Sách bài tập Toán 11 - Đại số và Giải tích 11 nâng cao - Chương IV - Bài 5. Giới hạn một bên

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 4.46 trang 141 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + 1} \over {x - 1}}\)
    b)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2} + 1} \over {x - 1}}\)
    c)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\left| {3x + 6} \right|} \over {x + 2}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} {{\left| {3x + 6} \right|} \over {x + 2}}\) .
    Giải
    a)
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2 > 0 \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) > 0 \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + 1} \over {x - 1}} = + \infty \cr} \)
    b)
    \(\eqalign{
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2 > 0 \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) < 0 \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2} + 1} \over {x - 1}} = - \infty \cr} \)
    c) Với \(x > - 2,\) ta có \(3x + 6 = 3\left( {x + 2} \right) > 0.\) Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\left| {3x + 6} \right|} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{3x + 6} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} 3 = 3;\)
    d) Với \(x < - 2,\) ta có \(3x + 6 = 3\left( {x + 2} \right) < 0.\) Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} {{\left| {3x + 6} \right|} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} -{{3x + 6} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }}(- 3) =- 3\)

    Câu 4.47 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau
    a)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} - 3x + 2} \over {\sqrt {2 - x} }}\)
    b)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{3\sqrt x - x} \over {\sqrt {2x} + x}}\)
    Giải
    a) \({{{x^2} - 3x + 2} \over {\sqrt {2 - x} }} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {\sqrt {2 - x} }} = \left( {1 - x} \right)\sqrt {2 - x} \) với mọi \(x < 2.\)
    Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} - 3x + 2} \over {\sqrt {2 - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {1 - x} \right)\sqrt {2 - x} = 0;\)
    b) Với mọi x > 0 ta có:
    \(\eqalign{
    & {{3\sqrt x - x} \over {\sqrt {2x} + x}} = {{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt 2 + \sqrt x } \right)}} = {{3 - \sqrt x } \over {\sqrt 2 + \sqrt x }} \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{3\sqrt x - x} \over {\sqrt {2x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{3 - \sqrt x } \over {\sqrt 2 + \sqrt x }} = {{3\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

    Câu 4.48 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Cho hàm số
    \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
    \sqrt {9 - {x^2}} \text{ với } - 3 \le x < 3 \hfill \cr
    1\text{ với }x = 3 \hfill \cr
    \sqrt {{x^2} - 9} \text{ với }x > 3. \hfill \cr} \right.\)
    Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right),\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\) (nếu có).
    Giải
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {{x^2} - 9} = 0;\)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \sqrt {9 - {x^2}} = 0.\)
    Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 0.\)

    Câu 4.49 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Ta gọi phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là \(\left[ x \right].\)
    Chẳng hạn \(\left[ 5 \right] = 5;\left[ {3,12} \right] = 3;\left[ { - 2,725} \right] = - 3.\) vẽ đồ thị ghàm số \(y = \left[ x \right]\) và tìm
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ x \right],\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ x \right]\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ x \right]\) (nếu có).
    Giải
    Đồ thị (h.4.2).Với \(2 < x<3;\left[ x \right] = 2\) ; do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ x \right] = 2.\)
    Với \(3 < x < 4,\left[ x \right] = 3\) ; do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3 ^+ } \left[ x \right] = 3.\)
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ x \right] \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ x \right]\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ x \right]\).
    01.png

    Câu 4.50 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau
    a)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{2x + 1} \over {{x^2} - 3x + 4}}\)
    b)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^3} + 2x + 3} \over {{x^2} + 5}}} \)
    c)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^3} - {x^2} - x + 10} \over {{x^2} + 3x + 2}}\)
    d)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {{{9 - {x^2}} \over {2{x^2} + 7x + 3}}} \right|.\)
    Giải
    a) \( - {1 \over 8};\)
    b) \({{\sqrt {15} } \over 3};\)
    c) \({{{x^3} - {x^2} - x + 10} \over {{x^2} + 3x + 2}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {{{x^2} - 3x + 5} \over {x + 1}}\) với mọi \(x \ne -2.\) Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^3} - {x^2} - x + 10} \over {{x^2} + 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^2} - 3x + 5} \over {x + 1}} = - 15;\)
    d)
    \(\eqalign{
    & {{9 - {x^2}} \over {2{x^2} + 7x + 3}} = {{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} \over {\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {{3 - x} \over {2x + 1}} \cr
    & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {{{9 - {x^2}} \over {2{x^2} + 7x + 3}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {{{3 - x} \over {2x + 1}}} \right| \cr&= \left| {{{3 - \left( { - 3} \right)} \over {2.\left( { - 3} \right) + 1}}} \right| = {6 \over 5} \cr} \)

    Câu 4.51 trang 142 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau
    a)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left( {2x - 5} \right){{\left( {1 - x} \right)}^2}} \over {3{x^3} - x + 1}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 3} } \over {x - 5{x^2}}}\)
    c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{x^4} +{x^2} + 2} \over {\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}} \)
    d)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x - 3} \over {\sqrt {{x^2} + 1} - x}}.\)
    Giải
    a) \({2 \over 3};\)
    b) \({2 \over 5};\)
    c) \({{\sqrt 3 } \over 3};\)
    d) Với mọi \(x < 0,\) ta có
    \({{2x - 3} \over {\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = {{2x - 3} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} - x}} = {{2x - 3} \over { - x\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} - x}} = {{2 - {3 \over x}} \over { - \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} - 1}}\)
    Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x - 3} \over {\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = - 1.\)

    Câu 4.52 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} - 4} \over {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {2 - x} \right)} }}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\left| {x + 1} \right|}}\)
    c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\left| {x + 1} \right|}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^3} - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}.\)
    Giải
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{ - \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x} } \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0\);
    b) Với \(x < - 1,\) ta có \(x + 1 < 0.\) Do đó \(\left| {x + 1} \right| = - x - 1\) và
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\left| {x + 1} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( { - x - 2} \right) = - 1.\)
    c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {x + 2} \right) = - 1 + 2 = 1\);
    d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\sqrt {x + 1} }} = 0\).