Sách bài tập Toán 11 - Đại số và Giải tích 11 cơ bản - Chương IV - Bài 3. Hàm số liên tục

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 3.1 trang 168 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x}\)
    Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
    Giải:
    a)
    \(f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x} = \left\{ \matrix{
    x - 1,\,{\rm{ nếu }}\,\,x > 0 \hfill \cr
    1 - x,\,{\rm{ nếu\,\, x < 0}} \hfill \cr} \right.\) Hàm số này có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
    b)
    01.jpg
    Từ đồ thị (H.7) dự đoán \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\;\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,
    - Với \(x > 0,f\left( x \right) = x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)
    - Với \(x < 0,f\left( x \right) = 1 - x\) cũng làhàmđa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)
    Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\)

    Bài 3.2 trang 168 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)
    Giải:
    Xét hàm số
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    x + 2,\,{\rm{nếu}} \le {\rm{0}} \hfill \cr
    {1 \over {{x^2}}}{\rm\,{,nếu }}\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\)
    - Trường hợp \(x \le 0\)
    \(f\left( x \right) = x + 2\) là hàmđa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]
    - Trường hợp x > 0
    \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\) là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.
    Như vậy \(f\left( x \right)\) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)
    Tuy nhiên, vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {{x^2}}} = + \infty \) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không cógiới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2)

    Bài 3.3 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)
    Giải:
    Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\) (1)
    Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} f\left( x \right) = f\left( b \right)\) ). Nghĩa là nó liên tục trên (a; c)

    Bài 3.4 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0
    Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} = L\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm x0
    Hướng dẫn: Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\) và biểu diễn \(f\left( x \right)\) qua \(g\left( x \right)\)
    Giải:
    Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\)
    Suy ra \(g\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\)
    Mặt khác, \(f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)\) nên
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)} \right] \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( {{x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} L\left( {x - {x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - {x_0}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right). \cr} \)
    Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại

    Bài 3.5 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Xét tính liên tục của các hàm số sau:
    a) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}\) tại x = 4 ;
    b)
    \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \le 1 \hfill \cr
    - 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) tại x = 1
    Giải:
    a) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} \) có tập xác định là \({\rm{[}} - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty )\). Do đó, nó xác định trên khoảng \(\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) chứa x = 4
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \sqrt {x + 5} = 3 = f\left( 4 \right)\) nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại x = 4
    b) Hàm số: \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \le 1 \hfill \cr
    - 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) tại x = 1 có tập xác định là R
    Ta có, \(g\left( 1 \right) = - 2\) (1)
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}} \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)} \over {1 - x}} \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \sqrt {2 - x} - 1} \right) = - 2 \cr}\) (2)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x} \right) = - 2\) (3)
    Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 2 = g\left( 1 \right)\)
    Vậy g(x) liên tục tại x = 1

    Bài 3.6 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :
    a)
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
    2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;
    b)
    \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
    3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\)
    Giải:
    a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
    2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;
    Tập xác định của hàm số là D = R
    - Nếu \(x \ne \sqrt 2 \) thì \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}\)
    Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)
    - Tại \(x = \sqrt 2 \) :
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 = f\left( {\sqrt 2 } \right) \cr}\)
    Vậy hàm số liên tục tại \(x = \sqrt 2 \)
    Kết luận : \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R
    b) \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
    3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\) có tập xác định là D = R
    - Nếu \(x \ne 2\) thì \(g\left( x \right) = {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)
    Tại x = 2 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - \infty \)
    Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại x = 2
    Kết luận : \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\) nhưng gián đoạn tại x = 2

    Bài 3.7 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm giá trị của tham số m để hàm số
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{{x^2} - x - 2} \over {x - 2}},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
    m{\rm{ , \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\) liên tục tại x = 2
    Giải:
    m = 3

    Bài 3.8 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm giá trị của tham số m để hàm số
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{\sqrt x - 1} \over {{x^2} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 1 \hfill \cr
    {m^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 1 \hfill \cr} \right.\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
    Giải:
    \(m = \pm {1 \over 2}\)

    Bài 3.9 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Chứng minh rằng phương trình
    a) \({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm ;
    b) \(\cos 2x = \sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - {\pi \over 6};\pi } \right)\) ;
    c) \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có nghiệm dương.
    Giải:
    a) Xét \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) và hai số 0; 2.
    b) Xét \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) trên các khoảng \(\left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 2}} \right){\rm{ , }}\left( {{\pi \over 2};\pi } \right)\)
    c) Ta có,
    \(\eqalign{
    & \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr
    & \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
    & \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)
    Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
    Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) = - 3.4 < 0\) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệmthuộc (0; 1)
    Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.

    Bài 3.10 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Phương trình \({x^4} - 3{x^2} + 1 = 0\) có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3) ?
    Giải:
    Hướng dẫn: Xét \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^3} + 1 = 0\) trên đoạn [-1; 1]
    Trả lời : Có.

    Bài 3.11 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :
    a) \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) ;
    b) \(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)
    Giải:
    a) \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)
    \(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]
    Ta có \(f\left( { - 1} \right) = - 1 < 0\) và \(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { - 1} \right)f\left( { - 2} \right) < 0\) với mọi m.
    Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.
    b) \(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)
    HD : Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right]\)

    Bài 3.12 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Chứng minh phương trình
    \({x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} = 0\) luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.
    Giải:
    Hàm số \(f\left( x \right) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\) xác định trên R
    - Ta có
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr
    & {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = + \infty \cr} \)
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì mà \({x_n} \to + \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = + \infty \)
    Do đó, \(f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
    Nếu số dương này là 1 thì \(f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.
    Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho \(f\left( a \right) > 1\) (1)
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr
    & {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = - \infty \cr} \) (do n lẻ).
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty\) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì mà \({x_n} \to - \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = - \infty \) hay \(\lim \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty \)
    Do đó, \( - f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
    Nếu số dương này là 1 thì \( - f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho \( - f\left( b \right) > 1\) hay \(f\left( b \right) < - 1\) (2)
    - Từ (1) và (2) suy ra \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\)
    Mặt khác, \(f\left( x \right)\) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]
    Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có nghiệm.

    Bài 3.13 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)?Cho ví dụ minh hoạ.
    Giải:
    Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [a; b] và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)
    Ví dụ minh hoạ :
    - \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right],f\left( { - 2} \right)f\left( 2 \right) = 9 > 0\)
    Phương trình \({x^2} - 1 = 0\) có nghiệm \(x = \pm 1\) trong khoảng (-2; 2)
    - \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) liên tục trên đoạn [-1; 1] và \(f\left( { - 1} \right)f\left( 1 \right) = 4 > 0\). Còn phương trình \({x^2} + 1 = 0\) lại vô nghiệm trong khoảng (-1; 1)

    Bài 3.14 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm hay không trong khoảng (a; b) ?Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học.
    Giải:
    Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\ thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)
    Minh hoạ hình hoạ (H.8):
    02.jpg