBT Hình học 10 Nâng cao. Trên hình 90, cạnh \(DC\) của hình chữ nhật \(ABCD\) được chia thành \(n\) đoạn bằng nhau bởi các điểm chia \(C_1, C_2,…,C_{n-1}\), cạnh \(AD\) cũng được chia thành \(n\) đoạn bằng nhau bởi các điểm chia \(D_1, D_2, …, D{n-1}\). Gọi \(I_k\) là giao điểm của đoạn \(AC_k\) với đường thẳng qua \(D_k\) và song song với \(AB\). Chứng minh rằng các điểm \(I_k (k=1, 2,…,n-1)\) nằm trên parabol có đỉnh \(A\) và trục đối xứng là \(AB.\) Giải Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O\) trùng với \(A, AB\) nằm trên tia \(Ox, AD\) nằm trên tia \(Oy\). Đặt \(AB=a, AD=b.\) Hãy tìm tọa độ của \(I_k\) và chứng minh \(I_k\) nằm trên parabol có phương trình dạng: \({y^2} = 2px (p > 0)\).
