Bài 94 trang 120 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xác định tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các cônic sau: a) \( \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1;\) b) \( \dfrac{{{x^2}}}{{15}} - \dfrac{{{y^2}}}{{20}} = 1;\) c) \({y^2} = 6x.\) Giải a) Đây là elip có \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 4 \Rightarrow c = 2\), ta có các tiêu điểm : \({F_1}( - 2 ; 0) , {F_2}(2 ; 0)\), các đường chuẩn: \(x = \pm \dfrac{{{a^2}}}{c} = \pm 4\). b) Đây là hypebol có \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 35 \Rightarrow c = \sqrt {35} \), ta có tiêu điểm : \({F_1}( - \sqrt {35} ; 0), {F_2}(\sqrt {35} ; 0)\), các đường chuẩn : \(x = \pm \dfrac{{{a^2}}}{c} = \pm \dfrac{{15}}{{\sqrt {35} }}\). c) Đây là parabol có p=3, ta có tiêu điểm : \(F\left( { \dfrac{3}{2} ; 0} \right)\), đường chuẩn: \(x = - \dfrac{3}{2}\). Bài 95 trang 120 SBT Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình của các đường cônic trong mỗi trường hợp sau: a) Tiêu điểm \(F(3 ; 1),\) đường chuẩn \(\Delta : x=0\) và tâm sai \(e=1.\) b) Tiêu điểm \(F(-1 ; 4),\) đường chuẩn ứng với tiêu điểm \(F\) là \(\Delta :y=0\) và tâm sai \(e = \dfrac{1}{2}\). c) Tiêu điểm \(F(2 ; -5),\) đường chuẩn ứng với tiêu điểm \(F\) là \(\Delta : y=x\) và tâm sai \(e=2.\) d) Tiêu điểm \(F(-3 ; -2),\) đường chuẩn ứng với tiêu điểm \(F\) là \(\Delta : x-2y+1=0\) và tâm sai \(e = \sqrt 3 \). Giải a) Gọi \(M(x ; y)\) thuộc cônic. Khi đó, \(MF = e.d(M ; \Delta )\) \(\Leftrightarrow M{F^2} = {e^2}.{d^2}(M ; \Delta )\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = {x^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} - 6x - 2y + 10 = 0.\end{array}\) b) \({x^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} + 2x - 8y + 17 = 0\). c) \({x^2} + {y^2} - 4xy + 4x - 10y - 29 = 0\). d) \(2{x^2} - 7{y^2} + 12xy + 24x + 32y + 62 = 0\) Bài 96 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao. Chứng minh rằng mỗi đường chuẩn của hypebol luôn đi qua chân các đường vuông góc kẻ từ tiêu điểm tương ứng tới hai đường tiệm cận. Giải (h.125). Xét hypebol \((H): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((H)\) có Các tiêu điểm : \({F_1}( - c ; 0) , {F_2}(c ; 0)\). Các đường chuẩn: \({d_1}: x = - \dfrac{a}{e} = - \dfrac{{{a^2}}}{c} , \) \( {d_2}: x = \dfrac{a}{e} = \dfrac{{{a^2}}}{c}\) Các tiệm cận : \(\begin{array}{l}{\Delta _1}: y = - \dfrac{b}{a}x \Leftrightarrow \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 0\\{\Delta _2}: y = \dfrac{b}{a}x \Leftrightarrow \dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b} = 0.\end{array}\) Gọi \(H = {d_2} \cap {\Delta _2}\). Suy ra tọa độ của \(H\) bằng \(\left( { \dfrac{{{a^2}}}{c} ; \dfrac{{ab}}{c}} \right)\).Do đó \(\begin{array}{l}\overrightarrow {OH} = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{c} ; \dfrac{{ab}}{c}} \right) ; \\ \overrightarrow {H{F_2}} = \left( {c - \dfrac{{{a^2}}}{c} ; - \dfrac{{ab}}{c}} \right).\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {H{F_2}} \\ = \dfrac{{{a^2}}}{c}\left( {c - \dfrac{{{a^2}}}{c}} \right) + \dfrac{{ab}}{c}\left( { - \dfrac{{ab}}{c}} \right)\\= {a^2} - \dfrac{{{a^4}}}{{{c^2}}} - \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}}\\ = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \\= {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}}.{c^2} = 0\end{array}\) Vậy \(OH \bot {F_2}H\). Do \((H)\) nhận \(Ox, Oy\) làm các trục đối xứng và \({\Delta _1} , {\Delta _2}\) cũng nhận \(Ox, Oy\) làm các trục đối xứng nên ta suy ra điều cần chứng minh. Bài 97 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm \(F(c ; 0)\) của elip \((E): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((a>b>0)\) và cắt nó tại hai điểm \(A, B\). Chứng minh rằng đường tròn đường kính \(AB\) không có điểm chung với đường chuẩn :\(x = \dfrac{a}{e}\). Giải (h.126). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB; A’, B’, I’\) lần lượt là hình chiếu của \(A, B, I\) trên đường chuẩn \({d_2}: x = \dfrac{{{a^2}}}{c}\). Ta sẽ chứng minh: \(II' > \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow AA' + BB' > AB\). Ta có \(AB = AF + BF = e.AA' + e.BB' \) \(= e(AA' + BB') < AA' + BB' = 2II'\) (do \(e<1\)). Suy ra điều cần chứng minh. Bài 98 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hypebol \((P): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và \(F(c ; 0)\) là một tiêu điểm của \((H)\). Một đường thẳng đi qua \(F\) và cắt \((H)\) tại hai điểm \(A, B\). Chứng minh rằng đường tròn đường kính \(AB\) cắt đường chuẩn : \(x = \dfrac{a}{e}\) của \((H).\) Giải (h.127). Làm tương tự như bài 97, ta cũng được: \(AB = e(AA' + BB') > AA' + BB'\) \(= 2II'\) Vậy đường trò đường kính \(AB\) luôn cắt đường chuẩn \(d: x = \dfrac{a}{e}\). Bài 99 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho \(A, B\) là hai điểm trên parabol \((P): {y^2} = 2px\) sao cho tổng các khoảng cách từ \(A\) và \(B\) tới đường chuẩn của \((P)\) bằng độ dài \(AB\). Chứng minh rằng \(AB\) luôn đi qua tiêu điểm của \((P).\) Giải (h.128). Gọi \(A’, B’\) thứ tự là hình chiếu của \(A, B\) trên đường chuẩn \(\Delta \) của \((P); F\) là tiêu điểm của \((P)\). Ta có \(A, B \in (P) \Rightarrow AF = d(A ; \Delta ) = AA' , \) \(BF = d(B ; \Delta ) = BB'\). Suy ra \(AF+BF=AA’+BB’=AB.\) Vậy \(A, B, F\) thẳng hàng hay \(AB\) đi qua \(F.\)
