Sách bài tập Toán 11 - Đại số và Giải tích 11 cơ bản - Chương IV - Ôn tập chương IV - Giới hạn

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tính các giới hạn sau
    a) \(\lim {{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}} \over {1 - {5^n}}}\) ;
    b) \(\lim {{1 + 2 + 3 + ... + n} \over {{n^2} + n + 1}}\) ;
    c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1} - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\)
    Giải:
    a) - 2 ;
    b) \({1 \over 2}\) ;
    c) \({1 \over 2}\)

    Bài 2 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với
    a) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\) ;
    b) \({u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\)
    Giải:
    a) Ta có, \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\). Đặt \({v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\) (1)
    Ta có \(\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\)
    Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
    Từ (1) suy ra, \(\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\)
    Vậy, \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)
    b) Hướng dẫn : \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}\)

    Bài 3 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn2,131131131… (chu kì 131) dưới dạng phân số.
    Giải:
    \(\eqalign{
    & 2,131131131... = 2 + {{131} \over {1000}} + {{131} \over {{{1000}^2}}} + ... + {{131} \over {{{1000}^n}}} + ... \cr
    & {\rm{ }} = 2 + {{{{131} \over {1000}}} \over {1 - {1 \over {1000}}}} = 2 + {{131} \over {999}} = {{2129} \over {999}}. \cr} \)
    (Vì \({{131} \over {1000}},{{131} \over {{{1000}^2}}},...,{{131} \over {{{1000}^n}}},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = {1 \over {1000}}\)).

    Bài 4 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
    \(\left\{ \matrix{
    {u_1} = 1 \hfill \cr
    {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
    a) Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) với mọi n.
    b) Biết \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạnđó.
    Giải:
    a) Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọi n. (1)
    - Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\)
    - Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\) nghĩa là \({u_k} > 0\) ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1
    Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\). Vì \({u_k} > 0\) nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\)
    - Kết luận: \({u_n} > 0\) với mọi n.
    b) Đặt
    \(\eqalign{
    & \lim {u_n} = a \cr
    & {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
    & \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
    & \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\)
    Vì \({u_n} > 0\) với mọi n, nên \(\lim {u_n} = a \ge 0\). Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \)

    Bài 5 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \({u_n} < M\) với mọi n. Chứng minh rằng nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \le M\)
    Giải:
    Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = M - {u_n}\)
    \({u_n} < M\) với mọi n \(\Rightarrow {v_n} > 0\) với mọi n. (1)
    Mặt khác, \(\lim {v_n} = \lim \left( {M - {u_n}} \right) = M - a\) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra \(M - a \ge 0\) hay \(a \le M\)

    Bài 6 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \({1 \over {10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được ngay trướcđó.
    Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thờiđiểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.
    01.jpg
    Giải:
    Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \({1 \over {10}}\) độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai này. Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến:
    - thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \({d_1} = 63\) ;
    - thời điểm chạm đất lần thứ hai là \({d_2} = 63 + 2.{{63} \over {10}}\) ;
    - thời điểm chạm đất lần thứ ba là \({d_3} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}}\) ;
    - thời điểm chạm đất lần thứ tư là \({d_4} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + 2.{{63} \over {{{10}^3}}}\) ;

    - thờiđiểm chạmđất lần thứ n (n > 1)
    \({d_n} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}}\)
    (Có thể chứng minh khẳng định này bằng quy nạp).
    Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thờiđiểm rơi ban đầu đến khi nằm yên trên mặt đất là :
    \(d = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ...\) (mét).
    Vì \(2.{{63} \over {10}},2.{{63} \over {{{10}^2}}},...,2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(q = {1 \over {10}}\) nên ta có \(2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ... = {{2.{{63} \over {10}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = 14\)
    Vậy, \(d = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ... = 63 + 14 = 77\) (mét).

    Bài 7 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \cos {1 \over x}\) không có giới hạn khi \(x \to 0\)
    Giải:
    Hướng dẫn : Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là \({a_n} = {1 \over {2n\pi }}\) và \({b_n} = {1 \over {\left( {2n + 1} \right)\pi }}\). Tính và so sánh \(\lim f\left( {{a_n}} \right)\) và \(\lim f\left( {{b_n}} \right)\) để kết luận về giới hạn của \(f\left( x \right)\) khi \(x \to 0\)

    Bài 8 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm các giới hạn sau:
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{x + 5} \over {{x^2} + x - 3}}\) ;
    b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \sqrt {{x^2} + 8x + 3} \) ;
    c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2}\sqrt x - 1} \right)\) ;
    d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{2{x^3} - 5x - 4} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
    Giải:
    a) -3 ; b) 6 ; c) + ∞ ; d) - ∞

    Bài 9 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm các giới hạn sau:
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \over {4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}\) ;
    b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - \sqrt x } \over {\sqrt x - 1}}\) ;
    c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^4} + 5x - 1} \over {1 - {x^2} + {x^4}}}\) ;
    d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} } \over {1 - 2x}}\) ;
    e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\) ;
    f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right)\)
    Giải:
    a) 4 ; b) 1 ; c) 2; d) \({1 \over 2}\) ;
    e)
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)} \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {x\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + x}} \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)
    f)
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right) \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{1 - \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2} - 4}} \cr
    & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{ - x - 1} \over {{x^2} - 4}} = - \infty \cr} \)

    Bài 10 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Xác định một hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
    a) f(x) xác định trên R\ {1} ,
    b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2\)
    Giải :
    Chẳng hạn \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Dễ dàng kiểm tra được rằng f(x) thoả mãn các điều kiện đã nêu.

    Bài 11 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Xét tính liên tục của hàm số
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^3} + 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne - 1 \hfill \cr
    1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = - 1 \hfill \cr} \right.\) trên tập xácđịnh của nó.
    Giải:
    Hàm số liên tục trên R

    Bài 12 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Xác định một hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
    a) \(f\left( x \right)\) xác định trên R
    b) \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) nhưng gián đoạn tại x = 0
    Giải :
    Hướng dẫn :Chẳng hạn xét
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    {x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr
    x - 1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\)

    Bài 13 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    a) \({x^5} - 5x - 1 = 0\) có ít nhất ba nghiệm ;
    b) \(m{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3 = 0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m ;
    c) \({x^3} - 3x = m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của $m \in \left( { - 2;2} \right)\)
    Giải :
    Hướng dẫn :
    a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 5x - 1\) trên các đoạn \(\left[ { - 2; - 1} \right],\left[ { - 1;0} \right],\left[ {0;3} \right]\)
    b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3\) trên các đoạn \(\left[ { - 2;1} \right],\left[ {1;2} \right]\)
    c) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\) trên các đoạn \(\left[ { - 1;1} \right],\left[ {1;2} \right]\)

    Bài 14 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^3} + 8x + 1} \over {x - 2}}\). Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm hay không
    a) trong khoảng (1; 3) ?
    b) trong khoảng (-3; 1) ?
    Giải:
    a) Với \(x \ne 2\) ta có \({{{x^3} + 8x + 1} \over {x - 2}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 8x + 1 = 0\)
    Vì \({x^3} + 8x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \left( {1;3} \right)\) nên phương trình \({x^3} + 8x + 1 = 0\) không có nghiệm trong khoảng này.
    b) \(f\left( x \right)\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\). Do đó, nó liên tục trên [-3; 1]
    Mặt khác, \(f\left( { - 3} \right)f\left( 1 \right) = - 100 < 0\)
    Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng (- 3; 1)

    Bài 15 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)
    Giải :
    Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\)
    Ta có
    \(\eqalign{
    & g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( {0 + {1 \over 2}} \right) \cr
    & = f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right) \cr
    & g\left( {{1 \over 2}} \right) = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr
    & = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 1 \right) \cr
    & = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right) \cr} \)
    (vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\)).
    Do đó,
    \(\eqalign{
    & g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = \left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right)} \right] \cr
    & = - {\left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)
    - Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)
    - Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) < 0\) (1)
    Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng
    Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left( {0;{1 \over 2}} \right)\)

    Bài 16 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chọn mệnh đềđúng trong các mệnh đề sau:
    (A) Nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim {u_n} = + \infty \) ;
    (B) Nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim {u_n} = - \infty \) ;
    (C) Nếu \(\lim {u_n} = 0\) thì \(\lim \left| {{u_n}} \right| = 0\) ;
    (D) Nếu \(\lim {u_n} = - a\) thì \(\lim \left| {{u_n}} \right| = a\)
    Đáp án (C)

    Bài 17 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    \(\lim {{{2^n} - {3^n}} \over {{2^n} + 1}}\) bằng
    (A) 1
    (B) -∞
    (C) 0
    (D) +∞
    Đáp án (B)

    Bài 18 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} \right)\)bằng
    (A) 0
    (B) 1
    (C) \( - {1 \over 2}\)
    (D) -∞
    Đáp án (C)

    Bài 19 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\) bằng
    (A) 1
    (B) -∞
    (C) 0
    (D) +∞
    Đáp án (D)

    Bài 20 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 1} \over {x - 2}}\) bằng
    (A) -∞
    (B) \({1 \over 4}\)
    (C) 1 ;
    (D) +∞
    Đáp án (A)

    Bài 21 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{2x - 1} \over {3 + 3x}}\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1 + } f\left( x \right)\) bằng
    (A) +∞
    (B) \({2 \over 3}\)
    (C) 1
    (D) -∞
    Đáp án (D)

    Bài 22 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} {{{x^2} - 6} \over {9 + 3x}}\) bằng
    (A) \({1 \over 3}\)
    (B) -∞
    (C) \({1 \over 6}\)
    (D) +∞
    Đáp án (B)

    Bài 23 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {4{x^2} - x + 1} } \over {x + 1}}\) bằng
    (A) 2
    (B) -2
    (C) 1
    (D) -1
    Đáp án (B)

    Bài 24 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên đoạn [a; b]
    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
    (A) Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [a; b] và \(f\left( a \right)f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong khoảng (a; b)
    (B) Nếu \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b)
    (C) Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng (a; b) thì hàm số \(f\left( x \right)\) phải liên tục trên khoảng (a; b)
    (D) Nếu \(f\left( x \right)\) hàm số liên tục, tăng trên đoạn [a; b] và \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong khoảng (a; b)
    Đáp án (D)

    Bài 25 trang 173 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\) (1)
    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
    (A) Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1; 1);
    (B) Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2; 0);
    (C) Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1) ;
    (D) Phương trình (1) cóít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2)
    Đáp án (D)