Sách bài tập Toán 11 - Đại số và Giải tích 11 nâng cao - Chương IV - Bài 6: Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 4.53 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau
    a)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3{x^3} - 5{x^2} + 7} \right)\)
    b)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {1000x - {x^3}} \)
    Giải
    \(\eqalign{
    & a)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {3 - {5 \over x} + {7 \over {{x^3}}}} \right) = - \infty \cr
    & b)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x.\root 3 \of {{{1000} \over {{x^2}}} + 1} } \right] = + \infty \cr} \)

    Câu 4.54 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau
    a)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + {x^2}}}\)
    b)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
    c)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 - 2{x^2}} \over {x - 3}}\)
    d)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}}.\)
    Giải
    a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} - 3} \right) = - 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^3} + {x^2}} \right) = 0\)\({x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {1 + x} \right) > 0\) với mọi \(x > - 1\) và \(x \ne 0.\) Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + {x^2}}} = - \infty ;\)
    b) \({{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = {1 \over {\left| {x - 2} \right|}}\) với mọi \(x \ne 2.\)
    Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {1 \over {\left| {x - 2} \right|}} = + \infty ;\)
    c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - 2{x^2}} \right) = - 17 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} \right) = 0\)\(x - 3 > 0\) với mọi \(x > 3.\)
    Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 - 2{x^2}} \over {x - 3}} = - \infty \);
    d) Với mọi
    \(x > 2,\) ta có
    \({{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}} = {{\sqrt {x - 2} \sqrt {x + 2} } \over {x - 2}} = {{\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {x - 2} }}.\)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2} = 0\)\(\sqrt {x - 2} > 0\) với mọi \(x > 2.\) Do đó
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}} = + \infty .\)

    Câu 4.55 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau
    a)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^4} - x - 1} \over {{x^2} + x + 2}}\)
    b)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 5x + 2} \over {2\left| x \right| + 1}}\)
    Giải
    \(\eqalign{
    & a)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 - {1 \over {{x^3}}} - {1 \over {{x^4}}}} \over {{1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}} + {2 \over {{x^4}}}}} = + \infty \cr
    & b)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 5x + 2} \over { - 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - {5 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \over { - {2 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}}\cr&= + \infty \cr} \)

    Câu 4.56 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    Tìm các giới hạn sau
    a)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{1 \over x} - {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} - 3} \over {2{x^2} + 3x - 2}}\)
    Giải
    a) Với mọi \(x \ne 3,\)
    \(\left( {{1 \over x} - {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} = {{3 - x} \over {3x}}.{1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} = \left( { - {1 \over {3x}}} \right).{1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\)
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( { - {1 \over {3x}}} \right) = - {1 \over 9} < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = + \infty \) nên
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{1 \over x} - {1 \over 3}} \right){1 \over {{{\left( {x - 3} \right)}^3}}} = - \infty ;\)
    b) \({{4{x^4} - 3} \over {2{x^2} + 3x - 2}} = {{4{x^4} - 3} \over {2x - 1}}.{1 \over {x + 2}}\)
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} - 3} \over {2x - 1}} = {{ - 61} \over 5} < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {1 \over {x + 2}} = + \infty \) nên
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} - 3} \over {2{x^2} + 3x - 2}} = - \infty .\)
    Cách giải khác
    Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \left( {4{x^4} - 3} \right) = 61 > 0,\)
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \left( {2{x^2} + 3x - 2} \right) = 0\) và \(2{x^2} + 3x - 2 < 0\)
    Với \( - 2 < x < {1 \over 2}\) nên
    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{4{x^4} - 3} \over {2{x^2} + 3x - 2}} = - \infty .\)