Sách bài tập Toán 11 - Đại số và Giải tích 11 cơ bản - Chương V - Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 3.1 trang 206 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \sqrt {{{\tan }^3}x} .\)
    Giải:
    \(y' = {{3{{\tan }^2}x} \over {2{{\cos }^2}x\sqrt {{{\tan }^3}x} }}.\)

    Bài 3.2 trang 206 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {2 \over {\cos \left( {{\pi \over 6} - 5x} \right)}}.\)
    Giải:
    \(y' = - {{10\sin \left( {{\pi \over 6} - 5x} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {{\pi \over 6} - 5x} \right)}}.\)

    Bài 3. 3 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
    \(y = {{\sin {x^2}} \over x}.\)
    Giải:
    \(y' = {{2{x^2}\cos {x^2} - \sin {x^2}} \over {{x^2}}}.\)

    Bài 3.4 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
    \(y = \cos {x \over {x + 1}}.\)
    Giải:
    \(y' = - {{\sin {x \over {x + 1}}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)

    Bài 3.5 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {\tan ^2}x - \cot {x^2}.\)
    Giải:
    \(y' = {{2\sin x} \over {{{\cos }^3}x}} + {{2x} \over {{{\sin }^2}{x^2}}}.\)

    Bài 3.6 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(f\left( t \right) = {{\cos t} \over {1 - \sin t}}\) tại \(t = {\pi \over 6}.\)
    Giải:
    \(f'\left( t \right) = {{ - \sin t\left( {1 - \sin t} \right) + {{\cos }^2}t} \over {{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}} = {1 \over {1 - \sin t}}\) ;
    Do đó \(f'\left( {{\pi \over 6}} \right) = 2.\)

    Bài 3.7 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \sqrt x + {1 \over {\sqrt x }} + 0,1{x^{10}}.\)
    Giải:
    \(y' = {1 \over {2\sqrt x }} - {1 \over {2x\sqrt x }} + {x^9}.\)

    Bài 3.8 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {{2{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - x + 1}}.\)
    Giải:
    \(y' = {{ - 3{x^2} + 2x + 2} \over {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}.\)

    Bài 3.9 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(g\left( \varphi \right) = {{\cos \varphi + \sin \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.\)
    Giải:
    \(g'\left( \varphi \right) = {{\cos \varphi - \sin \varphi - 1} \over {{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}.\)

    Bài 3.10 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^4}.\)
    Giải:
    \(y' = 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {3 + 10x} \right).\)

    Bài 3.11 Trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {\left( {3 - \sin x} \right)^3}.\)
    Giải:
    \(y' = - 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\cos x.\)

    Bài 3.12 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {\sin ^2}3x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}.\)
    Giải:
    \(y' = 3\sin 6x + {{2\sin x} \over {{{\cos }^3}x}}.\)

    Bài 3.13 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \sqrt {1 + 2\tan x} .\)
    Giải:
    \(y' = {1 \over {\sqrt {1 + 2\tan x} .{{\cos }^2}x}}.\)

    Bài 3.14 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \cot \sqrt {1 + {x^2}} .\)
    Giải:
    \(y' = {{ - x} \over {\sqrt {1 + {x^2}} {{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)

    Bài 3.15 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } .\)
    Giải:
    \(y' = {1 \over {2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\left[ {1 + {1 \over {2\sqrt {x + \sqrt x } }}\left( {1 + {1 \over {2\sqrt x }}} \right)} \right].\)

    Bài 3.16 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho \(f\left( x \right) = 5{x^2} - 16\sqrt x + 7.\) Tính \(f'\left( 1 \right);f'\left( 4 \right);f'\left( {{1 \over 4}} \right).\)
    Giải:
    \(f'\left( 1 \right) = 2{\rm{ }};{\rm{ }}f'\left( 4 \right) = 36{\rm{ }};{\rm{ }}f'\left( {{1 \over 4}} \right) = - {{27} \over 2}.\)

    Bài 3.17 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0,\) biết rằng
    a) \(f\left( x \right) = 3x + {{60} \over x} - {{64} \over {{x^3}}} + 5\) ;
    b) \(f\left( x \right) = {{\sin 3x} \over 3} + \cos x - \sqrt 3 \left( {\sin x + {{\cos 3x} \over 3}} \right).\)
    Giải:
    a) \(\left\{ { \pm 2; \pm 4} \right\}.\)
    b) \(\left\{ {{\pi \over {12}} + k\pi ,{\pi \over 8} + k{\pi \over 2};k \in Z} \right\}.\)

    Bài 3.18 trang 207 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Giải các phương trình
    a) \(f'\left( x \right) = 0\) với \(f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos {{3\pi + x} \over 2}\) ;.
    b) \(g'\left( x \right) = 0\) với \(g\left( x \right) = \sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x + 3\left( {\cos x - \sqrt 3 \sin x} \right).\)
    Giải:
    a) \(x = {{2\pi } \over 3} + k{{4\pi } \over 3},k \in Z.\)
    b) \(x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2};x = {\pi \over {12}} + k\pi ,k \in Z.\)

    Bài 3.19 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right)\)
    a) Với \(f\left( x \right) = 1 - {\sin ^4}3x\) và \(g\left( x \right) = \sin 6x\) ;
    b) Với \(f\left( x \right) = 4x{\cos ^2}\left( {{x \over 2}} \right)\) và \(g\left( x \right) = 8\cos {x \over 2} - 3 - 2x\sin x.\)
    Giải:
    a) \(x = k{\pi \over 6},k \in Z.\)
    b) \(x = \pm {{2\pi } \over 3} + k4\pi ,k \in Z.\)

    Bài 3.20 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) = 0\forall x \in R,\) nếu :
    a) \(f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\) ;
    b) \(f\left( x \right) = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x\) ;
    c) \(f\left( x \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 3}} \right)\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) + \cos \left( {x + {\pi \over 6}} \right)\cos \left( {x + {{3\pi } \over 4}} \right)\) ;
    d) \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} - x} \right).\)
    Giải:
    Cách 1.Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
    Từ đó suy ra \(f'\left( x \right) = 0.\)
    a) \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\) ;
    b) \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\) ;
    c) \(f\left( x \right) = {1 \over 4}\left( {\sqrt 2 - \sqrt 6 } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\) ;
    d) \(f\left( x \right) = {3 \over 2} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0.\)
    Cách 2.Lấy đạo hàm của f(x) rồi chứng minh rằng \(f'\left( x \right) = 0.\)

    Bài 3.21 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm \(f'\left( 1 \right),f'\left( 2 \right),f'\left( 3 \right)\) nếu \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3}.\)

    Giải:
    f'(1) = -8
    f'(2) = 0
    f'(3) = 0

    Bài 3.22 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm \(f'\left( 2 \right)\) nếu
    \(f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {x - 2} \right).\)
    Giải:
    Đáp số \(f'\left( 2 \right) = 4.\)

    Bài 3.23 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Cho \(y = {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x.\)
    Với những giá trị nào của x thì :
    a) \(y'\left( x \right) = 0;\)
    b) \(y'\left( x \right) = - 2;\)
    c) \(y'\left( x \right) = 10\)
    Giải:
    \(y' = {x^2} + x - 2\)
    a) -2; 1
    b) -1; 0
    c) -4; 3

    Bài 3.24 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {a^5} + 5{a^3}{x^2} - {x^5}.\)
    Giải:
    \(y' = 10{a^3}x - 5{x^4}.\)

    Bài 3.25 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right).\)
    Giải:
    \(y' = 2x - \left( {a + b} \right).\)

    Bài 3.26 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số:
    \(y = {{ax + b} \over {a + b}}.\)
    Giải:
    \(y' = {a \over {a + b}}.\)

    Bài 3.27 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}.\)
    Giải:
    \(y' = 2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\left( {3{x^2} + 11x + 9} \right).\)

    Bài 3.28 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right).\)
    Giải:
    \(y' = x\sin 2\alpha + \cos 2\alpha .\)

    Bài 3.29 trang 208 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right).\)
    Giải:
    \(y' = mn\left[ {{x^{n - 1}} + {x^{m - 1}} + \left( {m + n} \right){x^{m + n - 1}}} \right].\)

    Bài 3.30 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}.\)
    Giải:
    \(y' = - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {1 - {x^2}} \right){\left( {1 - {x^3}} \right)^2}\left( {1 + 6x + 15{x^2} + 14{x^3}} \right).\)

    Bài 3.31 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {{1 + x - {x^2}} \over {1 - x + {x^2}}}.\)
    Giải:
    \(y' = {{2\left( {1 - 2x} \right)} \over {{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}.\)

    Bài 3.32 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
    \(y = {x \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}.\)
    Giải:
    \(y' = {{1 - x + 4{x^2}} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}{\rm{ }}\left( {\left| x \right| \ne 1} \right)\)

    Bài 3.33 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {{\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}.\)
    Giải:
    \(y' = {{12 - 6x - 6{x^2} + 2{x^3} + 5{x^4} - 3{x^5}} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}{\rm{ }}\left( {x \ne 1} \right).\)

    Bài 3.34 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
    \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
    Giải:
    \(y' = {{1 + 2{x^2}} \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)

    Bài 3.35 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {x \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\)
    Giải:
    \(y' = {{{a^2}} \over {\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\rm{ }}\left( {\left| x \right| < \left| a \right|} \right)\)

    Bài 3.36 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \left( {2 - {x^2}} \right)\cos x + 2x\sin x.\)
    Giải:
    \(y' = {x^2}\sin x.\)

    Bài 3.37 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\)
    Giải:
    \(y' = - \sin 2x.\cos \left( {\cos 2x} \right).\)

    Bài 3.38 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = {{\sin x - x\cos x} \over {\cos x + x\sin x}}.\)
    Giải:
    \(y' = {{{x^2}} \over {{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}.\)

    Bài 3.39 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \tan {x \over 2} - \cot {x \over 2}.\)
    Giải:
    \(y' = {2 \over {{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne k\pi ,k \in Z} \right).\)

    Bài 3.40 trang 209 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11.
    Tìm đạo hàm của hàm số sau:
    \(y = \tan x - {1 \over 3}{\tan ^3}x + {1 \over 5}{\tan ^5}x.\)
    Giải:
    \(y' = 1 + {\tan ^6}x\left( {x \ne \left( {2k + 1} \right){\pi \over 2},k \in Z} \right).\)