Sách bài tập Toán 11 - Đại số và Giải tích 11 nâng cao - Chương III - Bài 3. Cấp số cộng

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 3.30 trang 90 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và \({u_2} = 6.\)
    a) Hãy tìm công sai d của cấp số cộng đã cho.
    b) Tính \({u_3},{u_4},{u_5}\) và \({u_6}.\)
    Giải
    a) \(d = {u_2} - {u_1} = 6 - 1 = 5\)
    b)
    \(\eqalign{
    & {u_3} = 6 + 5 = 11 \cr
    & {u_4} = 11 + 5 = 16 \cr
    & {u_5} = 16 + 5 = 21 \cr
    & {u_6} = 21 + 5 = 26 \cr} \)

    Câu 3.31 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
    a) Dãy số \(({a_n})\) xác định bởi \({a_1} = 1\) và \({a_{n + 1}} = 3 + {a_n}\) với mọi \(n \ge 1;\)
    b) Dãy số \(({b_n})\) xác định bởi \({b_1} = 3\) và \({b_{n + 1}} = {b_n} - n\) với mọi \(n \ge 1;\)
    c) Dãy số \(({c_n})\) xác định bởi \({c_{n + 1}} = {c_n} + 2\) với mọi \(n \ge 1.\)
    Giải
    a) \({a_{n + 1}} - {a_n} = 3\) (không đổi)
    Dãy số \(({a_n})\) là một cấp số cộng với công sai bằng 3.
    b) \({b_{n + 1}} - {b_n} = n\) (thay đổi)
    Dãy số \(({b_n})\) không phải là một cấp số cộng.
    c) \({c_{n + 1}} - {c_n} = 2\) (không đổi)
    Dãy số \(({c_n})\) là một cấp số cộng với công sai bằng 2.

    Câu 3.32 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = 3x - 2.\)
    Với mỗi số nguyên dương n, gọi \({A_n}\) là giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng x = n.
    Xét dãy số \(({u_n})\) với \(u_n\) là tung độ của điểm \(A_n\). Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
    Giải
    Với mỗi số \(n \in N^*,\) vì điểm \({A_n}\) nằm trên đường thẳng \(x = n\) nên hoành độ của nó bằng n . Do \({A_n}\) nằm trên đồ thị (C) nên tung độ \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức
    \({u_n} = 3n - 2.\)
    Như vậy, theo đề bài ta cần chứng minh dãy số \(({u_n})\), với \({u_n} = 3n - 2\), là một cấp số cộng.
    Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n},\) ta có với mọi \(n \ge 1;\)
    \({u_{n + 1}} - {u_n} = (3.(n + 1) - 2) - (3n - 2) = 3\).
    Từ đó suy ra \(({u_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 3.1 - 2 = 1\) và công sai \(d = 3\).

    Câu 3.33 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Xét dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = a\) và \({u_{n + 1}} = 5 - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1,\) trong đó a là số thực.
    Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng.
    Giải
    Giả sử \(({u_n})\) là một cấp số cộng. Khi đó, tồn tại một hằng số d sao cho
    \(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} - {u_n} = d.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
    Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra
    \(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 2{u_n}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)
    Từ (1) và (2) ta được \({u_n} = {{5 - d} \over 2}\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Suy ra, phải có \({u_2} = a\) hay \(5 - a = a,\) dẫn tới \(a = {5 \over 2}.\)
    Ngược lại, với \(a = {5 \over 2}\) dễ dàng chứng minh được \(u_n = {5 \over 2}\) với mọi \(n\ge 1\). Vì thế dãy số \((u_n)\) là một cấp số cộng với công sai \(d=0\).
    Tóm lại, có duy nhất giá trị a cần tìm là \(a = {5 \over 2}\).

    Câu 3.34 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho một cấp số cộng có 5 số hạng. biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 7. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó.
    Giải
    Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng đã cho. Theo giả thiết ta có \({u_2} = 3,{u_4} = 7,\) và theo yêu cầu của bài ra ta cần tính \({u_1},{u_3},{u_5}.\)
    Ta có
    \(\eqalign{
    & 2{u_3} = {u_2} + {u_4} = 3 + 7 = 10 \Rightarrow {u_3} = 5 \cr
    & {u_1} = 2{u_2} - {u_3} = 2.3 - 5 = 1 \cr
    & {u_5} = 2{u_4} - {u_3} = 2.7 - 5 = 9. \cr} \)

    Câu 3.35 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Hãy tìm cấp số cộng đó.
    Giải
    Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng cần tìm. Theo giả thiết của bài ra, ta có \({u_3} + {u_5} = 28\) và \({u_5} + {u_7} = 140.\)Từ đó
    \(\left. \matrix{
    2{u_4} = 28 \Rightarrow {u_4} = 14 \hfill \cr
    2{u_6} = 140 \Rightarrow {u_6} = 70 \hfill \cr} \right\} \)
    \(\Rightarrow 2{u_5} = {u_4} + {u_6} = 14 + 70 = 84 \Rightarrow {u_5} = 42.\)
    Suy ra
    \(\eqalign{
    & {u_7} = 140 - {u_5} = 140 - 42 = 98 \cr
    & {u_3} = 28 - {u_5} = 28 - 42 = - 14 \cr
    & {u_2} = 2{u_3} - {u_4} = 2.( - 14) - 14 = - 42 \cr
    & {u_1} = 2{u_2} - {u_3} = 2.( - 42) - ( - 14) = - 70. \cr} \)
    Vậy, cấp số cộng cần tìm là : \( - 70, - 42, - 14,14,42,70,98.\)

    Câu 3.36 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = - 3.\)
    Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm \({A_1},{A_2},...\) sao cho với mỗi số nguyên dương n, điểm \({A_n}\) có tọa độ là \((n,{u_n})\). Chứng minh rằng tất cả các điểm \({A_n},n = 1,2,3,...,\) cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy cho biết phương trình của đường thẳng đó.
    Giải
    Từ giả thiết của bài toán suy ra \({u_n} = 2 + (n - 1).( - 3) = - 3n + 5\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế với mỗi \(n \ge 1\), điểm \({A_n}(n,{u_n})\) nằm trên đường thẳng \(y = - 3x + 5\). Nới một cách khác:
    Tất cả các điểm \({A_n},n = 1,2,3,...,\) cùng nằm trên đường thẳng \(y = - 3x + 5\).

    Câu 3.37 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho một cấp số cộng có 7 số hạng với công sai dương và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6.
    Giải
    Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu\({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số cộng đã cho.
    Vì cấp số cộng nói trên có công sai \(d > 0\) nên \({u_3} < {u_5}\). Vì thế, từ giả thiết hiệu của \({u_3}\) và \({u_5}\) bằng 6 ta được \({u_5} - {u_3} = 6\) hay \(({u_1} + 4d) - ({u_1} + 2d) = 6\). Suy ra \(d = 3.\)
    Vì thế, từ giả thiết \({u_4} = 11\) ta được\({u_1} = {u_4} - 3d = 11 - 3.3 = 2\)
    Từ đó \({u_2} = {u_1} + d = 2 + 3 = 5,{u_3} = {u_2} + d = 5 + 3 = 8,\)
    \({u_5} = {u_4} + d = 11 + 3 = 14\)
    \({u_6} = {u_5} + d = 14 + 3 = 17\) và \({u_7} = {u_6} + d = 117 + 3 = 20.\)

    Câu 3.38 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_{17}} - {u_{20}} = 9\) và \(u_{17}^2 + u_{20}^2 = 153\). Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
    Giải
    Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng đã cho. Ta có
    \(\eqalign{
    & 9 = {u_{17}} - {u_{20}} = \left( {{u_1} + 16d} \right) - \left( {{u_1} + 19d} \right) = - 3d \cr&\Rightarrow d = - 3 \cr
    & 153 = {\left( {{u_{17}}} \right)^2} + {\left( {{u_{20}}} \right)^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\,= {1 \over 2}\left[ {{{\left( {{u_{17}} - {u_{20}}} \right)}^2} + {{\left( {{u_{17}} + {u_{20}}} \right)}^2}} \right] \cr&\;\;\;\;\;\;\,= {1 \over 2}\left[ {{9^2} + {{\left( {{u_{17}} + {u_{20}}} \right)}^2}} \right] \cr} \)
    \( \Rightarrow {\left( {{u_{17}} + {u_{20}}} \right)^2} = 2 \times 153 - 81 = 225 = {15^2}\). Xảy ra các trường hợp :
    \( - \) Trường hợp 1: \({u_{17}} + {u_{20}} = 15\). Khi đó
    \(15 = \left( {{u_1} + 16d} \right) + \left( {{u_1} + 19d} \right) \)
    \(= 2{u_1} + 35d = 2{u_1} + 35.( - 3) = 2{u_1} - 105 \)
    \(\Rightarrow {u_1} = 60.\)
    \( - \) Trường hợp 2: \({u_{17}} + {u_{20}} = - 15\). Khi đó
    \( - 15 = \left( {{u_1} + 16d} \right) + \left( {{u_1} + 19d} \right) = 2{u_1} + 35d \)
    \(= 2{u_1} + 35.( - 3)= 2{u_1} - 105 \)
    \(\Rightarrow {u_1} = 45.\)
    Vậy, cấp số cộng đã cho có \({u_1} = 60\) và \(d = - 3\) , hoặc \({u_1} = 45\) và \(d = - 3\).

    Câu 3.39 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có công sai \(d > 0,{u_{31}} + {u_{34}} = 11\) và \({\left( {{u_{31}}} \right)^2} + {\left( {{u_{34}}} \right)^2} = 101\). Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
    Giải
    Ta có
    \(\eqalign{
    & 101 = {\left( {{u_{31}}} \right)^2} + {\left( {{u_{34}}} \right)^2} \cr&\;\;\;\;\;= {1 \over 2}\left[ {{{\left( {{u_{31}} - {u_{34}}} \right)}^2} + {{\left( {{u_{31}} + {u_{34}}} \right)}^2}} \right] \cr&\;\;\;\;\;= {1 \over 2}\left[ {{{11}^2} + {{\left( {{u_{31}} - {u_{34}}} \right)}^2}} \right] \cr
    & \Rightarrow {\left( {{u_{31}} - {u_{34}}} \right)^2} = 2 \times 101 - 121 = 81 = {9^2}\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)
    Vì \(d > 0\) nên \({u_{31}} < {u_{34}}.\) Do đó, từ (1) ta được \({u_{31}} - {u_{34}} = - 9,\) hay
    \( - 9 = {u_{31}} - {u_{34}} = ({u_1} + 30d) - ({u_1} + 33d) = - 3d \)
    \(\Rightarrow d = 3\)
    Vì thế
    \(\eqalign{
    & 11 = {u_{31}} + {u_{34}} = \left( {{u_1} + 30d} \right) + \left( {{u_1} + 33d} \right) \cr&\;\;\;\;\;= 2{u_1} + 63d = 2{u_1} + 63 \times 3 = 2{u_1} + 189 \cr
    & \Rightarrow {u_1} = - 89. \cr} \)
    Từ đó suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là :
    \({u_n} = - 89 + (n - 1).3\) hay \({u_n} = 3n - 92\)

    Câu 3.40 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho cấp số cộng \(({u_n})\) và cho các số nguyên dương m, k với \(m < k\). Chứng minh rằng
    \({u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.\)
    Áp dụng. Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.
    Giải
    Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng \(({u_n})\), ta có
    \(\eqalign{
    & {u_{k - m}} = {u_1} + (k - m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d - md \cr&= {u_k} - md, \cr
    & {u_{k + m}} = {u_1} + (k + m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d + md \cr&= {u_k} + md \cr} \)
    Từ đó suy ra \({u_{k - m}} + {u_{k + m}} = 2{u_k}\) hay \({u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.\)
    Áp dụng. Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số cộng cần tìm. Theo giả thiết cả bài ra, ta có \({u_3} = 2\) và \({u_1} + {u_7} = 10\)
    Áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \(m = 3\)\(k = 4,\)ta được
    \({u_4} = {{{u_1} + {u_7}} \over 2} = {{10} \over 2} = 5\)
    Suy ra\(d = {u_4} - {u_3} = 5 - 2 = 3.\)Do đó
    \({u_1} = {u_3} - 2d = 2 - 2.3 = - 4,\)
    \({u_2} = {u_1} + d = - 4 + 3 = - 1,\)
    \({u_5} = {u_4} + d = 5 + 3 = 8\)
    \({u_6} = {u_5} + d = 8 + 3 = 11\) và \({u_7} = {u_6} + d = 11 + 3 = 14\)

    Câu 3.41 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Hãy tính các tổng sau đây:
    a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có hạng đấu bằng 102, số hạng thứ hai bằng 105 và các số hạng cuối bằng 999.
    b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng \({1 \over 3}\), số hạng thứ hai bằng \( - {1 \over 3}\) và số hạng cuối bằng \( - 2007.\)
    Giải
    a) Kí hiệu d là công sai và k là số các hạng số của cấp số cộng đã cho. Ta có
    \(d = {u_2} - {u_1} = 105 - 102 = 3\)
    Suy ra
    \(999 = {u_k} = {u_1} + (k - 1).d = 102 + (k - 1).3 \)
    \(= 99 + 3k\)
    \(\Rightarrow k = 300\)
    Từ đó, kí hiệu tổng cần tính là S, ta được
    \(S = {{300.({u_1} + {u_2})} \over 2} = {{300.(102 + 999)} \over 2} = 165150\)
    b) Kí hiệu k là số các số hạng của cấp số cộng đã cho. Bằng cách tương tự như phần a) , ta tìm được \(k = 3012\). Từ đó, kí hiệu tổng cần tính là S, ta được
    \(S = {{3012.({u_1} + {u_k})} \over 2} = {{3012.\left( {{1 \over 3} - 2007} \right)} \over 2} = - 3022040\).

    Câu 3.42 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_5} + {u_{19}} = 90\). Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của \(({u_n})\).
    Giải
    Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có
    \(90 = {u_5} + {u_{19}} = \left( {{u_1} + 4d} \right) + \left( {{u_1} + 18d} \right)\)
    \(= {u_1} + \left( {{u_1} + 22d} \right) = {u_1} + {u_{23}}\)
    Từ đó, kí hiệu \({S_{23}}\) là tổng cần tính, ta được
    \({S_{23}} = {{23.({u_1} + {u_{23}})} \over 2} = {{23 \times 90} \over 2} = 1035\)

    Câu 3.43 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_2} + {u_5} = 42\) và \({u_4} + {u_9} = 66\). Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
    Giải
    Ta có
    \(\eqalign{
    & \left\{ \matrix{
    {u_2} + {u_5} = 42 \hfill \cr
    {u_4} + {u_9} = 66 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {u_1} + d + {u_1} + 4d = 42 \hfill \cr
    {u_1} + 3d + {u_1} + 8d = 66 \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    2{u_1} + 5d = 42 \hfill \cr
    2{u_1} + 11d = 66 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {u_1} = 11 \hfill \cr
    d = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
    Từ đó, kí hiệu \({S_{346}}\) là tổng cần tính, ta được
    \({S_{346}} = {{346.(2{u_1} + 345d)} \over 2} = {{346.(2 \times 11 + 345 \times 4)} \over 2} = 242546\)

    Câu 3.44 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho cấp số cộng tăng \(({u_n})\) có \(u_1^3 + u_{15}^3 = 302094\) và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. Hãy tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó.
    Giải
    Kí hiệu d là công sai của \({S_{15}}\) là tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Vì \(({u_n})\) là cấp số cộng tăng nên \(d > 0.\)
    Ta có
    \(585 = {S_{15}} = {{15.({u_1} + {u_{15}})} \over 2} \)
    \(\Leftrightarrow {u_1} + {u_{15}} = 78 \Leftrightarrow 2{u_1} + 14d = 78\)
    \( \Leftrightarrow {u_1} + 7d = 39\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
    \(\eqalign{
    & u_1^3 + u_{15}^3 = 302094\cr& \Leftrightarrow {\left( {{u_1} + {u_{15}}} \right)^3} - 3{u_1}{u_{15}}.\left( {{u_1} + {u_{15}}} \right) = 302094 \cr
    & \Leftrightarrow {78^3} - 3{u_1}.\left( {{u_1} + 14d} \right).78 = 302094 \cr&\Leftrightarrow {u_1}.\left( {{u_1} + 14d} \right) = 737\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)
    Từ (1) và (2) ta được hệ
    \(\left\{ \matrix{
    {u_1} + 7d = 39 \hfill \cr
    {u_1}.\left( {{u_1} + 14d} \right) = 737 \hfill \cr} \right.\)
    Giải hệ trên, với lưu ý \(d > 0\), ta được \({u_1} = 11\) và \(d = 4\)