Sách bài tập Toán 11 - Đại số và Giải tích 11 cơ bản - Chương III - Bài 4. Cấp số nhân

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 4.1 trang 125 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}}\)
    a) Chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số ;
    b) Lập công thức truy hồi của dãy số ;
    c) Hỏi số là số hạng thứ mấy của dãysố ?
    Giải:
    a) Có thể lập tỉ số \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}\). Cấp số nhân có \({u_1} = - 3,q = 9\)
    Xét hiệu
    \(\eqalign{
    & H = {u_{n + 1}} - {u_n} \cr
    & = {\left( { - 3} \right)^{2n + 1}} - {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}} \cr
    & {\rm{ = }}{\left( { - 3} \right)^{2n}}\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^1} - {{\left( { - 3} \right)}^{ - 1}}} \right] \cr
    & = {9^n}\left( { - {8 \over 3}} \right) < 0 \cr}\)
    vậy dãy số giảm.
    b) Công thức truy hồi
    \(\left\{ \matrix{
    {u_1} = - 3 \hfill \cr
    {u_{n + 1}} = 9.{u_n}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
    c) Số hạng thứ năm.

    Bài 4.2 trang 125 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có
    \(\left\{ \matrix{
    {u_1} + {u_5} = 51 \hfill \cr
    {u_2} + {u_6} = 102 \hfill \cr} \right.\)
    a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân :
    b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạngđầu tiên sẽ bằng 3096?
    c) Số 12 288 là số hạng thứ mấy ?
    Giải
    ĐS:
    a) \({u_1} = 3,q = 2\)
    b) n = 10
    c) n = 13

    Bài 4.3 trang 125 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm số các số hạng của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết
    a) \(q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189\) ;
    b) \({u_1} = 2,{u_n} = {1 \over 8},{S_n} = {{31} \over 8}\) .
    Giải:
    ĐS:
    a) n = 6
    b) n = 5

    Bài 4.4 trang 125 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un) biết
    a)
    \(\left\{ \matrix{
    {u_5} - {u_1} = 15 \hfill \cr
    {u_4} - {u_2} = 6 \hfill \cr} \right.\);
    b)
    \(\left\{ \matrix{
    {u_2} - {u_4} + {u_5} = 10 \hfill \cr
    {u_3} - {u_5} + {u_6} = 20 \hfill \cr} \right.\) .
    Giải:
    a) Ta có hệ
    \(\left\{ \matrix{
    {u_1}{q^4} - {u_1} = 15 \hfill \cr
    {u_1}{q^3} - {u_1}q = 6 \hfill \cr} \right.\)
    hay
    \(\left\{ \matrix{
    {u_1}\left( {{q^4} - 1} \right) = 15 \hfill \cr
    {u_1}\left( {{q^3} - q} \right) = 6 \hfill \cr} \right.{\rm{ }} \) (1)
    Do (1) nên \(q \ne \pm 1\) suy ra \({{15} \over 6} = {{{q^4} - 1} \over {q\left( {{q^2} - 1} \right)}} = {{{q^2} + 1} \over q}\)
    Biến đổi về phương trình \(2{q^2} - 5q + 2 = 0\)
    Giải ra được q = 2 và \(q = {1 \over 2}\)
    Nếu q = 2 thì u1 = 1
    Nếu \(q = {1 \over 2}\) thì u1 = -16
    b) ĐS: \({u_1} = 1,q = 2\)

    Bài 4.5 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Bốn số lập thành một cấp số cộng.Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân.Tìm các số đó.
    Giải:
    HD: Gọi 4 số cần tìm là \(x,y,z,t\) ta có :
    Cấp số cộng \(x,y,z,t\)
    Cấp số nhân \(x - 2,y - 6,z - 7,t - 2\)
    Ta có hệ
    \(\left\{ \matrix{
    x + z = 2y \hfill \cr
    y + t = 2z \hfill \cr
    {\left( {y - 6} \right)^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {z - 7} \right) \hfill \cr
    {\left( {z - 7} \right)^2} = \left( {y - 6} \right)\left( {t - 2} \right) \hfill \cr} \right.\)
    ĐS : \(x = 5,y = 12,z = 19,t = 26\)

    Bài 4.6 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.
    Giải:
    ĐS:
    10, 20, 40, 80

    Bài 4.7 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho dãy số
    \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \matrix{
    {u_1} = 0 \hfill \cr
    {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
    a) Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = {{{u_n} - 1} \over {{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số là cấp số nhân.
    b) Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.
    Giải:
    Từ giả thiết có
    \({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3) (1)
    Lập tỉ số \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{u_{n + 1}} - 1} \over {{u_{n + 1}} + 3}}.{{{u_n} + 3} \over {{u_n} - 1}} = {{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3} \over {{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) (2)
    Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}}\) thay vào (2) ta được
    \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3} \over {2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}} = {{{u_n} - {u_{n + 1}}} \over {5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = {1 \over 5}\)
    Vậy \({x_{n + 1}} = {1 \over 5}{x_n}\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = {1 \over 5}\) và \({x_1} = - {1 \over 3}\)
    Ta có \({x_n} = - {1 \over 3}{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}}\)
    Từ đó tìm được \({u_n} = {{3{x_n} - 1} \over {1 - {x_n}}} = {{ - {{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} - 1} \over {1 + {1 \over 3}{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}}}} = {{{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} + 1} \over {{1 \over 3}{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}\)

    Bài 4.8 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng. Tìm các số đó.
    Giải:
    HD: làm tương tự ví dụ 7/12 Bài 4.
    ĐS: Ba số phải tìm là 2, 14, 98

    Bài 4.9 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho cấp số nhân,a, b, c, d. Chứng minh rằng
    a) \({a^2}{b^2}{c^2}\left( {{1 \over {{a^3}}} + {1 \over {{b^3}}} + {1 \over {{c^3}}}} \right) = {a^3} + {b^3} + {c^3}\) ;
    b) \({\left( {ab + bc + cd} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\)
    Giải:
    a) Biến đổi vế trái
    \(\eqalign{
    & {a^2}{b^2}{c^2}\left( {{1 \over {{a^3}}} + {1 \over {{b^3}}} + {1 \over {{c^3}}}} \right) \cr
    & = {{{b^2}{c^2}} \over a} + {{{a^2}{c^2}} \over b} + {{{a^2}{b^2}} \over c} \cr
    & {\rm{ = }}{{ac{c^2}} \over a} + {{{{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \over b} + {{{a^2}ac} \over c} \cr
    & {\rm{ = }}{a^3} + {b^3} + {c^3} \cr} \)
    b) HD: Áp dụng bấtđẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho các số a, b, c và b, c, d.

    Bài 4.10 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Giải phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) biết a, b, c, d là một cấp số nhân với công bội q.
    Giải:
    HD: Thay các hệ số a, b, c, d lần lượt bằng \(a,aq,a{q^2},a{q^3}\) vào phương trình và biến đổi