Bài 1 trang 214 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) \(y = x{\cot ^2}x\) ; b) \(y = {{\sin \sqrt x } \over {\cos 3x}}\) ; c) \(y = {\left( {\sin 2x + 8} \right)^3}\) ; d) \(y = \left( {2{x^3} - 5} \right)\tan x.\) Giải : a) \({\cot ^2}x - {{2x\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}\) ; b) \({{\cos \sqrt x \cos 3x + 6\sqrt x \sin \sqrt x \sin 3x} \over {2\sqrt x {{\cos }^2}3x}}\) ; c) \(6\cos 2x{\left( {\sin 2x + 8} \right)^2}\) ; d) \(6{x^2}\tan x + {{2{x^3} - 5} \over {{{\cos }^2}x}}.\) Bài 2 trang 214 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right),\) biết rằng a) \(f\left( x \right) = {{1 - \cos 3x} \over 3};g\left( x \right) = \left( {\cos 6x - 1} \right)\cot 3x.\) b) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x;g\left( x \right) = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2}.\) c) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x;g\left( x \right) = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}}.\) Giải : a) \(f\left( x \right) = {{1 - \cos 3x} \over 3} \Rightarrow f'\left( x \right) = \sin 3x.\) Ta có \(f'\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left( {\cos 6x - 1} \right).\cot 3x = \sin 3x\) (điều kiện: \(\sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne \pm 1\) ) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {\cos 6x - 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - 2{{\sin }^2}3x - 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}3x.\left( {2\cos 3x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = - {1 \over 2}{\rm{ }}\left( {{\rm{vì}}\,\,\sin 3x \ne 0{\rm{ }}} \right) \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = \cos {{2\pi } \over 3} \cr & \Leftrightarrow 3x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = \pm {{2\pi } \over 9} + k{{2\pi } \over 3}{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \cr} \) b) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x \Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin 2x.\) Ta có \(\eqalign{ & f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr & \Leftrightarrow - \sin 2x = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 1 + 2\sin 3x\cos 3x \cr & \Leftrightarrow \sin 6x - \sin 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\cos 4x\sin 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos 4x = 0 \hfill \cr \sin 2x = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 4x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr 2x = n\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4} \hfill \cr x = n{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\left( {k,n \in Z} \right). \cr}\) c) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos 2x - 5\sin x.\) Ta có \(\eqalign{ & f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr & \Leftrightarrow \cos 2x - 5\sin x = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 5\sin x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = \cos 2x - 3{\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 5\sin x + 3{\cos ^2}x = {\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 5\sin x = - 2{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 5\sin x = - 2 - 2{\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0. \cr} \) Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) ta có phương trình \(2{t^2} + 5t + 2 = 0.\) Giải phương trình \(t = - {1 \over 2}\) ta được (loại t = -2 ). \(\eqalign{ & \sin x = - {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr} \) Bài 3 trang 214 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra : a) \(f\left( x \right) = {{\sqrt {x + 1} } \over {\sqrt {x + 1} + 1}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f'\left( 0 \right) = ?\) b) \(y = {\left( {4x + 5} \right)^2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'\left( 0 \right) = ?\) c) \(g\left( x \right) = \sin 4x\cos 4x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g'\left( {{\pi \over 3}} \right) = ?\) Giải: a) \({1 \over 8}\) ; b) 40 ; c) -2 Bài 4 trang 214 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) > 0\forall x \in R,\) nếu a) \(f\left( x \right) = {2 \over 3}{x^9} - {x^6} + 2{x^3} - 3{x^2} + 6x - 1\) ; b) \(f\left( x \right) = 2x + \sin x.\) Giải : a) \(\eqalign{ & f'\left( x \right) = 6\left( {{x^8} - {x^5} + {x^2} - x + 1} \right) \cr & = 6{x^2}\left( {{x^6} - {x^3} + {1 \over 4}} \right) + 3{x^2} + 6\left( {{{{x^2}} \over 4} - x + 1} \right) \cr & = 6{x^2}{\left( {{x^3} - {1 \over 2}} \right)^2} + 3{x^2} + 6{\left( {{x \over 2} - 1} \right)^2} > 0,\forall x \in R. \cr} \) b) \(f'\left( x \right) = 2 + \cos x > 0,\forall x \in R.\) Bài 5 trang 214 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Xác định a để \(f'\left( x \right) > 0\forall x \in R,\) biết rằng \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {a - 1} \right){x^2} + 2x + 1.\) Giải : \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {a - 1} \right)x + 2.\) \(\Delta ' = {\left( {a - 1} \right)^2} - 6 = {a^2} - 2a - 5.\) Ta phải có \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 5 < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 6 < a < 1 + \sqrt 6 .\) Vậy \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\) nếu \(1 - \sqrt 6 < a < 1 + \sqrt 6 .\) Bài 6 trang 214 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Xác định a để \(g'\left( x \right) \ge 0\forall x \in R,\) biết rằng \(g\left( x \right) = \sin x - a\sin 2x - {1 \over 3}\sin 3x + 2ax.\) Giải : \(\eqalign{ & g'\left( x \right) = \cos x - 2a\cos 2x - \cos 3x + 2a \cr & {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 2\sin x\sin 2x \cr & {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x\cos x \cr & {\rm{ }} = 4{\sin ^2}x\left( {a + \cos x} \right). \cr} \) Rõ ràng với a > 1 thì \(a + \cos x > 0\) và \({\sin ^2}x \ge 0\) với mọi \(x \in R\) nên với a > 1 thì \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R.\) Bài 7 trang 215 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(y = \tan x\) có hoành độ \({x_0} = {\pi \over 4}.\) Giải : Đáp số : 2. Bài 8 trang 215 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Trên đường cong \(y = 4{x^2} - 6x + 3,\) hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 2x.\) Giải : Đáp số : (1; 1) Bài 9 trang 215 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Đồ thị hàm số \(y = {1 \over {\sqrt 3 }}\sin 3x\) cắt trục hoành tại gốc toạ độ dưới một góc bao nhiêu độ (góc giữa trục hoành và tiếp tuyến củađồ thị tại giao điểm) ? Giải : Đáp số : \({60^o}.\) Bài 10 trang 215 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\) ; (C) \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x - 1.\) a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left( {1;3} \right),\left( { - 1; - 3} \right)\) và \(f'\left( {{1 \over 3}} \right) = {5 \over 3}\) ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) ; c) Giải phương trình \(f'\left( {\sin t} \right) = 3\) ; d) Giải phương trình \(f''\left( {\cos t} \right) = g'\left( {\sin t} \right)\) ; e) Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f''\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}}.\) Giải : a) \(\eqalign{ & c = 2,b = - 1,d = 1 \cr & \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2x + 1{\rm{ }}; \cr} \) b) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3.\) Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {1;3} \right)\) là \(y - 3 = 3\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 3x.\) c) \(\eqalign{ & f'\left( {\sin t} \right) = 3{\sin ^2}t - 2\sin t + 2. \cr & f'\left( {\sin t} \right) = 3 \cr & \Leftrightarrow 3{\sin ^2}t - 2\sin t - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin t = 1 \hfill \cr \sin t = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr t = \arcsin \left( { - {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr t = \pi - \arcsin \left( { - {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr} \) d) \(\eqalign{ & f''\left( x \right) = 6x - 2 \cr & \Rightarrow f''\left( {\cos t} \right) = 6\cos t - 2 \cr} \) ; \(\eqalign{ & g'\left( x \right) = 2x - 3 \cr & \Rightarrow g'\left( {\sin t} \right) = 2\sin t - 3. \cr} \) Vậy \(\eqalign{ & 6\cos t - 2 = 2\sin t - 3 \cr & \Leftrightarrow 2\sin t - 6\cos t = 1 \cr & \Leftrightarrow \sin t - 3\cos t = {1 \over 2}. \cr} \) Đặt \(\tan \varphi = 3,\) ta được \(\sin \left( {t - \varphi } \right) = {1 \over 2}\cos \varphi = \alpha .\) Suy ra \(\left[ \matrix{ t = \varphi + \arcsin \alpha + k2\pi \hfill \cr t = \pi + \varphi - \arcsin \alpha + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \hfill \cr} \right.\) e) \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f''\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{6\sin 5z} \over {2\sin 3z}} = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{{{\sin 5z} \over {5z}}} \over {{{\sin 3z} \over {3z}}}} = 5.\) Bài 11 trang 215 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol \(y = {{{a^2}} \over x}\) lập thành với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi. Giải : \(y = {{{a^2}} \over x} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - {{{a^2}} \over {x_0^2}}.\) Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(\eqalign{ & y - {{{a^2}} \over {{x_0}}} = - {{{a^2}} \over {x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right) \cr & \Leftrightarrow y = - {{{a^2}x} \over {x_0^2}} + {{2{a^2}} \over {{x_0}}}. \cr} \) Suy ra diện tích tam giác OAB là \(S = {1 \over 2}.\left| {{{2{a^2}} \over {{x_0}}}} \right|.2\left| {{x_0}} \right| = 2{a^2} = const.\) Bài 12 trang 215 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng nếu hàm số \(f\left( z \right)\) có đạo hàm đến cấp n thì \(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( n \right)} = {a^n}f_z^{\left( n \right)}\left( {ax + b} \right).\) Giải : HD: Chứng minh bằng quy nạp.
