Câu 2.8 trang 62 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Dãy ( \({x_1},{x_2},.......,{x_{10}}\) ) trong đó mỗi ký tự \({x_i}\) chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 đươc gọi là dãy nhị phân 10 bit ? a) Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit ? b) Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit mà trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1 ? Giải a) \({2^{10}} = 1024\) b) Gọi k là số kí tự 0. Khi đó 10 – k là số kí tự 1. Điều kiện \(k \ge 3\) và \(10 - k \ge 3\) tương đương với \(3 \le k \le 7.\) Có \(C_{10}^k\) dãy nhị phân 10 bit có k kí tự 0 và 10 – k kí tự 1. Vậy số dãy cần tìm là \(\sum\limits_{k = 3}^7 {C_{10}^k = 912} \) Câu 2.9 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ . Giáo viên chọn 4 học sinh để đi trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu a) Chọn học sinh nào cũng được ? b) Trong 4 học sinh được chọn , có đúng một nữ sinh được chọn ? c) Trong 4 học sinh được chọn , có ít nhất một nữ sinh được chọn ? Giải a) \(C_{12}^4 = 495\) b) Có một nữ và ba nam: Số cách chọn là \(C_3^1C_9^3 = 252\) c) Số cách chọn toàn nam \(C_9^4.\) Vậy số cách chọn có ít nhất một nữ là \(C_{12}^4 - C_9^4 = 369\) Câu 2.10 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Có bao nhiêu hoán vị của tập hợp \(\left\{ {a,b,c,d,e,f} \right\}\) mà phần tử cuối bằng a ? Giải Có \(5! = 120\) hoán vị. Câu 2.11 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một nhóm học sinh gồm \(n\) nam và \(n\) nữ đứng thành hàng ngang. Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau ? Giải Gọi T và G tương ứng là nam và nữ trong hàng. Theo bài ra với dãy mà nam đứng đầu TGTG…TG có: \(n.n.\left( {n - 1} \right)\left( {n - 1} \right)...2.2.1.1 = {\left( {n!} \right)^2}\) cách. Tương tự với dãy nữ đứng đầu có \({\left( {n!} \right)^2}\) cách. Vậy \(2{\left( {n!} \right)^2}\) cách sắp xếp nam nữ đứng xen kẽ nhau. Câu 2.12 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi nó có bao nhiêu tập hợp con có nhiều hơn 2 phần tử ? Giải Số tập con của tập hợp đã cho là \({2^{100}}.\) Số tập con có nhiều nhất 2 phần tử là \(1 + 100 + C_{100}^2 = 5051.\) Vậy số tập con có nhiều hơn 2 phần tử là \({2^{100}} - 5051.\) Câu 2.13 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một tổ hợp bộ môn của trường có 10 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ. Có bao nhiêu cách thành lập một hội đồng gồm 6 ủy viên của tổ bộ môn, trong đó số ủy viên nam ít hơn số ủy viên nữ ? Giải Số hội đồng có 2 nam, 4 nữ \(C_{10}^2C_{15}^4,\) số hội đồng có 1 nam, 5 nữ là \(C_{10}^1C_{15}^5,\) số hội đồng không có nam (6 nữ) là \(C_{15}^6.\) Vậy số hội đồng mà nam ít hơn nữ là \(C_{10}^2C_{15}^4 + C_{10}^1C_{15}^5 + C_{15}^6 = 96460.\) Câu 2.14 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Có bao nhiêu biển đẳng kí xe gồm 6 kí tự trong đó ba kí tự đầu tiên là ba chữ cái ( sử dụng 26 chữ cái), ba kí tự tiếp theo ba chữ số . Biết rằng mỗi chữ cái và mỗi chữ số đều xuất hiện không quá một lần. Giải Có \(26.25.24.10.9.8 = 11232000\) biển đăng kí xe. Câu 2.15 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số , biết rằng hai chữ số đứng kề nhau phải khác nhau ? Giải Số cần tìm có dạng \(\overline {abcde} .\) Chữ số a có 9 cách chọn. Sau khi a đã chọn thì b có 9 cách chọn, sau khi b đã chọn thì c có 9 cách chọn,…Theo quy tắc nhân ta có các số cần tìm là \({9^5} = 59049.\) Câu 2.16 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một người có 7 áo (trong đó 3 áo trắng ) và 5 cà vạt (trong đó có 2 cà vạt màu vàng). Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn bộ áo – cà vạt trong mỗi trường hợp sau: a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được ? b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng ? Giải a) \(7.5 = 35\) (cách) b) Số cách chọn (áo trắng, cà vạt vàng) là \(3.2 = 6\) (cách) Vậy số cách chọn để áo trắng thì không chọn cà vạt vàng là: \(35 - 6 = 29\) (cách) Câu 2.17 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu a) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? Giải a) Gọi số lẻ đang xét gồm 4 chữ số có dạng \(\overline {abcd} \) trong đó \(d \in \left\{ {1,3,5} \right\};a \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\},\) b và c thuộc tập \(\left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}.\) Lập số đó theo quy trình: Chọn d rồi đến a đến b rồi đến c. Ta có 3 cách chọn d. Khi d đã chọn thì a còn \(5 - 1 = 4\) cách chọn. (Lưu ý tập \(\left\{ {1,3,5} \right\} \subset \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}).\) Khi đó d, a đã chọn thì \(6 - 2 = 4\) cách chọn b và khi d, a, b đã chọn thì c có 3 cách chọn. Vậy các số lẻ có thể lập được là \(3.4.4.3 = 144\) b) Gọi các số có 4 chữ số khác nhau được lập từ 6 chữ số đã cho là \(\overline {abcd} \) (gồm các số chẵn và số lẻ). Ta đếm xem có bao nhêu số như vậy. Ta lập số theo quy trình chọn các chữ số theo thứ tự: a, b, c, d. Có 5 cách chọn a. Khi a đã chọn thì có 5 cách chọn b. Khi a, b đã chọn thì có \(6 - 2 = 4\) cách chọn c và khi a, b, c đã chọn thì có 3 cách chọn d. Vậy có \(5.5.4.3 = 300\) số như vậy. Theo a), các số lẻ là 144. Thành thử số số chẵn là 300 – 144 = 156. Câu 2.18 trang 63 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,3,....n} \right\}\) trong đó \(n\) là số nguyên dương lớn hơn 1 . Hỏi có bao nhiêu cặp sắp thứ tự \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(x,y \in A\) và \(x \ge y\) ? Giải Gọi B là tập hợp các cặp thảo mãn điều kiện đầu bài và \(A\left( k \right) = \left[ {\left( {k;k} \right);\left( {k,k - 1} \right);...;\left( {k,1} \right)} \right]\) \(k = 1,2,...,n.\) Ta có \(B = \bigcup\limits_{k = 1}^n {A\left( k \right),} \) và \(\left| {A\left( k \right) } \right|=k.\) Hoặc ta có thể lí luận như sau: Một tập con có 2 phần tử A, ứng với duy nhất một cặp \(\left( {x,y} \right),\) với \(x,y\) thuộc A và \(x \ge y.\) Vậy số cặp cần tìm là: \(C_n^2 + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\) Câu 2.19 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 6 người khách ngồi quanh một bàn trong ? (Hai cách sắp xếp xem là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó) Giải Có \(5! = 120\) cách. Vì bàn tròn ghế không có sắp xếp thứ tự. Ta chọn một người ngồi ở một vị trí trong 6 chỗ làm mốc. Ví trí kế tiếp có 5 cách chọn, vị trí kế tiếp có 4 cách chọn, vị trí kế tiếp nữa có 3 cách chọn, vị trí kế tiếp có 2 cách chọn, và vị trí cuối cùng có 1 cách chọn. Vậy tất cả có \(5! = 120\) cách. Câu 2.20 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng tổng ba chữ số này là 8 ? Giải Các tập \(\left\{ {a,b,c} \right\}\) với a,b,c là ba, chữ số khác nhau và khác 0 và a + b + c = 8 là \(\left\{ {1,2,5} \right\},\left\{ {1,3,4} \right\}\). Do đó có 6 + 6 = 12 số. Câu 2.21 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một dãy số có 5 chiếc ghế dành cho 5 học sinh, trong đó có 3 nam sinh và 2 nữ sinh a) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh đó? b) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh nói trên sao cho nam sinh và nữ sinh ngồi xen kẽ nhau? Giải a) 5! = 120 b) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau: TGTGT. Vị trí đầu (nam) có 3 cách chọn. Vị trí tiếp theo (nữ) có 2 cách. Vị trí tiếp theo (nam) có 2 cách. Vậy kết quả có 3.2.2 = 12 cách. Câu 2.22 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Một người có 4 pho tượng khác nhau và muốn bày 4 pho tượng vào dãy 6 vị trí trên một kệ trang trí. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? b) Một người có 8 pho tượng khác nhau và muốn bày 6 pho tượng trong số đó vào 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? Giải a) 4 pho tượng xếp vào 4 vị trí có thứ tự. Vậy số cách sắp xếp là \(A_6^4 = 6.5.4.3 = 360\). b) Đầu tiên ta chọn 6 pho tượng để bày , có \(C_8^6 = 28\) cách chọn. Mặt khác có 6! = 720 cách sắp xếp 6 pho tượng này. Vậy có 28.720 = 20 160 cách. Câu 2.23 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy tính số các số tự nhiên a) Có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi chữ số khác chữ số 1 b) Có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi 24 c) Có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 241. Giải a) Số các số có đúng 5 chữ số khác nhau là 5! = 120. Số các số có đúng 5 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 1 là 4! = 24. Do đó kết quả cần tìm là \(120 - 24 = 96\). b)3! = 6. c) Số các số có đúng 5 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 241 là 2! Do đó các số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 241 là: \(5! - 2! = 118.\) Câu 2.24 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9 có thể lập được a) Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau b) Bao nhiêu số lẻ với 4 chữ số khác nhau c) Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau d) Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. Giải a) Có\(A_5^4 = 120\) số có 4 chữ số khác nhau từ tập các chữ số \(\left\{ {0,1,3,6,9} \right\}\) (có thể bắt đầu với chữ số 0). Có \(A_4^3 = 24\) số có 4 chữ số bắt đầu bởi số 0. Vậy có \(120 - 24 = 96\) số có 4 chữ số khác nhau. b) Xét việc lập số lẻ \(\overline {abcd} \). Chữ số \(d \in \left\{ {1,3,9} \right\}\) có 3 cách chọn. Chữ số a có \(4 - 1 = 3\) cách chọn. Chữ số b có \(5 - 2 = 3\) cách chọn và chữ số c có 2 cách chọn. Vậy có 3.3.3.2 = 54 số lẻ. c) Có \(96 - 54 = 42\) số chẵn. d) Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Trong tập hợp \(\left\{ {0,1,3,6,9} \right\}\) có duy nhất số 1 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho 3 khi và chỉ khi các chữ số của nó thuộc tập \(\left\{ {0,3,6,9} \right\}\). Có 4! Số có 4 chữ số khác nhau từ \(\left\{ {0,3,6,9} \right\}\) (có thể bắt đầu với chữ số 0). Có 3! Số có 4 chữ số khác nhau từ \(\left\{ {0,3,6,9} \right\}\) bắt đầu với chữ số 0. Vậy kết quả là có \(4! - 3! = 24 - 6 = 18\) số. Câu 2.25 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong một đa giác lồi n cạnh (n > 3) ta kẻ tất cả các đường chéo. Biết rằng không có ba đường chéo nào trong chúng đồng quy. Tìm số giao điểm của các đường chéo này. Giải Mỗi giao điểm của hai đường chéo ứng với một bộ bốn đỉnh của đa giác và ngược lại. Do đó số giao điểm của các đường chéo là: \(C_n^4\) Câu 2.26 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Hỏi a) Có bao nhiêu tam giác mà cả ba đỉnh đều là đỉnh của H? b) Trong số các tam giác ở câu a) có bao nhiêu tam giác mà i) Có đúng hai cạnh là cạnh của H? ii) Có đúng một cạnh là cạnh của H? iii) Không có cạnh nào là cạnh của H? Giải a) \(C_{20}^3 = 1140\) b) i) ba đỉnh liên tiếp của H xác định một tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H . Đó là các tam giác \({A_1}{A_2}{A_3},{A_2}{A_3}{A_4},.....,{A_{20}}{A_1}{A_2}\). Vậy có 20 tam giác như vậy. ii) Xét một cạnh bất kì chẳng hạn \({A_1}{A_2}\). Bỏ đi hai đỉnh kề với nó là \({A_{20}}\) và \({A_3};16\) đỉnh còn lại \({A_4},...,{A_{19}}\) sẽ cùng với \({A_1}{A_2}\) tạo nên 16 tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H . Vậy có 20.16 = 320 tam giác như vậy. iii) Số tam giác cần tìm là \(1140 - 20 - 320 = 800\). Câu 2.27 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hai đường thẳng a, b song song. Xét tập H có 30 điểm khác nhau, trong đó trên đường thẳng a có 10 điểm và trên đường thẳng b có 20 điểm của H. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập H? Giải Có hai loại tam giác. Loại 1 : Gồm một điểm trên a và hai điểm trên b. Có \(10.C_{20}^2 = 1900\) tam giác loại 1. Loại 2 : Gồm một điểm trên b và hai điểm trên a. Có \(20.C_{10}^2 = 900\) tam giác loại 2. Vậy tất cả có 1900 + 900 = 2800 tam giác.
