Câu 4.68 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) \(\lim \left( {{{{n^2} - n} \over {1 - 2{n^2}}} + {{2\sin {n^2}} \over {\sqrt n }}} \right)\) là (A) \({1 \over 2};\) (B)\( - 1\) ; (C)\( - {1 \over 2}\) ; (D) 1. b) \(\lim \left( {{{\sqrt {{n^2} + 2n} } \over {3n - 1}} + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{3^n}}}} \right)\) là (A) \( - {1 \over 3};\) (B) \({1 \over 3};\) (C) \({{\sqrt 2 } \over 3};\) (D) \( - 1.\) c) \(\lim \left( {{3^4}{{.2}^{n + 1}} - {{5.3}^n}} \right)\) là (A) \(-\infty\) (B) \(+\infty\) (C) \( - {2 \over 3}\) (D) \( - {5 \over {81}}\) d) \(\lim {{3 - {4^{ + 2}}} \over {{2^n} + {{3.4}^n}}}\) là (A) \({4 \over 3};\) (B) \({{16} \over 3};\) (C) \(1;\) (D) \( - {{16} \over 3}.\) e) Số thập phân vô tận tuần hoàn 0,17232323… Được biểu diễn bởi phân số (A) \({{1517} \over {9900}};\) (B) \({{153} \over {990}};\) (C) \({{164} \over {990}};\) (D) \({{1706} \over {9900}}.\) f) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của ba số hạng đầu tiên của nó là \({9 \over 4}.\) Số hạng đầu của cấp số nhân đó là A) \(4;\) (B) \(5;\) (C) \(3;\) (D) \({9 \over 2}.\) Giải a) Chọn C b) Chọn B c) Chọn A d) Chọn D e) Chọn D f) Chọn C Câu 4.69 trang 146 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \root 3 \of {{{{x^4} + 27x} \over {4{x^2} - 36}}} \) là (A) \( - {3 \over 2};\) (B) \({3 \over 4};\) (C) \( - {3 \over 4};\) (D) \({3 \over 2}.\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\root 3 \of {{x^3} + 2{x^2} + 1} } \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }}\) là (A) \({{\sqrt 2 } \over 2};\) (B) \(1;\) (C) \(0;\) (D) \( - {{\sqrt 2 } \over 2}.\) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + 1} \over {\left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)}}\) là (A) \( + \infty ;\) (B) \(2;\) (C) \( - \infty ;\) (D) \( - 2.\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{{x^2} + 13x + 30} \over {\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)} }}\) là A) \(2;\) (B) \(0;\) (C) \( - 2;\) (D) \({2 \over {\sqrt {15} }}.\) e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} {{3 - \sqrt {x + 2} } \over {{x^2} - 2x - 35}}\) là A) \( - {1 \over {72}};\) (B) \( - {1 \over {12}};\) (C) \(0;\) (D) \({1 \over {52}}.\) f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {5{x^2} + 2x} + x\sqrt 5 } \right)\) là A) \(0;\) (B) \( - {{\sqrt 5 } \over 5};\) (C) \( + \infty ;\) (D) \( - \infty .\) Giải a) Chọn D b) ChọnD c) Chọn C d) Chọn B e) Chọn A f) Chọn B Câu 4.70 trang 147 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ \,\,\,\,\,\,{{{x^4} + x} \over {{x^2} + x}}\text{ với }x \ne \,2\,\text { và } x \ne 1 \hfill \cr \,\,\,\,\,\,\,\,3\text{ với }x = - 1 \hfill \cr \,\,\,\,\,\,\,1\text{ với },x = 0. \hfill \cr} \right.\) (A)Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\) (B) liên tục tại mọi điểm \(x \in R\) (C) liên tục tại mọi điểm trừ \(x = - 1\) (D) liên tục tại mọi điểm trừ \(x = 0.\) Giải Chọn B Câu 4.71 trang 147 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ \, - x\cos x\text{ với }x < 0 \hfill \cr \,{{{x^2}} \over {1 + x}}\text{ với }0 \le x < 1 \hfill \cr \,\,{x^3}\text{ với }x \ge 1. \hfill \cr} \right.\) (A) liên tục tại mọi điểm \(x \in R\) (B) liên tục tại mọi điểm trừ điểm \(x = 0\) (C) liên tục tại mọi điểm trừ \(x = 1\) (D) liên tục taoij mọi điểm trừ hai điểm \(x = 0\) và \(x = 1.\) Giải Chọn C Câu 4.72 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với a)\({u_n} = \sqrt {{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \over {\left( {{n^2} + n} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \) b)\({u_n} = {{{1^3} + {2^3} + ... + {n^3}} \over {\sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }}\) c) \({u_n} = \root 3 \of {n - 2{n^3}} \) c) \({u_n} = {2^n} - {4.3^{n + 1}}\) d) \({u_n} = 100n - {2.5^n}\) f) \({u_n} = {{{3^n} - {4^{n + 1}}} \over {{2^{2n}} + {{10.3}^n} + 7}}.\) Giải a) \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\) \(\lim {u_n} = \lim \sqrt {{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over {6n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} = {{\sqrt 3 } \over 3}\) b) \({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over 4};\) \(\lim {u_n} = \lim {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {4\sqrt {{n^7} + 3{n^4} + 1} }} = \lim {{{{\left( {1 + {1 \over n}} \right)}^2}} \over {4\sqrt {{1 \over n} + {3 \over {{n^4}}} + {1 \over {{n^8}}}} }} = + \infty \) c) \(\lim {u_n} = {\mathop{\rm limn}\nolimits} .\root 3 \of {{1 \over {{n^2}}} - 2} = - \infty \) d) \({u_n} = {3^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 12} \right]\) với mọi n ; \( \lim u_n =- \infty ;\) e) \({u_n} = {5^n}\left( {{{100n} \over {{5^n}}} - 2} \right)\) với mọi n. Nếu \(q > 1\) thì\(\lim {n \over {{q^n}}} = 0.\) Do đó \(\lim {n \over {{5^n}}} = 0.\) Vì \(\lim {5^n} = + \infty \) và \(\lim \left( {{{100n} \over {{5^n}}} - 2} \right) = - 2 < 0\) nên \(\lim {u_n} = - \infty ;\) f) Ta có \({2^{2n}} = {4^n}.\) Do đó \({u_n} = {{{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - 4} \over {1 + 10{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} + {7 \over {{4^n}}}}}\) với mọi n. Do đó \(\lim {u_n} = - 4.\) Câu 4.73 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \matrix{ {u_1} = 1 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) a) Chứng minh rằng \({u_n} \ne - 4\) với mọi n. b) Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi \({v_n} = {{{u_n} + 1} \over {{u_n} + 4}}.\) Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân. Từ đó tìm giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\). Giải a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp . Ta có \({u_1} = 1 \ne - 4.\) Giả sử \({u_n} \ne - 4\). Ta chứng minh \({u_{n + 1}} \ne - 4.\) Thật vậy, \({u_{n + 1}} = - 4 \Leftrightarrow {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} = - 4\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_n} \ne - 6 \hfill \cr {u_n} - 4 = - 4\left( {{u_n} + 6} \right) \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow {u_n} = - 4.\) Điều này trái với với giả thiết quy nạp. b) \({v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} \over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 1} \over {{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} \over {5{u_n} + 20}} = {2 \over 5}.{u_n+1\over u_n+4}= {2 \over 5}{v_n}\) với mọi n. Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {2 \over 5}.\) Đó là một cấp số nhân lùi vô hạn. Vì \({v_n} = {v_1}{\left( {{2 \over 5}} \right)^{n - 1}}\) với mọi n nên \(\lim {v_n} = 0.\) Từ đẳng thức trong b) suy ra \({u_n} = {{4{v_n} - 1} \over {1 - {v_n}}}.\) Do đó \(\lim {u_n} = - 1.\) Câu 4.74 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \matrix{ {u_1} = a \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Trong đó \( - 1 < a < 0.\) a) Chứng minh rằng \( - 1 < {u_n} < 0.\) với mọi n và \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm. b) Chứng minh rằng \( - 1 < {u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n. c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n}.\) Giải a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo giả thiết, điều khẳng định đúng với \(n = 1.\) Giả sử điều khẳng định đúng với n , tức là \( - 1 < {u_n} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) Ta chứng minh nó đúng với \(n + 1.\) Thật vậy, từ (2) suy ra \(0 < {u_{n + 1}} + 1 < 1\,;\,\) Do đó \(0 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} < 1\) Và \( - 1 < {{{u_n} + 1} \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} - 1 < 0,\) Tức là \( - 1 < {u_{n + 1}} < 0.\,\) Vì \( - 1 < {u_n} < 0\) nên \({u_{n }} +1> 0\) và \(u_n^2 > 0\) với mọi n . Do đó từ (1) suy ra \({u_{n + 1}} < \left( {{u_n} + 1} \right) - 1 = {u_n}\) với mọi n. Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số giảm. b) Từ đẳng thức (1) suy ra \({u_{n + 1}} + 1 = {1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n. Từ đó suy ra \(\left| {{u_n}} \right| \ge \left| a \right| \Leftrightarrow u_n^2 \ge {a^2};\) Do đó \({1 \over {\sqrt {u_n^2 + 1} }} \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\) với mọi n Và từ (3), ta có \({u_{n + 1}} + 1 \le {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }}\left( {{u_n} + 1} \right)\) với mọi n. Đặt \({v_n} = {u_n} + 1\) và \(q = {1 \over {\sqrt {{a^2} + 1} }},\) ta có \(0 < q < 1,{v_n} > 0\) và \({v_{n + 1}} \le q{v_n}\) với mọi n. Từ đó ta có \(\eqalign{ & {v_2} \le {v_1}q = \left( {a + 1} \right)q, \cr & {v_3} \le {v_2}q = \left( {a + 1} \right){q^2},..., \cr & 0 \le {v_n} \le \left( {a + 1} \right){q^{n - 1}} \cr} \) Với mọi n . Vì \(\lim \left( {a + 1} \right).{q^{n - 1}} = \left( {a + 1} \right)\lim {q^{n - 1}} = 0\) nên từ đó suy ra \(\lim {v_n} = 0\) và \(\lim {u_n} = - 1.\) Câu 4.75 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho số thực a và dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} \over 2}.\) Tìm \(\lim {u_n}.\) Giải Ta có \(\,{u_2} = 1 + {a \over 2},\,{u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.\) Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng: \(\,\,{u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\) Do đó \({u_n} = {{1 - {1 \over {{2^{n - 1}}}}} \over {1 - {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\) Vậy \(\lim {u_n} = 2.\) Câu 4.76 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \over {{x^2} + x + 1}}} \) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 11} \root 3 \of {{{{x^2} - 9x - 22} \over {\left( {x - 11} \right)\left( {{x^2} - 3x + 16} \right)}}} \) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {2{x^3} - {x^2} + 10} \) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ - }} \left( {{2 \over {{x^2} + 3x - 4}} - {3 \over {x + 4}}} \right).\) Giải a) \(\sqrt 6 ;\) b) \({1 \over 2};\) c) \( + \infty ;\) d) \({2 \over {{x^2} + 3x - 4}} - {3 \over {x + 4}} = {2 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} - {3 \over {x + 4}}\) \( = {{5 - 3x} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} = {1 \over {x + 4}}.{{5 - 3x} \over {x - 1}}.\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ - }} {1 \over {x + 4}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ - }} {{5 - 3x} \over {x - 1}} = - {{17} \over 5} < 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ - }} \left( {{2 \over {{x^2} + 3x - 4}} - {3 \over {x + 4}}} \right) = + \infty .\) Câu 4.77 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\sqrt {3x - 2} - 2} \over {{x^2} + 7x - 18}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{\sqrt {{x^2} + x + 2} - \sqrt {1 - x} } \over {{x^4} + x}}\) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{3 - \left| {x - 1} \right|} \over {\left| {x - 2} \right| - 2}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 8x} - \sqrt {{x^2} - x} } \right).\) Giải a) \({3 \over {44}};\) b) 0; c) Với \(x > 2,\) ta có \(\left| {x - 1} \right| = x - 1\) và \(\left| {x - 2} \right| = x - 2.\) Do đó \({{3 - \left| {x - 1} \right|} \over {\left| {x - 2} \right| - 2}} = {{3 - \left( {x - 1} \right)} \over {x - 2 - 2}} = {{4 - x} \over {x - 4}} = - 1\) với \(x > 2\) và \(x \ne 4.\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{3 - \left| {x - 1} \right|} \over {\left| {x - 2} \right| - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( { - 1} \right) = - 1;\) d) \( - {9 \over 2}.\) Câu 4.78 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Chứng minh rằng phương trình \({x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}} = 0\) Có ít nhất một nghiệm dương. b) Chứng minh rằng mọi số thực a, b , c , phương trình \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) Có ít nhất một nghiệm. Giải a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}}\) liên tục trên R \(f\left( 0 \right) = - {1 \over {100}} < 0.\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên với một số dương b đủ lớn, ta có \(f\left( b \right) > 0.\) Vì \(f\left( 0 \right)f\left( b \right) < 0\) nên , theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in \left( {0;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0.\) Vậy \(x = c\) là mmotj nghiệm dương của phương trình đã cho. b) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên R ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty .\) Do đó tồn tại giá trị \(x_1\in R\) sao cho \(f(x_1)<0\) và giá trị \(x_2\in R\) sao cho \(f(x_2)>0\) Khi đó ta có: \(f(x_1).f(x_2)<0\) theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in R\) sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)