Câu 3.64 trang 95 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({a_n})\) xác định bởi \({a_1} = 321\) và \({a_n} = {a_{n - 1}} - 3\) với mọi n=2,3,4,…. Tổng 125 số hạng đầu tiên của dãy số \(({a_n})\) là : (A) 16875 (B) 63375 (C) 63562,5 (D) 16687,5. Giải Chọn (A) Câu 3.65 trang 95 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({x_n})\) xác định bởi \({x_1} = 12\) và \({x_n}={{{x_n} - 1} \over 3}\) với mọi n = 2 , 3 , 4 ,…. Tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là : (A) \({{28697812} \over {1594323}}\) (B) \({{28697813} \over {1594323}}\) (C) \({{7174453} \over {398581}}\) (D) \({{28697813} \over {1594324}}.\) Giải Chọn (A) Câu 3.66 trang 95 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 123\) và \({u_3} - {u_{15}} = 84.\) Số hạng \({u_{17}}\) là : (A) 242 (B) 235 (C) 11 (D) 4. Giải Chọn (C) Câu 3.67 trang 95 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \({u_1} = 24\) và \({{{u_4}} \over {{u_{11}}}} = 16384.\) Số hạng \({u_{17}}\) là: (A) \({3 \over {67108864}}\) (B) \({3 \over {268435456}}\) (C) \({3 \over {536870912}}\) (D) \({3 \over {2147483648}}.\) Giải Chọn (C) Câu 3.69 trang 96 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = \cos (3n + 1){\pi \over 6}.\) a) Chứng minh rằng \({u_n} = {u_{n + 4}}\) với mọi \(n \ge 1.\) b) Hãy tính tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Giải a) Ta có \( {u_{n + 4}} = \cos \left( {3\left( {n + 4} \right) + 1} \right){\pi \over 6} \) \(= \cos \left( {\left( {3n + 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right) = \cos \left( {3n + 1} \right){\pi \over 6} = {u_n}\) \(\forall n \ge 1.\) b) Kí hiệu S là tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\). Từ kết quả phần a) , ta được \(S = 6\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Bằng cách tính trực tiếp, ta có: \({u_1} = - {1 \over 2},{u_2} = - {{\sqrt 3 } \over 2},{u_3} = {1 \over 2},{u_4} = {{\sqrt 3 } \over 2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) , ta được : \(S = - {{\sqrt 3 } \over 2}\) Câu 3.71 trang 96 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) mà tổng n số hạng đầu tiên của nó, kí hiệu là \({S_n}\), được tính theo công thức sau : \({S_n} = {{n(7 - 3n)} \over 2}.\) a) Hãy tính \({u_1},{u_2}\) và \({u_3}.\) b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). c) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó. Giải a) Ta có \({u_1} = {S_1} = 2,{u_2} = \left( {{u_1} + {u_2}} \right) - {u_1} \) \(= {S_2} - {u_1} = {S_2} - {S_1} = 1 - 2 = - 1,\) \({u_3} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) - ({u_1} + {u_2}) = {S_3} - {S_2} = - 4.\) b) Đặt \({S_0} = 0,\) ta có số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {{n\left( {7 - 3n} \right)} \over 2} - {{\left( {n - 1} \right)\left[ {7 - 3\left( {n - 1} \right)} \right]} \over 2} \) \(= 5 - 3n.\) c) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 3\left( {n + 1} \right) - 5 + 3n = - 3\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({u_n})\) là một cấp số cộng với công sai bằng \( - 3\). Câu 3.72 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol \(y = {x^2}\) lấy dãy các điểm \(({A_n})\) và \(({B_n})\) sao cho điểm \({A_1}\) có hoành độ dương và với mỗi số nguyên dương n, đường thẳng \({A_n}{B_n}\) có hệ số góc bằng \( - {1 \over 5}\) và đường thẳng \({B_n}{A_{n + 1}}\) có hệ số góc bằng \({1 \over 4}.\) (h.3.2). Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu \({a_n}\) và \({b_n}\) tương ứng với hoành độ của \({A_n}\) và \({B_n}\). Chứng minh rằng các dãy số \(({a_n})\) và\(({b_n})\) là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó. Giải Với mỗi \(n \ge 1,\) do \({A_n}\) và \({B_n}\) nằm trên parabol \(y = {x^2}\) nên \({A_n} = \left( {{a_n};a_n^2} \right)\) và \({B_n} = \left( {{b_n};b_n^2} \right)\). Từ đó: - Do đường thẳng \({A_n}{B_n}\) có hệ số góc bằng \(- {1 \over 5}\) nên \({a_n} + {b_n} = - {1 \over 5}\) với mọi \(n \ge 1;\) - Do đường thẳng \({B_n}{A_{n + 1}}\) có hệ số góc bằng \({1 \over 4}\) nên \({a_{n + 1}} + {b_n} = {1 \over 4}\) với mọi \(n \ge 1;\) Suy ra với mọi \(n \ge 1,\) ta có \({a_{n + 1}} - {a_n} = {9 \over {20}}\) và \({b_{n + 1}} - {b_n} = - {9 \over {20}}.\) Vì thế - Dãy số \(({a_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({a_1}\) và công sai \(d = {9 \over {20}};\) - Dãy số \(({b_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({b_1} = - {1 \over 5} - {a_1}\) và công sai \(d = - {9 \over {20}}.\) Số hạng tổng quát : \({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \times {9 \over {20}}\) và \({b_n} = - {1 \over 5} - {a_1} - \left( {n - 1} \right) \times {9 \over {20}}\). Câu 3.73 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số\(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} \) với mọi \(n \ge 1.\) a) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\), mà \({v_n} = u_n^2\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). c) Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2.\) Giải a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(n \ge 1\) \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2,\) hay \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2.\) Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 2.\) b) Từ định nghĩa dãy số \(({u_n})\) và dãy số \(({v_n})\) dễ dàng suy ra \({u_n} > 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Từ đó, ta có \({u_n} = \sqrt {{v_n}} \) với mọi \(n \ge 1.\) Từ kết quả phần a) suy ra : \({v_n} = 1 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Vì thế \({u_n} = \sqrt {2n - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\forall n \ge 1).\) c) \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2\) \( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{1001}} \) \(= {{1001.\left( {2.1 + \left( {1001 - 1} \right).2} \right)} \over 2} = 1002001.\) Câu 3.74 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số\(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi \(n \ge 1.\) Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_{n }} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\) bằng \({u_{N + 1}} - {u_1}.\) b) Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. Giải a) Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Ta sẽ chứng minh \({S_N} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Với mọi \(N \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp. Với \(N = 1\) , ta có \({S_1} = {v_1} = {u_2} - {u_1}.\) Như vậy, (1) đúng khi \(N = 1.\) Giả sử đã có (1) đúng khi \(N = k,k \in {N^ * },\) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(N = k + 1.\) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số \(({v_n})\) ta có \({S_{k + 1}} = {S_k} + {v_{k + 1}} = \left( {{u_{k + 1}} - {u_1}} \right) + \left( {{u_{k + 2}} - {u_{k + 1}}} \right)\, \) \(= {u_{k + 2}} - {u_1}.\) Từ các chứng minmh trên suy ra (1) đúng với mọi \(N \ge 1.\) b) Từ định nghĩa dãy số \(({v_n})\) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({v_n} = n\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó \({v_{n + 1}} - {v_n} = \left( {n + 1} \right) - n\, = 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 1. Câu 3.75 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số\(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\) a) Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó b) Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số\(({v_n})\) theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). Giải a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó \({v_n} = 2n - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Suy ra \({v_{n + 1}} - {v_n} = (2(n + 1) - 1) - (2n - 1) = 2\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({v_n})\) là một cấp cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 2. b) Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Từ kết quả phần a) , ta có \({S_N} = {{N.\left( {2.1 + \left( {N - 1} \right).2} \right)} \over 2} = {N^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Mặt khác, bằng cách tương tự như lời giải phần a) bài tập 3.76, ta chứng minh được \({S_n} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall N \ge 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) , ta được : \({u_{N + 1}} - {u_1} = {N^2},\,\) hay \({u_{N + 1}} = {N^2} + {u_1} = {N^2} + 1\left( {\forall N \ge 1} \right).\,\) Từ đó, số hạng tổng quát của dẫy số \(({u_n})\) là : \({u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1 = {n^2} - 2n + 2\,.\) Câu 3.76 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) mà tổng số n số hạng đầu tiên của nó ( kí hiệu là \({S_n}\)) được tính theo công thức sau: \({S_n} = {{{3^n} - 1} \over {{3^{n - 1}}}}.\) a) Hãy tính \({u_1},{u_2}\) và \({u_3}.\) b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). c) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân. Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó. Giải a )Ta có \({u_1} = {S_1} = 2,\) \({u_2} = \left( {{u_1} + {u_2}} \right) - {u_1} = {S_2} - {u_1} = {S_2} - {S_1}\) \(= {8 \over 3} - 2 = {2 \over 3}\) \({u_3} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) - ({u_1} + {u_2}) = {S_3} - {S_2}\) \(= {{26} \over 9} - {8 \over 3} = {2 \over 9}\) b) Đặt \({S_0} = 0\), ta có \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {{{3^n} - 1} \over {{3^{n - 1}}}} - {{{3^{n - 1}} - 1} \over {{3^{n - 2}}}} = {2 \over {{3^{n - 1}}}}\left( {\forall n \ge 1} \right)\) c) Ta có \({u_{n + 1}} = {2 \over {{3^n}}} = {1 \over 3} \times {2 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over 3}{u_n}\,\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bội bằng \({1 \over 3}.\) Câu 3.77 trang 98 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng \(({d_1})\) và \(({d_2})\) tương ứng vói đồ thị của các hàm số \(y = 2x - 1\) và \(y = x.\) Xây dựng dãy các điểm \(({A_n})\) nằm trên \(({d_1})\) và dãy các điểm \(({B_n})\) nằm trên \(({d_2})\) theo cách sau (h.3.3): \( \bullet \) \({A_1}\) và \({B_1}\) tương ứng là giao điểm của đường thẳng \(x = {3 \over 2}\) với \(({d_1})\) và \(({d_2})\); \( \bullet \)Với mỗi số nguyên \(n \ge 2,{B_n}\) là giao điểm \(({d_2})\) với đường thẳng đi qua \({A_{n - 1}}\) và song song với trục hoành, \({A_n}\) là giao điểm của điểm \(({d_1})\) với đường đi qua \({B_n}\) và song song với trục tung. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu \({u_n}\) là hoành độ của \({A_n}\) và \({h_n}\) là độ dài của đoạn thẳng \({A_n}{B_n}\). a) Chứng minh rằng dãy số \(({h_n})\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. b) Dựa vào kết quả phần a), hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). Giải a ) Với mỗi \(n \ge 1,\) kí hiệu \({a_n}\) và \({b_n}\) tương ứng với tung độ của điểm \({A_n}\) và điểm \({B_n}.\) Khi đó : - Do \({A_n}\) nằm trên \(\left( {{d_1}} \right)\) nên \({a_n} = 2{u_n} - 1.\) - Do \({B_n}\) là giao điểm của \(\left( {{d_2}} \right)\) và đường thẳng đi qua \({A_n}\), song song với trục tung \({b_n} = {u_n}\). Suy ra với mọi \(n \ge 1.\) \({h_n} = {a_n} - {b_n} = \left( {2{u_n} - 1} \right) - {u_n} = {u_n} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Hơn nữa, với mỗi \(n \ge 1,\) do \({B_{n + 1}}\) nằm trên đường thẳng đi qua \({A_n}\) và song song với trục hoành nên \({b_{n + 1}} = {a_n} = 2{u_n} - 1\). Suy ra \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - 1\) với mỗi \(n \ge 1.\) Từ đó ta được \({u_{n + 1}} - 1 = 2({u_n} - 1)\) với mọi \(n \ge 1,\) hay \({h_{n + 1}} = 2{h_n}\) với mọi \(n \ge 1\,\,\left( {theo\left( 1 \right)} \right).\) Vì thế, \(\left( {{h_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({h_1} = {u_1} - 1 = {3 \over 2} - 1 = {1 \over 2}\) và công bội \(q = 2\) b) Ta có \({h_n} = {h_1}.{q^{n - 1}} = {1 \over 2} \times {2^{n - 1}} = {2^{n - 2}}\) với mọi \(n \ge 1.\) Suy ra \({u_n} = {h_n} + 1 = {2^{n - 2}} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Câu 3.78 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = {1 \over 3}\) và \({u_{n + 1}} = {{n + 1} \over {3n}}{u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\) a) Chứng minh dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {{{u_n}} \over n}\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). c) Tính tổng \(S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\) Giải a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(\forall n \ge 1\) \({{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}} = {1 \over 3} \times {{{u_n}} \over n},\,\,hay\,\,{v_{n + 1}} = {1 \over 3} \times {v_n}\) Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} = {1 \over 3}\) và công bội bằng \({1 \over 3}\) b) Ta có \({v_n} = {1 \over 3} \times {1 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over {{3^n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) Suy ra \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\) với mọi \(n \ge 1.\) c) Ta có \(S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\) \(\eqalign{ & = {v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{11}} \cr & = {1 \over 3} \times {{1 - {1 \over {{3^{11}}}}} \over {1 - {1 \over 3}}} = {{{3^{11}} - 1} \over {{{2.3}^{11}}}} = {{88573} \over {177147}} \cr} \) Câu 3.79 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 6{u_n} - 1\) với mọi \(n \ge 1.\) a) Chứng minh dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {u_n} - {1 \over 5}\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). c) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\). Giải a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({u_{n + 1}} - {1 \over 5} = 6\left( {{u_n} - {1 \over 5}} \right)\) với mọi \(n \ge 1,\) hay \(\forall n \ge 1,{v_{n + 1}} = 6{v_n}\) Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - {1 \over 5} = 1 - {1 \over 5} = {4 \over 5}\) và công bội \(q = 6.\) b) Từ kết quả phần a) suy ra với mọi \(n \ge 1\) \(\eqalign{ & {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{{{4.6}^{n - 1}}} \over 5}; \cr & {u_n} = {v_n} + {1 \over 5} = {{{{4.6}^{n - 1}} + 1} \over 5}. \cr} \) c) Kí hệu \({T_{10}}\) là tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\) và \({S_{10}}\) là tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(({v_n})\). Ta có \({T_{10}} = {S_{10}} + 10 \times {1 \over 5} = {4 \over 5} \times {{1 - {6^{10}}} \over {1 - 6}} + 2 = 9674590.\) Câu 3.80 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có các hạng số khác 0 và Hãy tìm \({u_1}.\) Giải - Gọi q là công bội của cấp số nhân \(({u_n})\), ta có \(q \ne 0\). Vì thế, \(({1 \over {{u_n}}})\) là một cấp số nhân với công bội \({1 \over q}.\) - Bằng phương pháp phản chứng, dễ dàng chứng minh được \(q \ne 1\). Do đó \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{{1 - {q^5}} \over {1 - q}} = {{49} \over {{u_1}}} \cdot {{1 - {1 \over {{q^5}}}} \over {1 - {1 \over q}}} \hfill \cr {u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 35 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ u_1^2 = {{49} \over {{q^4}}} \hfill \cr {u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 35 \hfill \cr} \right. \cr} \) Từ hệ (I) ta được \({u_1} = 28.\) Câu 3.81 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời, các số \(x + {5 \over 3},y - 1,2x - 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y. Giải Vì các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(2\left( {5x + 2y} \right) = \left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right)\,\,\,hay\,\,\,x = 3y\) (1) Vì các số \(x + {5 \over 3},y - 1,2x - 3y\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên \({\left( {y - 1} \right)^2} = \left( {x + {5 \over 3}} \right)\left( {2x - 3y} \right)\) hay \(2{x^2} - {y^2} - 3xy + {{10} \over 3}x - 3y - 1 = 0(2)\) Thế (1) vào (2), ta được \(8{y^2} + 7y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = - 1\) hoặc \(y = {1 \over 8}\) - Với \(y = - 1\) ta có \(x = - 3\) - Với \(y = {1 \over 8}\) ta có \(x = {3 \over 8}\) Câu 3.82 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời, các số \({(y - 1)^2},xy - 1,{(x + 2)^2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y. Giải Vì các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(2\left( {5x + 2y} \right) = \left( {x + 5y} \right) + \left( {8x + y} \right)\,\,hay\,\,x = 2y\) (1) Vì các số \({(y - 1)^2},xy - 1,{(x + 2)^2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên \({(xy - 1)^2} = {\left( {y - 1} \right)^2}.{(x + 2)^2}\) hay \(\left( {x - 2y + 1} \right)\left( {2xy - x + 2y - 3} \right) = 0\) (2) Thế (1) vào (2) ta được \(4{y^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow y = - {{\sqrt 3 } \over 2}\) hoặc \(y = {{\sqrt 3 } \over 2}\) - Với \(y = - {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có \(x = - \sqrt 3 \) - Với \(y = {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có \(x = \sqrt 3 \) Câu 3.83 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {{{2^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {5^n}}},\) và số nguyên dương N. Hãy tính tổng sau: \({S_N} = {1 \over {{u_1} - 1}} + {1 \over {{u_2} - 1}} + .... + {1 \over {{u_N} - 1}}.\) Giải Với mỗi \(n \ge 1,\) ta có \({1 \over {{u_n} - 1}} = - {1 \over 2}\left( {{{{2^n}} \over {{5^n}}} + 1} \right)\) Do đó: \({S_N} = - {1 \over 2}\left( {{T_N} + N} \right),\) trong đó \({T_N} = {2 \over 5} + {{{2^2}} \over {{5^2}}} + ... + {{{2^N}} \over {{5^N}}}\) Dễ thấy, \({T_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \({2 \over 5}\) và công bội bằng \({2 \over 5}\). Vì thế \({T_N} = {2 \over 5} \times {{1 - {{\left( {{2 \over 5}} \right)}^N}} \over {1 - {2 \over 5}}} = {2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}}\) Suy ra: \({S_N} = - {1 \over 2}\left( {{2 \over 3} \times {{{5^N} - {2^N}} \over {{5^N}}} + N} \right) = {{ - \left( {2 + 3N} \right){{.5}^N} + {2^{N + 1}}} \over {{{6.5}^N}}}\)
