Bài 3.1 trang 117 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 - 7n\) a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số ; b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số ; c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số. Giải: a) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - 7\left( {n + 1} \right) - \left( {1 - 7n} \right) = - 7 < 0\), vậy dãy số giảm. b) Do \({u_{n + 1}} = {u_n} - 7\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = - 6;d = - 7\) Công thức truy hồi là \(\left\{ \matrix{ {u_1} = - 6 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {u_n} - 7{\rm\,\,{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\) c) \({S_{100}} = - 35250\) Bài 3.2 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Trong các dãy số (un)sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? a) \({u_n} = 3n - 1\) ; b) \({u_n} = {2^n} + 1\) ; c) \({u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - {n^2}\) ; d) \(\left\{ \matrix{ {u_1} = 3 \hfill \cr {u_{n + 1}} = 1 - {u_n} \hfill \cr} \right.\) Giải: a) \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 1 - 3n + 1 = 3\) Vì \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) dãy số là cấp số cộng với \({u_1} = 2,d = 3.\) b) \({u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} + 1 - {2^n} - 1 = {2^n}.\) Vì \({2^n}\) không là hằng số nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số cộng. c) Ta có \({u_n} = 2n + 1.\) Vì \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 - 2n - 1 = 2,\) nên dãy đã cho là cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 2.\) d) Để chứng tỏ \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số cộng, ta chỉ cần chỉ ra, chẳng hạn \({u_3} - {u_2} \ne {u_2} - {u_1}\) là đủ. Bài 3.3 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết : a) \(\left\{ \matrix{ {u_1} + 2{u_5} = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ {u_4} = 10 \hfill \cr {u_7} = 19 \hfill \cr} \right.\) c) \(\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_5} - {u_3} = 10 \hfill \cr {u_1} + {u_6} = 7 \hfill \cr} \right.\) d) \(\left\{ \matrix{ {u_7} - {u_3} = 8 \hfill \cr {u_2}.{u_7} = 75 \hfill \cr} \right.\) Giải: a) \({u_1} = 8,d = - 3.\) b) \({u_1} = 1,d = 3.\) c) \({u_1} = 36,d = - 13.\) d) \({u_1} = 3,d = 2\) hoặc \({u_1} = - 17,d = 2.\) Bài 3.4 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tính số các số hạng của cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\), nếu \(\left\{ \matrix{ {a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126 \hfill \cr {a_2} + {a_{2n}} = 42 \hfill \cr} \right.\) Giải: ĐS: n = 6 Bài 3.5 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết a) \(\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a \hfill \cr u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2} \hfill \cr} \right.\) Giải: a) Ta có hệ \(\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\) Áp dụng công thức \({u_1} + {u_3} = 2{u_2}\) suy ra \({u_2} = 9\,\,\,\left( 3 \right)\) Thay \({u_2} = 9\) vào (1) và (2) ta được \(\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_3} = 18 \hfill \cr u_1^2 + u_3^2 = 194 \hfill \cr} \right.\) Từ đây tìm được \({u_1} = 5,{u_3} = 13\) hoặc \({u_1} = 13,{u_3} = 5\) Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5 b) Ta có \(\eqalign{ & {b^2} = u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + ... + {\left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]^2} \cr & {\rm{ = }}nu_1^2 + 2{u_1}d\left[ {1 + 2 + ... + \left( {n - 1} \right)} \right] + {d^2}\left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right] \cr & {\rm{ = }}nu_1^2 + n\left( {n - 1} \right){u_1}d + {{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right){d^2}} \over 6}\,\,\,\,\,\,\,\,(1){\rm{ }} \cr} \) Mặt khác, \(a = n{u_1} + {{n\left( {n - 1} \right)d} \over 2}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (2) tìm được \({u_1}\) thay \({u_1}\) vào (1) đểm tìm d. Kết quả \(d = \pm \sqrt {{{12\left( {n{b^2} - {a^2}} \right)} \over {{n^2}\left( {{n^2} - 1} \right)}}} \) \({u_1} = {1 \over n}\left[ {a - {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}d} \right].\) Bài 3.6 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho ba góc \(\alpha ,\beta ,\gamma \) tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự đó với công sai \(d = {\pi \over 3}\) Chứng minh : a) \(\tan \alpha .\tan \beta + \tan \beta .\tan \gamma + \tan \gamma .\tan \alpha = - 3\) ; b) \(4\cos \alpha .\cos \beta .\cos \gamma = \cos 3\beta \) Giải: Từ cấp số cộng \(\alpha ,\beta ,\gamma \) với công sai \(d = {\pi \over 3}\) suy ra \(\alpha = \beta - {\pi \over 3};\gamma = \beta + {\pi \over 3}\) Thay \(\alpha ,\gamma \) vào hệ thức và áp dụng công thức cộng cung. Bài 3.7 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) chứng minh rằng Nếu \({{{S_m}} \over {{S_n}}} = {{{m^2}} \over {{n^2}}}\) Thì \({{{u_m}} \over {{u_n}}} = {{2m - 1} \over {2n - 1}}\) Giải: Ta có \({S_m} = {{2{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \over 2}m\) ; \({S_n} = {{2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \over 2}n.\) Theo giả thiết \({{{S_m}} \over {{S_n}}} = {{\left[ {2{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \right]m} \over {\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}} = {{{m^2}} \over {{n^2}}}\) Suy ra \(\left( {2{u_1} - d} \right)\left( {m - n} \right) = 0\) (với m ≠ n ). Từ đó \({u_1} = {d \over 2}\) Vậy \({{{u_m}} \over {{u_n}}} = {{{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \over {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}} = {{{d \over 2} + \left( {m - 1} \right)d} \over {{d \over 2} + \left( {n - 1} \right)d}} = {{2m - 1} \over {2n - 1}}\) Bài 3.8 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm x từ phương trình a) 2 + 7 + 12 + ... + x = 245, biết 2, 7, 12, ..., x là cấp số cộng. b) \(\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 6} \right) + \left( {2x + 11} \right) + ... + \left( {2x + 96} \right) = 1010\) biết 1, 6, 11, ... là cấp số cộng. Giải: a) Ta có \(\eqalign{ & {u_1} = 2,d = 5,{S_n} = 245. \cr & 245 = {{n\left[ {2.2 + \left( {n - 1} \right)5} \right]} \over 2} \cr & \Leftrightarrow 5{n^2} - n - 490 = 0. \cr}\) Giải ra được n = 10 Từ đó tìm được \(x = u{ _{10}} = 2 + 9.5 = 47\) b) Xét cấp số cộng 1, 6, 11, ..., 96. Ta có \(96 = 1 + \left( {n - 1} \right)5 \Rightarrow n = 20\) Suy ra \({S_{20}} = 1 + 6 + 11 + ... + 96 = {{20\left( {1 + 96} \right)} \over 2} = 970\) Và 2x.20 + 970 = 1010 Từ đó x = 1
