Bài 100 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 1 ; 1), \) \( B(3 ; 2),\) \( C\left( { - \dfrac{1}{2} ; - 1} \right)\). a) Tính các cạnh của tam giác \(ABC.\) Từ đó suy ra dạng của tam giác; b) Viết phương trình đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác trong của tam giác kẻ từ đỉnh \(A;\) c) Xác định tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\) Giải a) Ta có \(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{(3 + 1)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} = \sqrt {17} ; \\AC = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2} + 1} \right)}^2} + {{( - 1 - 1)}^2}} \\ = \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\\BC = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2} - 3} \right)}^2} + \left( { - 1 - {2^2}} \right)} \\= \dfrac{{\sqrt {85} }}{2}\\B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = \dfrac{{85}}{4}\end{array}\) Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) b), c) : Học sinh tự làm. Bài 101 trang 121 SBT Hình học Nâng cao. Cho hai đường thẳng: \(\begin{array}{l}{\Delta _1}: (m + 1)x - 2y - m - 1 = 0\\{\Delta _2}: x + (m - 1)y - {m^2} = 0\end{array}\) a) Tìm tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). b) Tìm điều kiện của \(m\) để giao điểm đó nằm trên trục \(Oy.\) Giải a) Ta có \(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1}&{ - 2}\\1&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} + 1,\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - m - 1}\\{m - 1}&{ - {m^2}}\end{array}} \right| = 3{m^2} - 1,\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m - 1}&{m + 1}\\{ - {m^2}}&1\end{array}} \right| \\= {m^3} + {m^2} - m - 1.\end{array}\) \(D = {m^2} + 1 \ne 0\)với mọi \(m\) nên \({\Delta _1}, {\Delta _2}\) luôn cắt nhau và giao điểm \(K\) của chúng có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_K} = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{3{m^2} - 1}}{{{m^2} + 1}}\\{y_K} = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{{m^3} + {m^2} - m - 1}}{{{m^2} + 1}}\end{array} \right.\) b) \(K \in Oy \Leftrightarrow \dfrac{{3{m^2} - 1}}{{{m^2} + 1}} = 0 \) \( \Leftrightarrow 3{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\). Bài 102 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm \(A(0 ; a), B(b ; 0), C(c ; 0)\) (\(a, b, c\) là ba số khác \(0\) và \(b \ne c\)). Đường thẳng \(y=m\) cắt các đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\) lần lượt ở \(M\) và \(N.\) a) Tìm tọa độ của \(M\) và \(N.\) b) Gọi \(N’\) là hình chiếu (vuông góc) của \(N\) trên \(Ox\) và \(I\) là trung điểm của \(MN’\). Tìm tập hợp các điểm \(I\) khi \(m\) thay đổi. Giải (h.129). a) Phương trình đường thẳng \(AB:\) \( \dfrac{x}{b} + \dfrac{y}{a} = 1\). Phương trình đường thẳng \(AC:\) \( \dfrac{x}{c} + \dfrac{y}{a} = 1\). Toạ độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{b} + \dfrac{y}{a} = 1\\y = m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = b - \dfrac{b}{a}m\\y = m\end{array} \right.\) hay \(M = \left( {b - \dfrac{b}{a}m ; m} \right)\). Tọa độ của điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{c} + \dfrac{y}{a} = 1\\y = m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = c - \dfrac{c}{a}m\\y = m\end{array} \right.\) hay \(N = \left( {c - \dfrac{c}{a}m ; m} \right)\). b) N’ có tọa độ \(\left( {c - \dfrac{c}{a}m ; 0} \right)\). Giả sử \(I = ({x_0} ; {y_0})\), khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{b + c}}{2} - \dfrac{{b + c}}{{2a}}m\\{y_0} = \dfrac{m}{2}.\end{array} \right. (1)\) (1) chứng tỏ \(I\) thuộc đường thẳng có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{b + c}}{2} - \dfrac{{b + c}}{{2a}}m\\y = \dfrac{m}{2}\end{array} \right.\) với m là tham số (2) Vì các giao điểm \(M\) và \(N\) chỉ tồn tại khi \(0 \le m \le a\) nếu \(a \ge 0\), hoặc \(0 \ge m \ge a\) nếu \(a<0,\) nên tập hợp các điểm \(I\) là một đoạn thẳng thuộc đường thẳng (2) ứng với \(m\) nằm trong đoạn \([0 ; a]\) nếu \(a \ge 0\), hoặc \([a ; 0]\) nếu \(a<0.\) Bài 103 trang 122 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 21 = 0\) và điểm \(M(4 ; 5).\) a) Chứng minh rằng điểm \(M\) nằm trên đường tròn \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M;\) b) Viết phương trình đường tròn đối xứng với \((C)\) qua đường thẳng \(y=x.\) Giải a) \((C)\) có tâm \(I(4 ; 3)\), bán kính \(R=2\). Dễ thấy tọa độ của M thỏa mãn phương trình của \((C)\) nên \(M\) nằm trên \((C)\). Ta cũng viết được phương trình của \((C)\) tại \(M\) là \(y-5=0.\) b) Đường tròn \((C’)\) đối xứng với \((C)\) qua đường thẳng \(\Delta : y = x\) khi \((C’)\) có bán kính bằng \(2\) và có tâm \(I’\) đối xứng với \(I\) qua \(\Delta \). Ta tìm được \(I’=(3 ; 4)\) và viết được phương trình của \((C’)\) là \({(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = 4\). Bài 104 trang 122 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} = {R^2}\) và điểm \(M(x_0 ; y_0)\) nằm ngoài \((C)\). Từ \(M\) ta kẻ hai tiếp tuyến \(MT_1\) và \(MT_2\) tới \((C)\) (\(T_1, T_2\) là các tiếp điểm). a) Viết phương trình đường thẳng \(T_1T_2;\) b) Giả sử \(M\) chạy trên một đường \(d\) cố định không cắt \((C)\). Chứng minh rằng đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua một điểm cố định. Giải (h.130). Giả sử \({T_1} = ({x_1} ; {y_1}) , {T_2} = ({x_2} ; {y_2})\). Đường tròn \((C)\) có tâm \(O(0 ; 0)\), bán kính \(R.\) Phương trình tiếp tuyến \(MT_1\) có dạng \({x_1}x + {y_1}y = {R^2}\) và tiếp tuyến \(MT_2\) có dạng \(\begin{array}{l}{x_2}x + {y_2}y = {R^2}\\M \in M{T_1} , M \in M{T_2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_0} + {y_1}{y_0} = {R^2}\\{x_2}{x_0} + {y_2}{y_0} = {R^2}.\end{array} \right.\end{array}\) Suy ra \(({x_1} ; {y_1}) , ({x_2} ; {y_2})\) là các nghiệm của phương trình \({x_0}x + {y_0}y = {R^2}\). (1) Vì \(M\) nằm ngoài \((C)\) nên \(x_0^2 + y_0^2 > 0\), do đó (1) là phương trình đường thẳng. Vậy phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) là \({x_0}x + {y_0}y - {R^2} = 0\). b) Xét trường hợp đường thẳng cố định \(d\) có phương trình dạng: \(x = a (|a| > R)\). Khi đó \(M=(a ; y_0)\) phương trình \(T_1T_2\) là \(ax + {y_0}y - {R^2} = 0\). Dễ thấy đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua điểm cố định \(\left( { \dfrac{{{R^2}}}{a} ; 0} \right)\). Xét trường hợp đường thẳng \(d\) có phương trình dạng \(y=kx+m\). Do \(d\) không cắt \((C)\) nên \(m \ne 0\). Ta có \(M = ({x_0} ; k{x_0} + m)\). Phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) là \({x_0}x + (k{x_0} + m)y - {R^2} = 0\) hay \({x_0}(x + ky) + my - {R^2} = 0\). Ta tìm được điểm cố định mà đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua là \(\left( { \dfrac{{ - k{R^2}}}{m} ; \dfrac{{{R^2}}}{m}} \right)\). Bài 105 trang 122 SBT Hình học 10 Nâng cao. Các hành tinh và các sao chổi trong hệ Mặt Trời có quỹ đạo là các đường elip nhận tâm Mặt Trời làm một tiêu điểm. Điểm gần Mặt Trời nhất trên quỹ đạo gọi là điểm cận nhất. Điểm xa Mặt Trời nhất trên quỹ đạo gọi là điểm viễn nhật. Các điểm này là các đỉnh trên trục lớn của quỹ đạo (h.91). a) Tìm tâm sai của quỹ đạo Trái Đất biết rằng tỉ số các khoảng cách từ điểm cận nhất đếnMặt Trời và từ điểm viễn nhất đến Mặt Trời là \( \dfrac{{59}}{{61}}\). b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khi Trái Đất ở điểm cận nhất, ở điểm viễn nhất, biết rằng quỹ đạo có độ dài nửa trục lớn là \(93000000\) dặm. Giải a) Gọi \(m, n\) thứ tự là các khoảng cách từ điểm viễn nhật và điểm cận nhật đến Mặt Trời. khi đó tâm sai của quỹ đạo Trái Đất là: \(e = \dfrac{{2c}}{{2a}} = \dfrac{{(a + c) - (a - c)}}{{a + c + a - c}} \) \(= \dfrac{{m - n}}{{m + n}} = \dfrac{{1 - \dfrac{n}{m}}}{{1 + \dfrac{n}{m}}}\) \(= \dfrac{{1 - \dfrac{{59}}{{61}}}}{{1 + \dfrac{{59}}{{61}}}} = \dfrac{1}{{60}}\). b) Theo câu a), ta có \(e = \dfrac{1}{{60}} = \dfrac{c}{a} \) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{60}} = \dfrac{c}{{93000000}} \Rightarrow c = 1550000\). Khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời là: \(a-c=91450000\) (dặm). Khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời là: \(a+c=94550000\) (dặm). Bài 106 trang 122 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho elip \((E): \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\) và hai điểm \(M( - 2 ; m), N(2 ; n)\,\,\,\, (m \ne - n)\). a) Xác định tâm sai, tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình đường chuẩn của \((E).\) b) Gọi \(A_1\) và \(A_2\) là các đỉnh trên trục lớn của \((E)\) (\({x_{{A_1}}} < {x_{{A_2}}}\)). Hãy viết phương trình của các đường thẳng \(A_1N\) và \(A_2M\). Xác định tọa độ giao điểm \(I\) của chúng. c) Biết đường thẳng \(MN\) thay đổi nhưng luôn cắt \((E)\) tại một điểm duy nhất. Tìm tập hợp các giao điểm. Giải (h.131). a) \({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2 ,\) \( {b^2} = 1 \Rightarrow b = 1 ,\) \( {c^2} = {a^2} - {b^2} = 3 \Rightarrow c = \sqrt 3 \). \((E)\) có: Các tiêu điểm : \({F_1}( - \sqrt 3 ;0) , {F_2}(\sqrt 3 ; 0)\). Các đỉnh \({A_1}( - 2 ; 0) , \) \( {A_2}(2 ; 0),\) \( {B_1}(0 ; - 1) ,\) \( {B_2}(0 ; 1)\). Tâm sai \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\). Các đường chuẩn : \(x = \pm \dfrac{a}{e} = \pm \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\). b) Phương trình đường thẳng \({A_1}N: nx - 4y + 2n = 0\). Phương trình đường thẳng \({A_2}M: mx + 4y - 2m = 0\). Tọa độ giao điểm \(I\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}nx - 4y + 2n = 0\\mx + 4y - 2m = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2(m - n)}}{{m + n}}\\y = \dfrac{{mn}}{{m + n}}\end{array} \right.\). Vậy \(I = \left( { \dfrac{{2(m - n)}}{{m + n}} ; \dfrac{{mn}}{{m + n}}} \right)\). c) Phương trình đường thẳng \(MN:\) \((n - m)x - 4y + 2(m + n) = 0\). \(MN\) cắt \((E)\) tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}(n - m)x - 4y + 2(m + n) = 0\,\,\,(1)\\ \dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\) có đúng một nghiệm. \((1) \Rightarrow y = \dfrac{1}{4}[(n - m)x + 2(m + n)]\), thay \(y\) vào (2), ta được: \(\begin{array}{l}{x^2} + 4. \dfrac{1}{{16}}{[(n - m)x + 2(m + n)]^2} = 4\\ \Leftrightarrow [{(n - m)^2} + 4]{x^2} + 4({n^2} - {m^2})x \\+ 4{(m + n)^2} - 16 = 0\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}\) (3) có một nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' = 0\) hay \(\begin{array}{l}4{({n^2} - {m^2})^2} - [{(n - m)^2} + 4]\\.[4{(n + m)^2} - 16] = 0\\ \Leftrightarrow mn = 1. \,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array}\) Suy ra tọa độ của I là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2(m - n)}}{{m + n }}\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\\y = \dfrac{{mn}}{{m + n}} = \dfrac{1}{{m + n}}\,\,\,\,\,\,\,(6)\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}(5) \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{4} = \dfrac{{{{(m - n)}^2}}}{{{{(m + n)}^2}}}\\ = \dfrac{{{m^2} - 2mn + {n^2}}}{{{{(m + n)}^2}}}\\(6) \Rightarrow 4{y^2} = \dfrac{{4mn}}{{{{(m + n)}^2}}}.\end{array}\) Do đó \( \dfrac{{{x^2}}}{4} + 4{y^2} = 1\). Vậy tập hợp các giao điểm \(I\) là elip \((E’)\) có phương trình: \( \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} = 1\). Bài 107 trang 123 SBT Hình học 10 Nâng cao. (Hệ thống định vị Hypebolic). Hai thiết bị dùng để ghi âm một vụ nổ đặt cách nhau \(1\) dặm. Thiết bị \(A\) ghi được âm thanh vụ nổ trước thiết bị \(B\) là \(2\) giây. Biết vận tốc của âm thanh là \(1100feet/s\), tìm các vị trí mà vụ nổ có thế xảy ra (\(1\) dặm\(=5280 feet\), \(3 feet=0,914 m\)). Giải Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) mà \(Ox\) đi qua \(A\) và \(B, Oy\) là đường trung trực của \(AB\) như hình 132a. Kí hiệu \(d_1\) là quãng đường âm thanh đi được từ vụ nổ đến thiết bị \(A, d_2\) là quãng đường âm thanh đi được từ vụ nổ đến thiết bị \(B, d_1\) và \(d_2\) tính theo \(feet\). Khi đó, do thiết bị \(A\) nhận âm thanh nhanh hơn thiết bị \(B\) \(2\) giây nên ta có: \({d_2} - {d_1} = 2200. \) (1) Các điểm thỏa mãn (1) nằm trên một nhánh của hypebol có phương trình:\( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Ta có: \(c = \dfrac{{5280}}{2} = 2640 ,\) \( a = \dfrac{{2200}}{2} = 1100,\) \( {b^2} = {c^2} - {a^2} = 5759600\). Vậy vụ nổ nằm trên một nhánh của hypebol có phương trình: \( \dfrac{{{x^2}}}{{1210000}} - \dfrac{{{y^2}}}{{5759600}} = 1\). Bài 108 trang 123 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hypebol \((H): \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) và có hệ số góc \(k, \Delta \)’ là đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với \(\Delta \). a) Xác định tọa độ các tiêu điểm, tâm sai, phương trình các đường tiệm cận và đường chuẩn của \((H);\) b) Tìm điều kiện của \(k\) để cả \(\Delta \) và \(\Delta' \) đều cắt \((H);\) c) Tứ giác với bốn đỉnh là bốn giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta' \) với \((H)\) là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác này theo \(k ;\) d) Xác định \(k\) để diện tích tứ giác nói ở câu c) có giá trị nhỏ nhất. Giải a) \({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2 ,\) \({b^2} = 9 \Rightarrow b = 3 , \) \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 13 \Rightarrow c = \sqrt {13} \). Vậy \((H)\) có các tiêu điểm: \({F_1}( - \sqrt {13} ; 0) , {F_2}(\sqrt {13} ; 0)\), tâm sai \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\), các đường tiệm cận: \(y = \pm \dfrac{{bx}}{a} = \pm \dfrac{3}{2}x\), các đường chuẩn : \(x = \pm \dfrac{a}{e} = \pm \dfrac{4}{{\sqrt {13} }}\). b) Từ giả thiết suy ra \(\Delta : y = kx, \Delta ': y = - \dfrac{1}{k}x\). Hoành độ giao điểm của \(\Delta \) và \((H)\) là nghiệm của phương trình: \(9{x^2} - 4{k^2}{x^2} = 36\) \( \Leftrightarrow (9 - 4{k^2}){x^2} = 36.\) (1) Tung độ giao điểm của \(\Delta '\) và \((H)\) là nghiệm của phương trình: \(9{k^2}{y^2} - 4{y^2} = 36 \) \( \Leftrightarrow (9{k^2} - 4){y^2} = 36\). (2) \(\Delta \) cắt \((H)\) khi và chỉ khi (1) có nghiệm, hay \(9 - 4{k^2} > 0 \Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} < k < \dfrac{3}{2}\). \(\Delta '\) cắt \((H)\) khi và chỉ khi (2) có nghiệm, hay \(9{k^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > \dfrac{2}{3}\\k < - \dfrac{2}{3}.\end{array} \right.\) Vậy \(\Delta \) và \(\Delta '\) đều cắt \((H)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{3}{2} < k < \dfrac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}k < - \dfrac{2}{3}\\k > \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \dfrac{3}{2} < k < - \dfrac{2}{3}\\ \dfrac{2}{3} < k < \dfrac{3}{2}.\end{array} \right.\) c) Gọi \(A\) và \(C\) là các giao điểm của \(\Delta \) và \((H) (x_A > 0)\); \(B\) và \(D\) là các giao điểm của \(\Delta '\) và \((H) (y_B < 0).\) Do \((H)\) nhận \(O\) làm tâm đối xứng, nên \(OA=OC, OB=OD\), do đó \(ABCD\) là hình bình hành. Lại có \(AC\) vuông góc với \(BD\) nên \(ABCD\) là hình thoi. Giải hệ các phương trình của \(\Delta \) và \((H)\): \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = kx\end{array} \right.\), ta được \(A = \left( { \dfrac{6}{{\sqrt {9 - 4{k^2}} }} ; \dfrac{{6k}}{{\sqrt {9 - 4{k^2}} }}} \right)\). Giải hệ các phương trình của \(\Delta '\) và \((H)\) : \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = - \dfrac{1}{k}x\end{array} \right.\), ta được \(B = \left( { \dfrac{{6k}}{{\sqrt {9{k^2} - 4} }} ; \dfrac{{ - 6}}{{\sqrt {9{k^2} - 4} }}} \right)\). Ta có : \(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 4{S_{OAB}} = 2OA.OB.\\O{A^2} = x_A^2 + y_A^2 = \dfrac{{36({k^2} + 1)}}{{9 - 4{k^2}}} \\ \Rightarrow OA = \dfrac{{6\sqrt {1 + {k^2}} }}{{\sqrt {9 - 4{k^2}} }}\\O{B^2} = x_B^2 + y_B^2 = \dfrac{{36({k^2} + 1)}}{{9{k^2} - 4}} \\ \Rightarrow OB = \dfrac{{6\sqrt {{k^2} + 1} }}{{\sqrt {9{k^2} - 4} }}\\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{72({k^2} + 1)}}{{\sqrt {(9 - 4{k^2})(9{k^2} - 4)} }}\end{array}\). d) Ta có \( \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{{9 - 4{k^2} + 9{k^2} - 4}}{{36(1 + {k^2})}}\) \(= \dfrac{5}{{36}}\). Vậy \( \dfrac{1}{{O{A^2}}}. \dfrac{1}{{O{B^2}}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow OA = OB\). Mà \( \dfrac{1}{{O{A^2}}}. \dfrac{1}{{O{B^2}}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow OA.OB\) nhỏ nhất \({S_{ABCD}}\) nhỏ nhất. Vậy \(S_ABCD\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow 9 - 4{k^2} = 9{k^2} - 4 \) \( \Leftrightarrow k = \pm 1\). Vậy diện tích hình thoi \(ABCD\) nhỏ nhất khi các đường thẳng \(\Delta , \Delta '\) là các đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Bài 109 trang 123 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho parabol \((P):\,{y^2} = 2px\,\,(p > 0)\). a) Tìm độ dài của dây cung vuông góc với trục đối xứng của \((P)\) tại tiêu điểm \(F\) của \((P)\). b) \(A\) là một điểm cố định trên \((P)\). Một góc vuông \(uAt\) quay quanh đỉnh \(A\) có các cạnh cắt \((P)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng đường thẳng \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định. Giải a) (h.134). Gọi \(M , N\) là các giao điểm của \((P)\) và đường thẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(F\). Khi đó, toạ độ của \(M, N\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{p}{2}\\{y^2} = 2px\end{array} \right.\) Hệ có hai nghiệm là \(\left( { \dfrac{p}{2} ; p} \right) , \left( { \dfrac{p}{2} ; - p} \right)\). Vậy \(MN = |{y_M}| + |{y_N}| = 2p\). b) (h.135). Giả sử \(A = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} ; a} \right) ,\) \( B = \left( { \dfrac{{{b^2}}}{{2p}} ; b} \right) , \) \( C = \left( { \dfrac{{{c^2}}}{{2p}} ; c} \right)\). Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(\begin{array}{l}2px - (b + c)y + bc = 0. (1)\\\overrightarrow {AB} = \left( { \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2p}} ; b - a} \right) ,\\\overrightarrow {AC} = \left( { \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{{2p}} ; c - a} \right).\\\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 0 \\ \Leftrightarrow ({b^2} - {a^2})({c^2} - {a^2})\\ + 4{p^2}(b - a)(c - a) = 0\\ \Leftrightarrow (b + a)(c + a) + 4{p^2} = 0\\ \Leftrightarrow bc + a(b + c) + {a^2} + 4{p^2} = 0. (2)\end{array}\) Rút \(bc\) từ (2) thay vào (1), ta được phương trình của \(BC\) là \(2px - {a^2} - 4{p^2} - (b + c)(y + a) = 0\) (3) Dễ thấy đường thẳng \(BC\) có dạng (3) luôn đi qua điểm cố định \(M = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} + 2p ; - a} \right)\).
Bài 1 trang 123 SBT Hình học 10 nâng cao Đường thẳng đi qua \(A(1 ; -2)\) và nhận \(\overrightarrow n = ( - 2 ; 4)\) là vec tơ pháp tuyến có phương trình là: A. \(x+2y+4=0 ;\) B. \(x-2y+4=0 ;\) C. \(x-2y-5=0 ;\) D. \(-2x+4y=0.\) Giải Chọn (C). Bài 2 trang 124 SBT Hình học 10 nâng cao Đường thẳng đi qua \(B(2 ; 1)\) và nhận \(\overrightarrow n = (1 ; - 1)\) là vec tơ chỉ phương có phương trình là: A. \(x-y-1=0 ;\) B. \(x+y-3=0 ;\) C. \(x-y+5=0 ;\) D. \(x+y-1=0 .\) Giải Chọn (B). Bài 3 trang 124 SBT Hình học 10 nâng cao Đường thẳng đi qua \(C(3 ; -2)\) và có hệ số góc \(k = \dfrac{2}{3}\) có phương trình là A. \(2x+3y=0 ;\) B. \(2x-3y-9=0 ;\) C. \(3x-2y-13=0 ;\) D. \(2x-3y-12=0 .\) Giải Chọn (D). Bài 4 trang 124 SBT Hình học 10 nâng cao Cho đường thẳng d có phương trình tham số là : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của \(d\) là A. \(3x-y+5=0 ;\) B. \(x+3y=0 ;\) C. \(x+3y-5=0 ;\) D. \(3x-y+2=0 .\) Giải Chọn (C). Bài 5 trang 124 SBT Hình học 10 nâng cao Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát \(4x+5y-8=0\). Phương trình tham số của \(d\) là A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 5t\\y = 4t\end{array} \right.;\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 5t\end{array} \right.;\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4t\end{array} \right.;\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = - 4t\end{array} \right..\) Giải Chọn (D). Bài 6 trang 124 SBT Hình học 10 nâng cao Cho hai điểm \(A(5 ; 6), B(-3 ; 2)\). Phương trình chính tắc của đường thẳng \(AB\) là A. \( \dfrac{{x - 5}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 6}}{1};\) B. \( \dfrac{{x - 5}}{2} = \dfrac{{y - 6}}{{ - 1}};\) C. \( \dfrac{{x + 5}}{2} = \dfrac{{y + 6}}{1};\) D. \( \dfrac{{x + 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}}.\) Giải Chọn (D). Bài 7 trang 124 SBT Hình học 10 nâng cao Cho điểm \(M(1 ; 2)\) và đường thẳng \(d: 2x+y-5=0\). Tọa độ của điểm đối xứng với \(M\) qua \(d\) là A. \(\left( { \dfrac{9}{5} ; \dfrac{{12}}{5}} \right);\) B. \((-2 ; 6) ;\) C. \(\left( {0 ; \dfrac{3}{2}} \right);\) D. \((3 ; -5) .\) Giải Chọn (A). Bài 8 trang 125 SBT Hình học 10 nâng cao Cho đường thẳng \(d: -3x+y-3=0\) và điểm \(N(-2 ; 4)\). Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(d\) là A. \((-3 ; -6) ;\) B. \(\left( { - \dfrac{1}{3} ; \dfrac{{11}}{3}} \right);\) C. \(\left( { \dfrac{2}{5} ; \dfrac{{21}}{5}} \right);\) D. \(\left( { \dfrac{1}{{10}} ; \dfrac{{33}}{{10}}} \right).\) Giải Chọn (D). Bài 9 trang 125 SBT Hình học 10 nâng cao Cho hai đường thẳng \({d_1}: mx + (m - 1)y + 2m = 0 , {d_2}: 2x + y - 1 = 0\). Nếu \(d_1\) song song với \(d_2\) thì A. \(m=1 ;\) B. \(m=-2 ;\) C. \(m=2 ;\) D. \(m\) tùy ý. Giải Chọn (C). Bài 10 trang 125 SBT Hình học 10 nâng cao Cho hai đường thẳng \({d_1}: 2x - 4y - 3 = 0, {d_2}: 3x - y + 17 = 0\). Số đo góc giữa \(d_1\) và \(d_12\) là A. \( \dfrac{\pi }{4};\ B. \( \dfrac{\pi }{2};\) C. \( \dfrac{{3\pi }}{4};\) D. \( - \dfrac{\pi }{4}.\) Giải Chọn (A). Bài 11 trang 125 SBT Hình học 10 nâng cao Cho đường thẳng \(d: 4x-3y+13=0\). Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi \(d\) và trục \(Ox\) là: A. \(4x+3y+13=0\) và \(4x-y+13=0 ;\) B. \(4x-8y+13=0\) và \(4x+2y+13=0 ;\) C. \(x+3y+13=0\) và \(x-3y+13=0 ;\) D. \(3x+y+13=0\) và \(3x-y+13=0 .\) Giải Chọn (B). Bài 12 trang 125 SBT Hình học 10 nâng cao Cho hai đường thẳng song song \(d_1: 5x-7y+4=0\) và \(d_2: 5x-7y+6=0.\) a) Phương trình đường thẳng song song và cách đều \(d_1\) và \(d_2\) là: A. \(5x-7y+2=0 ;\) B. \(5x-7y-3=0 ;\) C. \(5x-7y-3=0 ;\) D. \(5x-7y+5=0.\) b) Khoảng cách giữa \(d_1\) và \(d_2\) là: A. \( \dfrac{4}{{\sqrt {74} }};\) B. \( \dfrac{6}{{\sqrt {74} }};\) C. \( \dfrac{2}{{\sqrt {74} }};\) D. \( \dfrac{{10}}{{\sqrt {74} }}.\) Giải a) Chọn (D) ; b) Chọn (C). Bài 13 trang 126 SBT Hình học 10 nâng cao Cho hai điểm \(A(6 ; 2), B(-2 ; 0)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là: A. \({x^2} + {y^2} + 4x + 2y - 12 = 0;\) B. \({x^2} + {y^2} + 4x + 2y + 12 = 0;\) C. \({x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 12 = 0;\) D. \({x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 12 = 0.\) Giải Chọn (C). Bài 14 trang 126 SBT Hình học 10 nâng cao Đường tròn có tâm \(I(x_I > 0)\) nằm trên đường thẳng \(y=-x\), bán kính bằng \(3\) và tiếp xúc với một trục tọa độ có phương trình là: A. \({(x - 3)^2} + {(y - 3)^2} = 9;\) B. \({(x - 3)^2} + {(y + 3)^2} = 9;\) C. \({(x + 3)^2} + {(y + 3)^2} = 9;\) D. \({(x - 3)^2} - {(y - 3)^2} = 9.\) Giải Chọn (B). Bài 15 trang 126 SBT Hình học 10 nâng cao Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 4x - 4y - 8 = 0\) và đường thẳng \(d: x-y-1=0\). Một tiếp tuyến của \((C)\) song song với d có phương trình là: A. \(x-y+6=0 ;\) B. \(x - y + 3 - \sqrt 2 = 0;\) C. \(x - y + 4\sqrt 2 = 0;\) D. \(x - y - 3 + 3\sqrt 2 = 0.\) Giải Chọn (C). Bài 16 trang 126 SBT Hình học 10 nâng cao Cho đường tròn \((C): {(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 4\) và điểm \(A(1 ; 3)\). Phương trình các tiếp tuyến với \((C)\) vẽ từ \(A\) là : A. \(x-1=0\) và \(3x-4y-15=0 ;\) B. \(x-1=0\) và \(3x-4y+15=0;\) C. \(x-1=0\) và \(3x+4y+15=0 ;\) D. \(x-1=0\) và \(3x+4y-15=0 .\) Giải Chọn (D). Bài 17 trang 126 SBT Hình học 10 nâng cao Elip \((E)\) có độ dài trục lớn là \(12\), độ dài trục bé là \(8\), có phương trình chính tắc là: A. \( \dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1;\) B. \( \dfrac{{{x^2}}}{{36}} - \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1;\) C. \( \dfrac{{{x^2}}}{{12}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1;\) D. \( \dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1.\) Giải Chọn (A). Bài 18 trang 126 SBT Hình học 10 nâng cao Elip có hai tiêu điểm \(F_1(-1 ; 0), F_2(1 ; 0)\) và tâm sai \(e = \dfrac{1}{5}\) có phương trình là A. \( \dfrac{{{x^2}}}{{24}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1;\) B. \( \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{24}} = 1;\) C. \( \dfrac{{{x^2}}}{{24}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = - 1;\) D. \( \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{24}} = - 1.\) Giải Chọn (B). Bài 19 trang 127 SBT Hình học 10 nâng cao Elip có hai tiêu điểm là \(O(0 ; 0), F(4 ; 0)\) và một đỉnh là \(A(-2 ; 0),\) có tâm sai là A. \( \dfrac{1}{3};\) B. \( \dfrac{2}{3};\) C. \( \dfrac{3}{4};\) D. \( \dfrac{1}{2}.\) Giải Chọn (D). Bài 20 trang 127 SBT Hình học 10 nâng cao Elip \((E)\) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của \((E)\) là : A. \( \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\) B. \( \dfrac{2}{{\sqrt 2 }};\) C. \( \dfrac{1}{3};\) D. \( 1.\) Giải Chọn (A). Bài 21 trang 127 SBT Hình học 10 nâng cao Hypebol có hai tiêu điểm là \(F_1(-2 ; 0), F_2(2 ; 0)\) và một đỉnh là \(A(1 ; 0)\) có phương trình là: A.\( \dfrac{{{y^2}}}{1} - \dfrac{{{x^2}}}{3} = 1;\) B. \( \dfrac{{{x^2}}}{1} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1;\) C. \( \dfrac{{{x^2}}}{3} - \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1;\) D. \( \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1.\) Giải Chọn (D). Bài 22 trang 127 SBT Hình học 10 nâng cao Hypebol có hai tiệm cận vuông góc với nhau, độ dài trục thực bằng \(6\), có phương trình chính tắc là: A. \( \dfrac{{{x^2}}}{6} - \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1;\) B. \( \dfrac{{{x^2}}}{6} - \dfrac{{{y^2}}}{6} = 1;\) C. \( \dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1;\) D. \( \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{6} = 1.\) Giải Chọn (C). Bài 23 trang 127 SBT Hình học 10 nâng cao Hypebol \({x^2} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\) có phương trình hai đường chuẩn là: A. \(x = \pm 1;\) B. \(x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\) C. \(x = \pm 1;\) D. \(x = \pm 2.\) Giải Chọn (B). Bài 24 trang 127 SBT Hình học 10 nâng cao Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của hypebol : \( \dfrac{{{x^2}}}{4} - {y^2} = 1\) có phương trình: A. \({x^2} + {y^2} = 4;\) B. \({x^2} + {y^2} = 1;\) C. \({x^2} + {y^2} = 5;\) D. \({x^2} + {y^2} = 3.\) Giải Chọn (C). Bài 25 trang 128 SBT Hình học 10 nâng cao Parabol \((P)\) có tiêu điểm \(F(2 ; 0)\) có phương trình chính tắc là: A. \({y^2} = 16x;\) B. \({y^2} = 8x;\) C. \({y^2} = 4x;\) D. \({y^2} = 2x.\) Giải Chọn (B). Bài 26 trang 128 SBT Hình học 10 nâng cao Cônic có tâm sai \(e = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\) là A. một elip ; B. một hypebol ; C. một parabol ; D. một đường tròn. Giải Chọn (B). Bài 27 trang 128 SBT Hình học 10 nâng cao Cho đường thẳng \(\Delta \) và một điểm F không thuộc \(\Delta \). Tập hợp các điểm M sao cho \(MF = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}d(M ; \Delta )\) là: A. một elip ; B. một hypebol ; C. một parabol ; D. một đường khác. Giải Chọn (A).
