Câu 4.38 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^2} + 3x + 2}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 1} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {3 \over {2x + 1}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + x - 1} \right).\) Giải a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{x + 4} \over {x + 2}} = {{ - 1 + 4} \over { - 1 + 2}} = 3\) b) \( + \infty \) ; c) 0; d) \( + \infty \) Câu 4.39 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\) Hướng dẫn. a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{'_n})\) với \({x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi + {\pi \over 4}.\) Tìm \(\lim {x_n},\lim x{'_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{'_n}).\) c) Chọn dãy số \(({x_n})\) sao cho \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }}\) Tìm \(\lim {x_n}\) và \(\lim f({x_n}).\) Giải a) Lấy hai dãy số \(({x_n})\) và \((x{'_n})\) \({x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi + {\pi \over 4}\) (như trong hướng dẫn). Khi đó \(\lim {x_n} = + \infty \) và \(\lim x{'_n} = + \infty \); \(\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi = 0\) và \(\lim f(x{'_n}) = limsin2x{'_n} = \lim \sin \left( {2n\pi + {\pi \over 2}} \right) = 1.\) Vì \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{'_n}} \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\) Cách giải khác. Lấy dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi \over 4},\) Ta có \(\lim {x_n} = + \infty \) và \(f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{ 1\text{ với n chẵn} \hfill \cr - 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\) Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin 2x.\) b) Làm tương tự như câu a) không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos 3x\) c) Chọn dãy \(({x_n})\) sao cho \({1 \over {2{x_n}}} = n\pi \Leftrightarrow {x_n} = {1 \over {2n\pi }}.\) Khi đó \(\lim {x_n} = 0\) và \(f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{ 1\text{ với n chẵn}\hfill \cr - 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.\) Dãy số \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right)\) không có giới hạn. Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}\); d) Tương tự câu c, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.\) Câu 4.40 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0\). Giải Giả sử hàm số \(f\) xác định trên một khoảng \(I\) chứa điểm \({x_0}\) và \(({x_n})\) là một dãy số trong tập hợp \(I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) sao cho \(\lim {x_n} = {x_0}.\) Khi đó vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\) nên \(\lim \left| {f\left( {{x_n}} \right)} \right| = 0.\)Từ đó suy ra \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = 0.\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0\). Câu 4.44 trang 141 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {3 - 4x} \right)^2}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x + 1} \over {2{x^5} + 3}}\) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2}\left( {2x - 1} \right)} \over {{x^4} + x + 1}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \root 3 \of {{{{x^2} - x + 1} \over {{x^2} + 2x}}} \) e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {{{9{x^2} - x} \over {\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}} \) f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {1 \over x}} \over {1 + {1 \over x}}}\) g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| {{{ - {x^2} - x + 6} \over {{x^2} + 3x}}} \right|\) h) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{{\left( {{x^2} - x + 6} \right)}^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}}}\) Giải a) 81; b) 1; c) \({1 \over 3};\) d) \({{\root 3 \of 3 } \over 2};\) e) \({{\sqrt 5 } \over 5};\) f) Với mọi \(x \ne 0,\) ta có \({{1 - {1 \over x}} \over {1 + {1 \over x}}} = {{x - 1} \over {x + 1}}\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {1 \over x}} \over {1 + {1 \over x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x - 1} \over {x + 1}} = - 1;\) g) \({{ - {x^2} - x + 6} \over {{x^2} + 3x}} = {{2 - x} \over x}\) với mọi \(x \ne -3\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{ - {x^2} - x + 6} \over {{x^2} + 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{2 - x} \over x} = -{5 \over 3}.\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {{{ - {x^2} - x + 6} \over {{x^2} + 3x}}} \right| = \left| { - {5 \over 3}} \right| = {5 \over 3}.\) h) \({{{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)}^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}}} = {{{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}}\) với mọi \(x \ne 2\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{{\left( {{x^2} - x - 6} \right)}^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}}} = 0\) Câu 4.45 trang 141 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } {{2x - 3} \over {1 - 3x}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } {{2{x^3} - 7{x^2} + 11} \over {3{x^6} + 2{x^5} - 5}}\) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } x\sqrt {{{2x + 1} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} \) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {\sqrt {2{x^2} - 3} }}\) Giải a) \( - {2 \over 3}\) ; b) 0; c) \(x\root \of {{{2x + 1} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \sqrt {{{{x^2}\left( {2x + 1} \right)} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} \) với mọi \(x > 0\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }x \root \of {{{2x + 1} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2}\left( {2x + 1} \right)} \over {3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \sqrt {{2 \over 3}} = {{\sqrt 6 } \over 3}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {\sqrt {2{x^2} - 3} }}= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {|x|\sqrt {2 - {3 \over {{x^2}}}} }} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over { - x.\sqrt {2 - {3 \over {{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 + {3 \over x}} \over { - \sqrt {2 - {3 \over {{x^2}}}} }} = - \sqrt 2 \)
