Câu 3.8 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy tính 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau: a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {3^n} - {2^n}\) b) Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{{3^n}} \over {{n^3}}}\) Giải a) \(\eqalign{ & {u_1} = 1 \cr & {u_2} = 5 \cr & {u_3} = 19 \cr & {u_4} = 65 \cr & {u_5} = 211 \cr & {u_6} = 665 \cr} \) b) \(\eqalign{ & {u_1} = 3 \cr & {u_2} = {9 \over 8} \cr & {u_3} = 1 \cr & {u_4} = {{81} \over {64}} \cr & {u_5} = {{243} \over {125}} \cr & {u_6} = {{27} \over 8} \cr} \) Câu 3.9 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin {{n\pi } \over 4} + {\cos ^2}{{2n\pi } \over 3}\) Hãy điền các số thích hợp vào các ô trống của bảng dưới đây: n12345\({u_n}\)Giải n12345\({u_n}\)\({1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over 4}\) \({5 \over 4}\)\({{\sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }}\)\({1 \over 4}\)\({-1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over 4}\) Câu 3.10 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị (C) của hàm số \(y = {{2x - 1} \over {2{x^2} + 1}}\) Với mỗi số nguyên dương n, gọi \({A_n}\) là giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng \(x = n\) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n}\) là tung độ của điểm \({A_n}\). Hãy tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số đó. Giải Vì \({A_n}\) nằm trên đường thẳng \(x = n\) nên hoành độ của nó bằng n. Vì \({A_n}\) nằm trên đồ thị (C) nên tung độ của nó được xác định bởi công thức \({u_n} = {{2n - 1} \over {2{n^2} + 1}}\) Câu 3.11 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\), xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 3{u_n} + 10\) với mọi \(n \ge 1\) \({v_1} = 5,{v_2} = 0\) và \({v_{n + 2}} = {v_{n + 1}} + 6{v_n}\) với mọi \(n \ge 1\) Hãy điền các số thích hợp vào các ô trống của bảng dưới đây n357\({u_n}\)\({v_m}\)Giải n357\({u_n}\)13 157 1453 \({v_m}\) 30210 1650 Câu 3.12 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {5.4^{n - 1}} + 3\) a) Chứng minh rằng \({u_{n + 1}} = 4{u_n} - 9\) với mọi \(n \ge 1\) b) Dựa vào kết qủa của phần a), hãy cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bởi hệ thức truy hồi Giải a) Ta có \({u_{n + 1}} = {5.4^{n - 1}} + 3 = {4.5.4^{n + 1}} + 3\) \( = 4.\left( {{{5.4}^{n - 1}} + 3} \right) - 9 = 4{u_n} - 9\left( {\forall n \ge 1} \right)\) b) Theo công thức xác định \({u_n},\) ta có \({u_1} = {5.4^{1 - 1}} + 3 = 8.\)Vì thế kết hợp với kết quả của phần a) suy ra có thể cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bởi \({u_1} = 8\) và \({u_{n + 1}} = 4{u_n} - 9\) với mọi \(n \ge 1\) Câu 3.13 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right),\) với \({u_n} = n\) và \({v_n} = {2^n} + n\) a) Chứng minh rằng với mọi \(n \ge 1\), ta luôn có \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - n + 1\) và \({v_{n + 1}} = 2{v_n} - n + 1\) b) Em có thể rút ra nhận xét gì từ kết quả đã chứng minh được ở phần a) ? Giải a) Ta có \({u_{n + 1}} = n + 1 = 2n - n + 1 = 2{u_n} - n + 1\left( {\forall n \ge 1} \right)\) \({v_{n + 1}} = {2^{n + 1}} + n + 1 = 2.\left( {{2^n} + n} \right) - n + 1 \) \(= 2{v_n} - n + 1\left( {\forall n \ge 1} \right)\) b) Hai dãy có cùng công thức truy hồi. Câu 3.14 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, đồ thị (C) của hàm số \(y = 2x + 1.\) Trên (C) lấy điểm \({A_1}\) có hoành độ bằng \({1 \over 3}.\) Qua \({A_1}\) kẻ một đường thẳng song song với trục hoành cắt đường thẳng \(\Delta \) chứa đường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại điểm \({B_1};\) gọi \({A_2}\) là giao điểm của (C) với đường thẳng đi qua \({B_1}\) và song song với trục tung. Với điểm \({A_2},\) lại thực hiện các bước tương tự như đã làm với điểm \({A_1}\) ta sẽ được điểm \({A_3}.\) Với điểm \({A_3},\) lại làm như thế với điểm \({A_4}.\) Cứ tiếp tục mãi quá trình trên, ta sẽ được một dãy vô hạn các điểm \({A_1},{A_2},{A_3},{A_4},...\) nằm trên đồ thị (C), (h.3.1) Với mỗi số nguyên dương n, gọi \({u_n}\) là hoành độ của điểm \({A_n}.\) Hãy cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bởi hệ thức truy hồi. Giải - Phương trình của đường thẳng \(\Delta :y = x\) - Với mỗi \(n \ge 1,\) kí hiệu \({a_n}\) và \({b_n}\) tương ứng là tung độ của điểm \({A_n}\) và điểm \({B_{n.}}\) Khi đó: - Do \({A_n}\) nằm trên (C) nên \({a_n} = 2{u_n} + 1\) - Do \({B_n}\) nằm trên đường thẳng đi qua \({A_n}\) và song song với trục hoành nên \({b_n} = {a_n} = 2{u_n} + 1\) - Do \({B_n}\) nằm trên đường thẳng đi qua \({A_{n + 1}}\) và song song với trục tung nên hoành độ của nó bằng \({u_{n + 1}}\) Từ đó, do \({B_n}\) nằm trên \(\Delta \) nên \({u_{n + 1}} = {b_n} = 2{u_n} + 1\) với mọi \(n \ge 1\) Vậy, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi \({u_1} = {1 \over 3}\) và \({u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1\) với mọi \(n \ge 1\) Câu 3.15 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau: a) Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 2{n^3} - 5n + 1\) b) Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = {3^n} - n\) c) Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\) Giải a) Với mỗi \(n \in N^*,\) ta có \(\eqalign{ {a_{n + 1}} - {a_n} &= \left[ {2{{\left( {n + 1} \right)}^3} - 5\left( {n + 1} \right) + 1} \right] \cr&- \left( {2{n^3} - 5n + 1} \right) \cr & = 2\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^3} - {n^3}} \right] - 5\left( {n + 1 - n} \right) \cr & = 2\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right).n + {n^2}} \right] - 5 \cr & = 6{n^2} + 6n - 3\cr& = 3.\left( {{n^2} - 1} \right) + 3{n^2} + 6n > 0\,\left( {do\,\,n \ge 1} \right) \cr} \) Vì thế, dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\)là một dãy số tăng. b) Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) là một dãy số tăng. Xét hiệu \({b_{n + 1}} - {b_{n.}}\) \(\eqalign{ & \left[ {{3^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right)} \right] - \left[ {{3^n} - n} \right] \cr & = {3^{n + 1}} - 1 - {3^n} \cr & = {2.3^n} - 1 > 0\,\,\forall n \ge 1 \cr} \) c) Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) là một dãy số giảm. Xét hiệu \({c_{n + 1}} - {c_{n.}}\) \({{n + 1} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - {n \over {{n^2} + 1}} < 0\) Câu 3.16 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau: a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{3^n}} \over {{2^{n + 1}}}}\) b) Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}}\) c) Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{3^n}} \over {{n^2}}}\) Giải a) Dễ thấy \({u_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Hơn nữa ta có \({{{u_n}} \over {{u_{n + 1}}}} = {{{3^n}} \over {{2^{n + 1}}}} \times {{{2^{n + 2}}} \over {{3^{n + 1}}}} = {2 \over 3} < 1\) Vì thế \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng. b) Dễ thấy \({v_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Hơn nữa, xét tỉ số \({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}}\) ta có \({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}} \times {{{2^{n + 1}}} \over {\sqrt {n + 1} }}={{2\sqrt n } \over {\sqrt {n + 1} }} > 1\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\) Vì thế, \(\left( {{v_n}} \right)\) là một dãy số giảm. c) Dễ thấy \({a_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Xét tỉ số \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\) ta có \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{{3^n}} \over {{n^2}}} \times {{{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {{3^{n + 1}}}} = {1 \over 3}{\left( {1 + {1 \over n}} \right)^2}\,\,\,\) Từ đó suy ra \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} < 1 \Leftrightarrow 1 + {1 \over n} < \sqrt 3 \Leftrightarrow n > {1 \over {\sqrt 3 - 1}} \Leftrightarrow n \ge 2\) \((do\,\,n \in N^*)\) \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} > 1 \Leftrightarrow 1 + {1 \over n} > \sqrt 3 \Leftrightarrow n < {1 \over {\sqrt 3 - 1}} \Leftrightarrow n = 1\) \((do\,\,n \in N^*)\) Như vậy, ta có \({a_1} > {a_2}\) và \({a_2} < {a_3} < ... < {a_n} < {a_{n + 1}} < ...\) Vì thế, \(\left( {{a_n}} \right)\) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm. Câu 3.17 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) Dãy số \(({a_n})\) với \({a_n} = {{3{n^2} - 2n + 1} \over {n + 1}};\) b) Dãy số \(({b_n})\) với \({b_n} = {{{n^2} + n + 1} \over {2{n^2} + 1}}.\) Giải a) Viết lại công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({a_n})\) dưới dạng \({a_n} = 3n - 5 + {6 \over {n + 1}}\) Từ đó, ta có với mọi \(n \ge 1:\) \({a_{n + 1}} - {a_n} = 3 + 6.\left( {{1 \over {n + 2}} - {1 \over {n + 1}}} \right) = {{3.\left( {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) - 2} \right)} \over {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \) \(= {{3n\left( {n + 3} \right)} \over {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\) Vì thế, \(({a_n})\) là một dãy số tăng. Câu 3.18 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) Dãy số \(({a_n})\) với \({a_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} ;\) b) Dãy số \(({b_n})\) với \({b_n} = {{\sqrt {n + 1} - 1} \over n}.\) Giải a) Viết lại công thức xác định \({a_n}\) dưới dạng \({a_n} = {1 \over {n + \sqrt {{n^2} + 1} }}\) Suy ra \({a_n} = {1 \over {n + \sqrt {{n^2} + 1} }} > {1 \over {n + 1 + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} }} = {a_{n + 1}}\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\) Nghĩa là dãy số \(({a_n})\) là một dãy số giảm. b) Viết lại công thức xác định \({b_n}\) dưới dạng \({b_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + 1}}\) \({b_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + 1}} > {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + 1}} = {b_{m + 1}}\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\) Nghĩa là dãy số \({b_n}\) là một dãy số giảm. Câu 3.19 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy xác định số thực a để dãy số \(({u_n}),\) với \({u_n} = {{a{n^2} + 1} \over {2{n^2} + 3}},\) là: a) Một dãy số giảm ; b) Một dãy số tăng . Giải Viết lại công thức xác định \({u_n}\) dưới dạng. \({u_n} = {a \over 2} + {{2 - 3a} \over {2.\left( {2{n^2} + 3} \right)}}\) Từ đó, ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = {{2 - 3a} \over 2} \times \left( {{1 \over {2.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right)\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\) (1) Dễ thấy \(\left( {{1 \over {2.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right)\, < 0\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\) Vì thế, từ (1) suy ra a) \(({u_n})\) là một dãy số giảm \( \Leftrightarrow {{2 - 3a} \over 2} > 0 \Leftrightarrow a < {2 \over 3}\) b) \(({u_n})\) là một dãy số tăng \( \Leftrightarrow {{2 - 3a} \over 2} < 0 \Leftrightarrow a < {2 \over 3}\) Câu 3.20 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng dãy số \(({v_n}),\) với \({v_n} = {{{n^2} + 1} \over {2{n^2} - 3}},\) là một dãy số bị chặn. Giải Viết lại công thức xác định \({v_n}\) dưới dạng \({v_n} = {1 \over 2} + {5 \over {2.\left( {2{n^2} - 3} \right)}}\) (1) Dễ thấy \(\forall n \ge 1,\) ta có \( - 1 \le {1 \over {2{n^2} - 3}} < {1 \over 5}.\) Do đó, từ (1) suy ra \( - 2 \le {v_n} \le 1\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Vì vậy, \(({v_n})\) là một dãy số bị chặn. Câu 3.21 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng dãy số \(({u_n}),\) với \({u_n} = {{7n + 5} \over {5n + 7}},\) là một dãy số tăng và bị chặn. Giải Viết lại công thức xác định \({u_n}\) dưới dạng \({u_n} = {7 \over 5} - {{24} \over {5.\left( {5n + 7} \right)}}\) Từ đó, suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = {{24} \over 5} \times \left( {{1 \over {5n + 7}} - {1 \over {5\left( {n + 1} \right) + 7}}} \right) > 0\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\) Và \(1 \le {u_n} \le {7 \over 5}\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right),\,\,\,\left( {do\,\,0 < {1 \over {5n + 7}} \le {1 \over {12}}} \right)\) Vì thế, \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng và bị chặn. Câu 3.22 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n}),\) với \({u_n} = \sin {{n\pi } \over 3} + \cos {{n\pi } \over 6}.\) a)Hãy tính \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5}.\) b) Chứng minh rằng \({u_n} = {u_{n + 12}}\) với mọi \(n \ge 1.\) Giải a) \(\eqalign{ & {u_1} = \sqrt 3 \cr & {u_2} = {{\sqrt 3 + 1} \over 2} \cr & {u_3} = 0 \cr & {u_4} = - \sqrt 3 \cr & {u_5} = - \sqrt 3 \cr} \) b) Với n là một số nguyên dương tùy ý, ta có \(\eqalign{ & {u_{n + 12}} = \sin {{\left( {n + 12} \right)\pi } \over 3} + \cos {{\left( {n + 12} \right)\pi } \over 6} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin \left( {{{n\pi } \over 3} + 4\pi } \right) + \cos \left( {{{n\pi } \over 6} + 2\pi } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin {{n\pi } \over 3} + \cos {{n\pi } \over 6} = {u_n} \cr} \) Câu 3.23 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n}),\)với \({u_n} = \sin (2n - 1){\pi \over 3}.\) a) Chứng minh rằng \({u_n} = {u_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1.\) b) Hãy tính tổng 17 số hàng đầu tiên của dãy số đã cho. Giải a) \({u_{n + 3}} = \sin \left[ {\left( {2\left( {n + 3} \right) - 1} \right){\pi \over 3}} \right] \) \(= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right){\pi \over 3} + 2\pi } \right]\) \(= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right){\pi \over 3}} \right] = {u_n}\) b) Từ kết quả của phần a), ta có \(\eqalign{ & {u_1} = {u_4} = {u_7} = {u_{10}} = {u_{13}} = {u_{16}} \cr & {u_2} = {u_5} = {u_8} = {u_{11}} = {u_{14}} = {u_{17}} \cr & {u_3} = {u_6} = {u_9} = {u_{12}} = {u_{15}} \cr} \) Từ đó, kí hiệu \({S_{17}}\) là tổng cần tính, ta có \({S_{17}} = 5\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) + {u_1} + {u_2}\) (1) Bằng cách tình trực tiếp, ta có \({u_1} = {{\sqrt 3 } \over 2},{u_2} = 0\) và \({u_3} = - {{\sqrt 3 } \over 2}.\) Do đó, từ (1) ta được \({S_{17}} = 5\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} + 0 - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{\sqrt 3 } \over 2}\) Câu 3.24 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({v_n})\) xác định bởi \({v_1} = 1\) và \({v_{n + 1}} = - {3 \over 2}v_n^2 + {5 \over 2}{v_n} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\) a) Hãy tính \({v_2},{v_3}\) và \({v_4}.\) b) Chứng minh rằng \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1.\) Giải a) Ta có \(\eqalign{ & {v_2} = - {3 \over 2}v_1^2 + {5 \over 2}{v_1} + 1 = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr & {v_3} = - {3 \over 2}v_2^2 + {5 \over 2}{v_2} + 1\cr&\;\;\;\; = - {3 \over 2} \times {2^2} + {5 \over 2} \times 2 + 1 = 0 \cr & {v_4} = - {3 \over 2}v_3^2 + {5 \over 2}{v_3} + 1\cr&\;\;\;\;= - {3 \over 2} \times {0^2} + {5 \over 2} \times 0 + 1 = 1 \cr} \) b) Ta sẽ chứng minh\({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp. Từ giả thiết của bài ra và kết quả cuẩ phần a) ta có \({v_1} = {v_4}.\) Như vậy, ta có đẳng thức cần chứng minh khi \(n = 1.\) Giả sử đã có đẳng thức nói trên khi \(n = k,k \in N^*,\) ta sẽ chứng minh ta cũng có đẳng thức đó khi \(n = k + 1.\) Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số \(({v_n})\) và giả thiết quy nạp ta có \({v_{k + 4}} = - {3 \over 2}v_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{v_{k + 3}} + 1 \) \(= - {3 \over 2}v_k^2 + {5 \over 2}{v_k} + 1 = {v_{k + 1}}\) Từ các chứng minh trên suy ra ta có \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1.\) Câu 3.25 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 7\) với mọi \(n \ge 1.\) a) Hãy tính \({u_2},{u_4}\) và \({u_6}.\) b) Chứng minh rằng \({u_n} = 7n - 6\) với mọi \(n \ge 1.\) Giải a) \(\eqalign{ & {u_2} = 8 \cr & {u_4} = 22 \cr & {u_6} = 36 \cr} \) b) Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 7n - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) với mọi \(n \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp. Với \(n = 1,\) ta có \({u_1} = 1 = 7.1 - 6.\) Như vậy, (1) đúng khi \(n = 1.\) Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*,\) ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k = 1.\) Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) và giả thiết quy nạp ta có \({u_{k + 1}} = {u_k} + 7 = 7.k- 6 + 7 = 7.(k + 1) - 6\) Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với mọi \(n \ge 1.\)
