Bài 2.1 trang 202 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {x^5} - 4{x^3} - {x^2} + {x \over 2}.\) Giải: \(y' = 5{x^4} - 12{x^2} - 2x + {1 \over 2}.\) Bài 2.2 trang 202 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(y = - 9{x^3} + 0,2{x^2} - 0,14x + 5.\) Giải: \(y' = - 27{x^2} + 0,4x - 0,14.\) Bài 2.3 trang 202 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(y = {2 \over x} - {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} - {6 \over {7{x^4}}}.\) Giải: \(y' = - {2 \over {{x^2}}} + {8 \over {{x^3}}} - {{15} \over {{x^4}}} + {{24} \over {7{x^5}}}.\) Bài 2.4 trang 202 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(y = - 6\sqrt x + {3 \over x}.\) Giải: \(y' = - {3 \over {\sqrt x }} - {3 \over {{x^2}}}.\) Bài 2.5 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right).\) Giải: \(y' = - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2.\) Bài 2.6 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {{2x - 3} \over {x + 4}}.\) Giải: \(y' = {{11} \over {{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\) Bài 2.7 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(y = {{5 - 3x - {x^2}} \over {x - 2}}.\) Giải: \(y' = {{ - {x^2} + 4x + 1} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\) Bài 2.8 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}.\) Giải: \(y' = 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + 6{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right){\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + 12{x^3}\left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^2}.\) Bài 2.9 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\) Giải: \(y' = {{1 + 2{x^2}} \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}.\) Bài 2.10 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = {\left( {a + {b \over x} + {c \over {{x^2}}}} \right)^4}\) (a,b,c là các hằng số). Giải: \(y = - 4{\left( {a + {b \over x} + {c \over {{x^2}}}} \right)^3}\left( {{b \over {{x^2}}} + {{2c} \over {{x^3}}}} \right).\) Bài 2.11 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} .\) Giải: \(y' = {{3{x^2} - 4x} \over {2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}.\) Bài 2.12 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Rút gọn: \(f\left( x \right) = \left( {{{x - 1} \over {2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).{2 \over {\sqrt x + 1}}:{\left( {{{\sqrt {x - 2} } \over {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + {{x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 4} - x + 2}}} \right)^2}\) và tìm f'(x) Giải: \(f\left( x \right) = {4 \over {{x^2} - 4}};{\rm{ }}f'\left( x \right) = - {{8x} \over {{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}}.\) Bài 2.13 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho \(f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} - 2x - 3.$ Chứng minh rằng $f'\left( 1 \right) + f'\left( { - 1} \right) = - 4f\left( 0 \right).\) Giải: \(f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} - 2x - 3.\) Bài 2.14 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho \(f\left( x \right) = 2{x^3} + x - \sqrt 2 ;\) \(g\left( x \right) = 3{x^2} + x + \sqrt 2 .\) Giải bất phương trình \(f'(x) > g'\left( x \right).\) Giải: \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) Bài 2.15 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho \(\eqalign{ & f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 ; \cr & g\left( x \right) = {x^3} + {{{x^2}} \over 2} - \sqrt 3 . \cr} \) Giải bất phương trình \(f'(x) > g'\left( x \right).\) Giải: \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) Bài 2.16 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho hàm số \(f\left( x \right) = x - 2\sqrt {{x^2} + 12} .\) Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0.\) (Đề thi tốt nghiệp THPT 2010) Giải: \(\eqalign{ & f'\left( x \right) = 1 - {{2x} \over {\sqrt {{x^2} + 12} }} \le 0{\rm{ }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \le 2x \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + 12 \le 4{x^2} \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3{x^2} \ge 12 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} \ge 4 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2. \cr}\) Đáp số: \({\rm{[}}2; + \infty ).\) Bài 2.17 trang 203 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Giải các bất phương trình a) \(f'\left( x \right) > 0\) với \(f\left( x \right) = {1 \over 7}{x^7} - {9 \over 4}{x^4} + 8x - 3\) ; b) \(g'\left( x \right) \le 0\) với \(g\left( x \right) = {{{x^2} - 5x + 4} \over {x - 2}}\) ; c) \(\varphi '\left( x \right) < 0\) với \(\varphi \left( x \right) = {{2x - 1} \over {{x^2} + 1}}.\) Giải: a) x < 1 hoặc x > 2 b) Vô nghiệm. c) \(\left( { - \infty ;{{1 - \sqrt 5 } \over 2}} \right) \cup \left( {{{1 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty } \right).\) Bài 2.18 trang 204 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R a) \(f'\left( x \right) > 0\) với \(f\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} - 3{x^2} + mx - 5\) ; b) \(g'\left( x \right) < 0\) với \(g\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} - {m \over 2}{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 15.\) Giải: a) m > 3 b) \(m < - {4 \over 3}.\) Bài 2.19 trang 204 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho \(f\left( x \right) = {2 \over x},g\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}.\) Giải bất phương trình \(f\left( x \right) \le g'\left( x \right).\) Giải: [-1; 0) Bài 2.20 trang 204 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tính f'(-1) biết rằng \(f\left( x \right) = {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}} + {3 \over {{x^3}}}.\) Giải: -6 Bài 2.21 trang 204 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tính g'(1), biết rằng \(g\left( x \right) = {1 \over x} + {1 \over {\sqrt x }} + {x^2}.\) Giải: \({1 \over 2}.\) Bài 2.22 trang 204 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tínhh'(0), biết rằng \(h\left( x \right) = {x \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}.\) Giải: \({1 \over 2}.\) Bài 2.23 trang 204 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tính \(\varphi '\left( 2 \right),\) biết rằng \(\varphi \left( x \right) = {{\left( {x - 2} \right)\left( {8 - x} \right)} \over {{x^2}}}.\) Giải: \({3 \over 2}.\) Bài 2.24 trang 204 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng nếu S(r) là diện tích hình tròn bán kính r thì S'(r) làchu vi đường tròn đó. Giải: Vì \(S\left( r \right) = \pi {r^2}\) nên \(S'\left( r \right) = 2\pi r\) là chu vi đường tròn. Bài 2.25 trang 204 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng nếu V(R) là thể tích hình cầu bán kính R thì V'(R) là diện tích mặt cầu đó. Giải: Vì \(V\left( R \right) = {4 \over 3}\pi {r^3}\) nên \(V'\left( R \right) = 4\pi {R^2}\) là diện tích mặt cầu. Bài 2.26 trang 204 sách Bài tập đại số và giải tích 11. Giả sử V là thể tích hình trụ tròn xoay với chiều cao h và bán kính đáy r. Chứng minh rằng với r là hằng số thì đạo hàm V'(h) bằng diện tích đáy hình trụ và với h là hằng số thì đạo hàm V'(r) bằng diện tích xung quanh của hình trụ. Giải: Vì \(V = \pi {r^2}h\) nên \(V'\left( h \right) = \pi {r^2}\) là diện tích đáy hình trụ; \(V'\left( r \right) = 2\pi rh\) là diện tích xung quanh của hình trụ.
