Câu 2.54 trang 69 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một bộ ghép hình gồm các miếng gỗ. Mỗi miếng gỗ được đặc trưng bởi 4 tiêu chuẩn: chất liệu, màu sắc, hình dạng và kích cỡ. Biết rằng có hai chất liệu (gỗ, nhựa); có 4 màu (xanh, đỏ, lam, vàng); có 4 hình dạng (hình tròn, vuông, tam giác, lục giác) và có 3 kích cỡ (nhỏ, vừa, lớn) i) Hỏi có bao nhiêu miếng gỗ : (A) 45 (B) 96 (C) 58 (D) 84 ii) Xét miếng gốc “nhựa, đỏ, hình tròn, vừa’. Hỏi có bao nhiêu miếng gỗ khác miếng gỗ trên ở đúng hai tiêu chuẩn ? (A) 29 (B) 39 (C) 48 (D) 56 Giải i) Câu trả lời đúng là (B) Có \(2.4.4.3 = 96\) miếng gỗ. ii) Câu trả lời đúng là (A) Có \(C_4^2 = 6\) cách chọn 2 trong 4 tiêu chuẩn. Với hai tiêu chuẩn: “chất liệu, cỡ” thì có \(1.2 = 2\) miếng khác ở đúng hai tiêu chuẩn này. Với hai tiêu chuẩn” “chất liệu, màu” có \(1.3 = 3\) miếng khác ở đúng hai tiêu chuẩn này. Tương tự với hai tiêu chuẩn “chất liệu, dạng” có miếng. Vối tiêu chuẩn “cỡ, màu” có \(2.3 = 6\) miếng. Với hai tiêu chuẩn “cỡ, dạng” có miếng. Với hai tiêu chuẩn “màu, dạng” có \(3.3 = 9\) miếng. Tóm lại có \(2 + 3 + 3 + 6 + 6 + 9 = 29\) miếng. Câu 2.55 trang 69 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự. Mỗi ông bắt tay một lần với mọi người trừ vợ mình. Các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? (A) 78 (B) 185 (C) 234 (D) 312 Giải Chọn (C) Nếu mỗi người đều bắt tay với mọi người thì có \(C_{26}^2\) cái bắt tay trong đó có \(C_{13}^2\) cái bắt tay giữa các bà và 13 cái bắt tay giữa hai vợ chồng. Câu 2.56 trang 69 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong các số tự nhiên từ 100 đến 999 có bao nhiêu số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần? (A) 120 (B) 168 (C) 204 (D) 216 Giải Chọn (C) Một tập hợp con ba phần tư của tập hợp \(\left\{ {1,2,...,9} \right\}\) tương ứng với một số có ba chữ số đơn điệu tăng. Một tập hợp con ba phần tử con của \(\left\{ {0,1,2,...,9} \right\}\) tương ứng với một số có ba chữ số đơn điệu giảm. Vậy có \(C_9^3 + C_{10}^3 = 204\) số cần tìm. Câu 2.57 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C sẽ ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho 9 người đó ngồi sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh ? (A) 55012 (B) 94536 (C) 43200 (D) 35684 Giải Chọn (C) Đầu tiên ta xếp 6 học sinh ngồi. Có \(6! = 720\) cách xếp. Với mỗi cách sắp xếp 6 học sinh sẽ tạo ra 5 kẽ hở. Vậy có \(5.4.3 = 60\) cách sắp xếp chỗ cho 3 thầy. Theo quy tắc nhân có \(720.60 = 43200\) Câu 2.58 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng (A) \({{100} \over {231}}\) (B) \({{115} \over {231}}\) (C)\({1 \over 2}\) (D) \({{118} \over {231}}\) Giải Chọn (D) Số trường hợp cự thể: \(C_{11}^6 = 462.\) Để tổng lẻ thì các số lẻ phải lẻ. Có 6 số lẻ 1, 3, 5, 7, 9, 11 và 5 số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 Có 6 cách chọn 1 số lẻ, 5 số chẵn. Có \(C_6^3C_5^3 = 200\) cách chọn 3 số lẻ, 3 số chẵn. Có \(C_6^5C_5^1 = 30\) cách chọn 5 số lẻ 1 số chẵn. Vậy số trường hợp thuận lợi là: \(6 + 200 + 30 = 236.\) Vậy \(P = {{236} \over {462}} = {{118} \over {231}}.\) Câu 2.59 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chọn ngẫu nhiên 6 số nguyên dương trong tập {1, 2, 3,…,10} và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần (từ thấp lên cao). Gọi P là xác suất để số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ hai. Khi đó P là: (A) \({1 \over {60}}\) (B) \({1 \over 6}\) (C) \({1 \over 3}\) (D) \({1 \over 2}\) Giải Chọn (C) Số trường hợp cụ thể: \(C_{10}^6 = 210.\) Có hai số bé hơn 3 và 7 số lớn hơn 3. Ta cần chọn 1 số bé hơn 3 và 4 số lớn hơn 3. Số cách là \(C_1^1C_7^4 = 70.\) Vậy \(P = {{70} \over {210}} = {1 \over 3}.\) Câu 2.60 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Có ba chiếc hộp A, B, C mỗi hộp chứa ba chiếc thẻ được đánh số 1, 2, 3. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên ba tấm thẻ là 6. Khi đó P bằng: (A) \({1 \over {27}}\). (B) \({8 \over {27}}\) (C) \({7 \over {27}}\) (D) \({6 \over {27}}\) Giải Chọn (C) Có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét là: \(\left( {1,2,3} \right),\left( {2,1,3} \right),\left( {1,3,2} \right),\left( {2,3,1} \right),\left( {3,1,2} \right),\) \(\left( {3,2,1} \right),\left( {2,2,2,} \right).\) Vậy \(P = {7 \over {27}}.\) Câu 2.61 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một con súc sắc cân đối được gieo ba lần. Gọi P là xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba. Khi đó P bằng: (A) \({{10} \over {216}}\) (B) \({{15} \over {216}}\) (C) \({{16} \over {216}}\) (D) \({{12} \over {216}}\) Giải Chọn (B) Các kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét là \(\left( {1,1,2} \right)\left( {1,2,3} \right),\left( {2,1,3} \right),\left( {2,2,4} \right),\left( {3,1,4} \right),\left( {1,3,4} \right),\) \(\left( {4,1,5} \right),\left( {1,4,5} \right),\left( {3,2,5} \right),\left( {2,3,5} \right),\left( {5,1,6} \right),\) \(\left( {1,5,6} \right),\left( {4,2,6} \right),\left( {3,3,6} \right).\) Vậy \(P = {{15} \over {216}}.\) Câu 2.62 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính tổng của tất cả các số có 5 chữ số được viết từ các số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Giải Tổng \(S = \sum {\overline {abcde} = {{10}^4}\sum a + } {10^3}\sum b + {10^2}\sum c\) \( + 10\sum d + \sum {e.} \) Ta có tổng \(\sum a \) là tổng của 120 số, trong đó mỗi số \(a \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\) xuất hiện đúng \(4! = 24\) lần. Vậy \(\sum {a = 24\left( {1 + 2 + 3 + 4 + 5} \right)} = 360.\) Tương tự \(\sum {b = \sum {c = \sum {d = \sum e = 360} } } \) Vậy \(S = 360.11111 = 3999960\) Câu 2.63 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trên một đường tròn cho trước n điểm. Tính số các đoạn thẳng nối tất cả các cặp điểm của n điểm này? Giải Số đoạn thẳng cần tìm là \(C_n^2.\) Câu 2.64 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hỏi với các chữ số 0, 2, 4, 6, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có tám chữ số mà trong đó chữ số 9 có mặt đúng ba lần còn các chữ số khác xuất hiện đúng một lần? Giải Xét các số có 8 chữ số (kể cả chữ số 0 đúng đầu): có \(C_8^3 = 56\) cách chọn 3 vị trí cho chữ số \(9.5\) vị trí còn lại có \(5! = 120\) cách sắp xếp các chữ số 0, 2, 4, 6, 8. Vậy có \(56.120 = 6720\) số. Xét các số có 8 chữ số có chữ số 0 đứng đầu. Có \(C_7^3 = 35\) cách chọn 3 vị trí cho chữ số 9, 4 vị trí còn lại có \(4! = 24\) cách sắp xếp các chữ số 2, 4, 6, 8. Vậy có \(35.24 = 840.\) Thành thử số cần tìm là \(6720 - 840 = 5880.\) Câu 2.65 trang 70 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một đại đội gồm 2n chiến sĩ, cần bố trí vào n nhà dân khác nhau sao cho mỗi nhà có đúng 2 chiến sĩ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Giải Có \(C_{2n}^2\) cách chọn 2 người xếp vào nhà dân thứ nhất, rồi \(C_{2(n - 1)}^2\) cách chọn 2 người trong số \(2\left( {n - 1} \right)\) người còn lại xếp vào nhà dân thứ hai,… Theo quy tắc nhân có tất cả \(C_{2n}^2C_{2(n - 1)}^2...C_4^2C_2^2 = {{\left( {2n} \right)!} \over {{2^n}}}\) cách. Câu 2.66 trang 71 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Có 12 em bé. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 12 em bé này thành 6 cặp? Giải Nếu các cặp này có phân biệt thứ tự (cặp thứ nhất, thứ hai,…, thứ sáu) thì theo bài toán 2.63 có \({{12!} \over {{2^6}}}\) cách ghép. Nhưng vì các cặp này không phân biệt thứ tự nên mỗi cách ghép được tính lặp đúng 6! Lần. Do vậy số phải tìm là \({{12!} \over {{2^6}6!}} = 10395\) Câu 2.67 trang 71 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong khai triển của \({\left( {{a^{ - {1 \over 6}}}\sqrt b + {b^{ - {1 \over 6}}}\root 3 \of a } \right)^{21}},\) xác định số hạng mà lũy thừa của a và b giống nhau. Giải Ta có số hạng tổng quát trong triển khai là: \(C_{21}^k{b^{{k \over 2}}}{a^{ - {k \over 6}}}{a^{{{\left( {21 - k} \right)} \over 3}}}{b^{{{\left( {21 - k} \right)} \over 6}}} = C_{21}^k{a^{{{\left( {43 - 3k} \right)} \over 6}}}{b^{{{\left( {4k - 21} \right)} \over 6}}}\) Vậy ta phải có \(42 - 3k = 4k - 21.\) Suy ra \(k = 9.\) Câu 2.68 trang 71 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xác định n để khai triển của \({\left( {x + 2} \right)^n}\) (theo lũy thừa của x), hệ số của số hạng thứ 10 lớn hơn hệ số của số hạng thứ 9 và hệ số của số hạng thứ 11. Giải Khai triển \({\left( {x + 2} \right)^n}\) theo lũy thừa giảm của x là \({\left( {x + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{2^k}} \) Do đó ta phải có \(C_n^9{2^9} > C_n^8{2^8}\) và \(C_n^{9}{2^{9}} > C_n^{10}{2^{10}}\) hay \(2\left( {n - 8} \right) > 0\) và \(10 > 2\left( {n - 9} \right).\) Từ đó 12,5 < n< 14. Suy ra n = 13. Câu 2.69 trang 71 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bốn khẩu pháo cao xạ A, B, C và D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng các khẩu pháo trên tương ứng là: \(P(A) = {1 \over 2};P(B) = {2 \over 3};P(C) = {4 \over 5}\) và \(P(D) = {5 \over 7}.\) Tính xác suất để mục tiêu bị trúng đạn. Giải Ta tính xác xuất để lục tiêu không bị trúng đạn tức là khi cả 4 khẩu pháo đều bắn trượt. Xác xuất đó là \({1 \over 2}.{1 \over 3}.{1 \over 5}.{2 \over 7} = {1 \over {105}}.\) Suy ra xác suất để mục tiêu bị trúng đạn là \(1 - {1 \over {105}} = {{104} \over {105}}.\) Câu 2.70 trang 71 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một bài kiểm tra trắc nghiệm có 4 câu. Mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Nếu trả lời đúng thì được 5 điểm. Nếu trả lời sai thì không được điểm. An làm bài thi bằng cách ở mỗi câu chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Gọi X là tổng số điểm mà An nhận được. a) Lập bảng phân bố xác suất của X. b) Tính E(X) và V(X) Giải a) Bảng phân bố xác suất của X như sau: X05101520P0,40960,40960,15360,02560,0016b) \(E\left( X \right) = 4\,\,\,\,\,;\,\,\,V\left( X \right) = 16\) Câu 2.71 trang 71 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Máy bay Boing 747 có 4 động cơ. Xác suất để mỗi động cơ gặp sự cố khi bay là 0,1. Máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu chỉ có nhiều nhất một trong 4 động cơ gặp sự cố. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn. Giải Gọi X là số động cơ gặp sự cố Ta có: \(P\left( {X = 0} \right) = 0,9.0,9.0,9.0,9 = 0,6561\) \(P\left( {X = 1} \right) = 4.0,1.0,9.0,9.0,9 = 0,2916\) Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( {X = 0} \right) + P\left( {X = 1} \right) = 0,9477\) Câu 2.72 trang 71 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Số người chết trong một tuần ở vùng A là một biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố xác suất như sau: X0123P0,40,30,20,1Số trẻ sinh ra trong một tuần ở vùng A là một biến ngẫu nhiên Y có bảng phân bố xác suất như sau Y01234P0,10,30,40,150,05a) Tính số trẻ em sinh ra và số người chết trung bình trong một tuần. b) Số dân tăng trung bình trong một tuần là bao nhiêu ? Giải a) \(E\left( X \right) = 0,3 + 0,4 + 0,3 = 1\) \(E\left( Y \right) = 0,3 + 0,8 + 0,45 + 0,2 = 1,75\) b) Số dân tăng trung bình là \(1,75 - 1 = 0,75.\)
